中国人民大学出版社第四版高等数学一第章课后习题详解 .docx
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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 3 章中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容( 3.1 、3.2 )可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.1中值名称条件结论罗尔可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理中值yf x :( 1)在 a,b上连续。(2)在 a,b至 少 存 在 一 点 a,b 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理内可导。(3)f af b f / 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
2、下载精品名师归纳总结拉格yf x :( 1)在 a,b朗日上连续。(2)在 a,b/至 少 存 在 一 点a, b 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中值内可导定理柯西ff bbf a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 、g x :(1)在 a,b 上连续, 在 a,b/中值至 少 存 在 一 点 a,b 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理内可导。(2)在a,b 内每点处g x0f / f bf a可编辑资料 - - - 欢迎下载精
3、品名师归纳总结3.2洛必达基本形式通分或取倒数化为0型与型未定式0g / ba0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就基本形式1) 型:常用通分的手段化为型或型。0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 0型:常用取倒数的手段化为0型或型,即:0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000 或 01/0。1/ 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取对数化为基本形式1)00 型:取对数得00e0 ln 0 ,其中0 ln 00001/0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 0 ln 00。1/ 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精
4、品名师归纳总结2) 1型:取对数得 1eln1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中ln10001/0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或ln103) 0 型:取对数得。1/ 000 lne,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 0 ln0或 0 ln0001/0。1/ 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -
5、- - - - -第 1 页,共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课后习题全解习题 3-1 1. 以下函数在给定区间上是否满意罗尔定理的全部条件?如满意,恳求出满意定理的数值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) fx2x2x3,1,1.5 。( 2)f xx3x, 0,3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点 :罗尔中值定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路 :依据罗尔定理的条件和结论,求解方程f
6、/ 0 ,得到的根 便为所求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:(1)f x2x2x3 在 1,1.5 上连续,在1,1.5 内可导,且f 1f 1.50 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x2x2x3 在 11,1.5 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 。 令 f410得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,1.5 即为所求。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2)f xx3x 在 0,3 上连续,在0 ,3内可导,且f
7、0f 30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xx3x 在 0,3 上满意罗尔定理的条件。令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 3230 ,得 20 ,3 即为所求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y4x 35x 2x2在区间 0,1上的正确性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点 :拉格朗日中值定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路 :依据拉格朗日中值定理的条件和结论,求解方程f f 1f 0,如得到的根 0,1 就可编
8、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10可验证定理的正确性。3232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:yf x4 x5xx2 在 0,1 连续, 在 0 ,1 内可导, y4x5xx2 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间 0,1 上满意拉格朗日中值定理的条件。又f 12,f02 , f x12x210x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1f 0513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要使f 0 ,只要:100 ,1
9、,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5130 ,1 ,使 ff 1f 0,验证完毕。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3. 已知函数f xx 4 在区间1,2上满意拉格朗日中值定理的条件,试求满意定理的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
10、归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 2f 13331515可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:要使f ,只要 41521,从而 41,2 即为满意定理4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4. 试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 :不妨设所争论的区间为a,b ,就函数ypx
11、2qxr在 a,b上连续,在a,b 内可导,从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 有 ff bf a, 即 2 q pb2qbr pa2qar ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bababa解得 ,结论成立。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5. 函数f xx 3 与 g xx21在区间1,2 上是否满意柯西定理的全部条件?如满意,恳求出满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结足定理的数值。学问点 :柯西中值定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路 :依据柯西中值定理的
12、条件和结论,求解方程f f bf a ,得到的根 便为所求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g g bg a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 :f xx 3 及 g xx21 在 1,2 上连续,在1,2 内可导,且在1,2 内的每一点处有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x2 x0,所以满意柯西中值定理的条件。要使f f 2f 1,只要32 7,解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 141,2 ,即为满意定理的数值。9g g 2
13、g123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 6. 设f x 在 0 ,1上连续,在0,1 内可导,且f 10 。求证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在 0,1 , 使 ff 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点 :罗尔中值定理的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路 :从f / f 结论动身,变形为f / f 0 ,构造帮助函数使其导函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f / x xf x , 然后再利用罗尔中值定理,便得结论。 构造帮助函数也是利用中值定
14、懂得决问题经常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用的方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 :构造帮助函数F xxf x , F xf xxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据题意F xxf x在 0,1
15、上连续,在0,1 内可导,且F 11f 10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F 00f 00 ,从而由罗尔中值定理得:存在0 ,1 ,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F f f0 ,即f f 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注:帮助函数的构造方法一般可通过结论倒推,如:要使fxf x x,只要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 l nfx lxnxlfn x x f0x 0x
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