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1、精品名师归纳总结第一部分:变量与函数1、 函数的概念、变量(自变量、因变量)、常量的概念。2、 函数的三种表示方法:3、 学习函数在现阶段我们主要关注函数的哪些特点及性质:( 1) 定义域(即自变量的取值范畴或者说x 的取值范畴)( 2) 值域(即因变量的取值范畴或者说y 的取值范畴)( 3) 图像与 x 轴和 y 轴的交点坐标及其意义(与x 轴的交点,表示当y0, x 。与 y 轴的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交点表示当 x0, y )( 4) 极值点:包括最大值及最小值( 5) 单调性:文字语言数学语言图像表现可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调y 随
2、x 的增递大而增大增x1x2x1x2y1y2爬坡型y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调y 随 x 的增递大而减小减x1x2x1x2y1y2下坡型y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等号的开口方向相同时,单调递增。不等号的开口方向相反时,单调递减( 6)、对称性讨论:包括点关于x 轴、 y 轴和原点的对称。以及图像的关于关于x 轴、 y 轴和原点的对称。( 7)、位置关系:主要包括直线的平行与垂直。特殊是平行,以及平移的讨论:包括点的上、下、左、右平移及及直线的上、 下、左、右平移。( 8)、函数与方程
3、、不等式之间的关系。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次部分:函数的图像1、 直角坐标系组成。以及各象限上点的特点。2A2,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122、 点的表示(横坐标,纵坐标)留意:不要丢了括号和中间的逗号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示的意思:当x 时,y 如点 A( 2, 1) 表示:当 x2 时, y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同时要留意x 轴上点的特点: ,0 即纵坐标等于 0; y 轴上点的特点: 0, 即:横坐标等于0。概括:坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。可编辑资料 - -
4、 - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 点Pa,b 到 x 轴的距离为。到 y 轴的距离为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在解决面积问题中常常用点,主要用于充当三角形的高。如以下求阴影部分的面积:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A2,112A2,112A2,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-112-1-112-1-112-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 点的对称性讨论: (假如遗忘了,可以自己作一个直角坐标系讨论一下)Pa, b 关于 x 轴对称。关于 y 轴对称。关于原
5、点对称 摸索:如何解决点关于y=x, y=-x 对称,以及点旋转90 之后的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 点的平移:Pa, b 向上平移 2 格。向下平移 3 格。向右平移 1 格。向右平移可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 格(概括:左右平移转变的是横坐标,上下平移转变的是纵坐标)6、 两点之间的距离在同一条水平上线上的时候:求A、B 两点之间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A-2,3OB4,3A-2,3O B-2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概括: A、
6、B 两点之间的距离为:x1x2 或 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当两点不在同一水平上的时候,我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的,这就需要用到勾股定理的相关学问,同时也要用到中两点在同一水平线上的时候,两点之间的距离求法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、B 两点之间的距离:ABx1x 2 y1y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 B 两点的中点坐标为: x1x2 , y12y2 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、 1)、如何依据解析式作图,在作图的
7、过程中,我们应当关注哪些方面确定 x 的取值范畴,特殊要当心有些情形下x 并不能取到全部的值,图像也会受到肯定的限制。初步判定函数图像的增、减性,来初步判定函数应当是上升的、仍是下降的。判定函数图像是直线、曲线、仍是双曲线(可以通过x 的指数来判定,也可以通过变化速度是匀可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结速的仍是变速的来进行判定)最终从函数与 x轴(未必肯定会有) 、 y 轴的交点。以及极值点(未必肯定会有)。对称性(如关于 x轴、 y 轴、原点对称或者关于某一条直线对称等)。分段性。从而画出比较精确的草图。2)、作图的一般步骤:列表、描点,连接留意:在列表的过程中,我们应当去体
8、会方程的解与函数图像上的点之间的关系。同时要学会如何判定一个点是否会在该函数图像上。列表:并绘制出以下两个函数的图像。x当 x -3-2-10123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx22x3y 1250-3-4-30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2x2y -8-6-4-2024可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结描出 y2 x2 图像上的点,我们挑出其中一个点(-2, -6)明显这个点在其函数图像上,同时这个点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所表示的意义: 当 x2 时, y6 时
9、方程 y2x2 (或 y2 x2 )这个二元一次方程的一组解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 、如何判定一个点是否在该函数图像上(其本质就是判定这个点所代表的x, y 的值是不是方程的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如:判定点 4,6 是否在函数yx22x3 图像上,即相当于 x4, y6 是不是方程yx22x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解。或者说:当x4 ,yx22 x342243 是否会等于 6。可编辑资料 - - - 欢迎下载精
10、品名师归纳总结4) 、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标如: y2 x2 的图像上 已知点 A 的横坐标为 2,点 B 的纵坐标为 -4。求点 A、B 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: A 点相当于问你,当x2 时,y 。 B 点相当于问你: y4 时,x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三部分:一次函数与反比例函数1、 一次函数: ykxb k0正比例函数: ykx k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反比例函数(共三种表示方式): ykxyk x1x yk k0可编辑资
11、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 xyk 更便利于求解解析式,而且也更简单应当于判定点是否在某个反比例函数图像上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示:关于 yk 中 k 等于多少该如何判定得引起大家的重视。如xy1 中的 k 是多少了?2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 一次函数的作图:第一它的图像是一条直线,而确定一点直线只需要两个点,所以通常只要在直角坐标系中,描出两个点并连接即可。通常的作法是:取与x 轴和 y 轴的两个交点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如:作函数 yx2 的图像当 x0 时, y2 即 0,2 为
12、一次函数与 y 轴的交点坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y0 时, x2 即 2,0 为一次函数与x 轴的交点坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yO12x-1xyx2x0x2y2y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-23、 会判定点是否在直线上,正比例函数上和反比例函数上。并且已知横坐标要懂得求纵坐标,反之, 已知纵坐标要懂得求横坐标。4、正比例和反比例函数图像匀关于原点对称。而且正比例函数肯定经过原点0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正比例函数 ykx k0反比例函数: yk k0 x可编辑资料 - - - 欢
13、迎下载精品名师归纳总结经过象限单调性草图经过象限单调性草图k0一、三单调递增一、三单调递减k0二、四单调递减二、四单调递增k 越大,直线越陡k 越大,双曲线离 x 轴越远可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、一次函数 ykxb k0 的四种草图,其中k 越大,直线越陡。b0图像向上平移b0图像向下平移可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、直线的平移(大家自己整理出更一般的结论)如: y3x1 向上平移 5 个单位。向下平移 2 个单位 备注:上下平移(即x 值不变, y 值的变化),我们可以从函数与y 轴交点的变化更简单观看出结论。向左平移 1 个单位。向右平移 2
14、 个单位 备注:左右平移(即y 值不变, x 值的变化),我们可以从函数与x 轴交点的变化更简单观看出结论。7、 直线之间的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知直线:l1 : y1k1 xb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l2 : y2k2xb2 l1, l2 平行的充要条件: k1k2 且 b1b2 l1, l2 重合的充要条件: k1k2 且 b1b2 l1, l2 垂直的充要条件: k1k218、 直线位置关系与方程组的解之间的关系、两直线相交说明方程组有唯独解。平行说明方程组无解。重合说明方程组有无穷多个解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
15、名师归纳总结y2x5方程组的解为x2。而交点坐标为 2,1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2xy2x2方程组无解,如下列图:图像2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结没有交点。、通过方程无解来说明直线平行的方法:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方 程 组l1 : y1k1xb1无 解 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l2 : y2k2 xb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1xb1k2xb2k1k2 xb2b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
16、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, 当 k1k20 且b2b10 时方程无解,所以我们可以得到当k1k2 且 b1b2 时直线平行。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、 解析式的求解、解析式的求解步骤:第一要先判定它是一次函数(直线或线段)仍是正比较函数(直线或给段,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结但经过原点) ,或者反比较函数(双曲线,也可能只有其中一支)。其次,设函数解析式,如下:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、一次函数:ykxb k0 需要两个条件(或者两个点坐标)来列方程组,求k ,b 的值。可编辑资料 - -
17、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而正比例函数:ykxk0反比例函数:反比例函数:yk k x0) 都只需要一个条件(或者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个点坐标)去求解k 的值。例课本 46 习题第 5 题。、写出满意以下条件的一个函数关系式:1图像过点 1 , 1 、3 , 2 的一次函数。(2) 图像过点 2,3 的正比例函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 图像过点3 ,32的反比例函数。k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、正比例函数yk1x与反比例函数y有交点的条件 如上图所示
18、 :x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反比例函数和正比例函数经过相同的象限,即:k1 、 k2 同号。或者说:k1k20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并且两个交点关于原点对称。11、 反比例有关的面积问题(图7 三角形 AOB 的面积有多种方法)12、 函数与方程、不等式之间的关系指示:解决此类题目的关键在于,找到图像的交点,并且懂得交点的意思,之后再过交点作x轴的垂线,并且左右平移垂线,进行观看。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1:画出函数 y2 x3 的图像,依据图像,指出:可编辑资料
19、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 1) x 取什么值时,函数值y 等于 0( 2) x 取什么值时,函数值y 大于 0m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、如图 14,已知两个交点A4, n, B 2,4) 是一次函数 ykxb 的图象和反比例函数y的图象的x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求反比例函数和一次函数的解析式。(2) 求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及 AOB 的面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 求方程 kxbmx0 的解(请直接写出答案) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编
20、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 求不等式 kxbm0 的解集(请直接写出答案) 。xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、如图,直线 yx6 与反比例函数 y( x0)的图像交点A、点 B,与 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴相交于点 C,其中点 A 的坐标为( 2,4 ),点 B 的纵坐标为 2。(1) 试确定反比例函数的关系式。(2) 当 x 为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值。(直接写出来)(3) 求 AOC的面积。13、函数中设点的一般方法(1) 直接设 x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 2)
21、当该点在某上解析式对应的图像上时:如y2 x1 我们就可以假设该直线上某可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点的坐标为 x0 , 2x01 ,当然x0 也可以是其他字母,关键点在于把纵坐标也用横坐标表示出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结来。再比如: y4x 上的某个点可设为4 x0,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例、如下列图:直线ykxb 与 x 、 y 轴轴分别交于点 E 、 F ,其中点 E的坐标为 8,0 点 A 的坐标 6,0 。点 P 为直
22、线 ykxb 上的一动点。(1) 、求 k 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 、如点P x,y 是其次象限内, 在点 P 的运动过程中, 试写出 OPA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的面积 s与 x 轴的函数关系式,并写出自变量x 的取值范畴。(2) 、探究:当点 P 运动到什么位置时,OPA的面积为27,并说明理由。8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14、点旋转 90 度与两条直线垂直的探讨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1) 点 A x, y 顺时针旋转 90后 A
23、的坐标(如图利用全等可求得A 的坐标)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 直线yk1x 与直线yk2x 相互垂直,那么k1, k2之间的关系?可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得用 1)中的结论求得A k1x,x 的坐标,而且点 A 在直线yk2 x 上,即:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k2k1xxk1k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、一次函数与三角设一次函数 ykxb 经过点A x1, y1 与 B x2 , y2 那么我们可以列出方程组:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1kx1y2kx2b就可以得到: kby2y1x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Bx 2,y2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax 1,y1y1x2-x1y2-y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ox1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载
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