《空间向量与立体几何知识总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《空间向量与立体几何知识总结.docx(9页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、精品名师归纳总结辅导科目: 数学授课老师: 全国章年级: 高二上课时间: 教材版本: 人教版总课时:已上课时: 课时同学签名:课 题 名 称教 学 目 标重点、难点、考点教学步骤及内容空间向量与立体几何z一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐标系和向量a ,设 i , j , k (单位正交基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结底)为坐标向量, 就存在唯独的有序实数组a1, a2 , a3 ,使 aa1ia2 ja3k ,有序实数Ax,y,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组 a1 ,a2, a3 叫作向量 a 在空间直角坐
2、标系 Oxyz 中的坐标,记作aa1, a2, a3 在空间直角坐标系Oxyz 中,对空间任一点A ,存在唯独的有序实数组 x, y, z ,使k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAxiyjzk ,有序实数组 x,y, z叫作向量 A在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标,i Ojy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 A x, y, z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标x二、空间向量的直角坐标运算律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 如 aa1, a2, a3 , bb1, b2 ,b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
3、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 ab a1b1,a2b2 , a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1, a2b2, a3b3 , a a1,a2,a3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a/ ba1b1,a2b2 ,a3b3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如A x1 , y1, z1 ,B x2,y2 , z2 ,就 AB x2x1, y2
4、y1, z2z1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) a / bbab1a1b2a2 Rb3a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、空间向量直角坐标的数量积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 、 设a, b 是 空 间 两 个 非 零 向 量 , 我 们 把 数 量| a |b | cosa, b叫 作 向 量a, b的 数 量 积 , 记 作 ab , 即 ab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可
5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a |b |cos2、模长公式a, b规定:零向量与任一向量的数量积为0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a |a ax 2x 2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、两点间的距离公式:如A x1 , y1, z1 ,Bx2,y2, z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就| AB |AB2212121 xx 2 yy zz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2或 d xx 2 yy 2zz 2 A, B212121
6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、夹角: cos a ba b| a | |b | 注:aba b0a ,b 是两个非零向量) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | a |22a aa 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 空间向量数量积的性质:2 a e| a |cosa,e aba b0 | a |6、运算律a a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bb a 。 a) b b a 。 a bca ba c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量:我们把直线l
7、上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线l 的方向向量2、平面的法向量:假如表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面,就称这个向量垂直于平面,记作n,假如n,那么向量 n 叫做平面的法向量。注:如 l,就称直线 l 为平面的法线。平面的法向量就是法线的方向向量。给定平面的法向量及平面上一点的坐标,可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法:(1) 直接法:找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量。(2) 待定系数法:建立空间直接坐标系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设平面的法向量为n x, y, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
8、- 欢迎下载精品名师归纳总结在平面内找两个不共线的向量a x1, y1, z1 和 bx2, y2 , z2AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结建立方程组:n a0n b0E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组,取其中的一组解即可。C五、证明D1、证明两直线平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知两直线 a 和b , 2、证明直线和平面平行A, Ba, C , Db , 就 a / b存在唯独的实数使 ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 1)已知直线 a, A, Ba,C, D, E且三点不共线,就a 存在有序实数对,
9、使 ABCDCE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 2)已知直线 a, A, Ba, 和平面的法向量 n , 就 a ABn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、证明两个平面平行已知两个不重合平面, 法向量分别为4、证明两直线垂直m, n , 就m / n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知直线a, b 。A, Ba, C, Db ,就 abABCD0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、证明直线和平面垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知直线a 和平面,且 A、 Ba
10、 , 面的法向量为m, 就 aAB/ / m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、证明两个平面垂直已知两个平面, 两个平面的法向量分别为六、运算角与距离1、求两异面直线所成的角m , n , 就mnABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知两异面直线a, b ,A, Ba, C, Db ,就异面直线所成的角为: cosABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题【空间向量基本定理】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1.已知矩形, P 为平面外一点,且平面,M 、N 分别为、上的点,且M分成定比 2, N 分成定比 1,求满意的实数
11、 x、y、z 的值。分析 ; 结合图形,从向量动身,利用向量运算法就不断进行分解,直到全部向量都用、表示出来, 即可求出 x、y、z 的值。如下列图,取的中点E,连接,就。点评:选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功,要结合已知和所求,观看图形,联想相关的运算法就和公式等,就近表示所需向量。再对比目标,将不符合目标要 求的向量当作新的所需向量,如此连续下去,直到全部向量都符合目标要求为止,这就是向量的分解。有分解才有组合,组合是分解的表现形式。 空间向量基本定理恰好说明,用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量, 而且的系数是
12、惟一的。【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2.如图,在四棱锥 P中,底面是正方形,侧棱底面, E 是的中点,作于点F。( 1)证明:平面。( 2)证明:平面。( 3)求二面角 C D 的大小。点评:( 1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量( 2)证明线面平行的方法:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线。利用共面对量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面对量( 3)证明面面平行的方法:转化为线线平行、线面平行处理。证明这两个平面的法向量是共线向量( 4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量相
13、互垂直( 5)证明线面垂直的方法:证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量。证明直线与平面内的两个不共线的向量相互垂直( 6)证明面面垂直的方法:转化为线线垂直、线面垂直处理。证明两个平面的法向量相互垂直【用空间向量求空间角】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3.正方形中, E、F 分别是,的中点,求:( 1)异面直线与所成角的余弦值。( 2)二面角 C F 的余弦值的大小。点评:(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得,即。( 2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得,即或( 3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的
14、法向量的夹角求得,它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例4.长方体中, 4, 6, M 是 A 1C1的中点, P 在线段上,且 2, Q 是 1的中点,求:( 1)异面直线与所成角的余弦值。( 2) M 到直线的距离。( 3) M 到平面 1P 的距离。此题用纯几何方法求解有肯定难度,因此考虑建立空间直角坐标系,运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角,在新高考试题中已多次显现,但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离, 线与面、面与面之间所成的角和距离仍涉及不深,随着新教材的推广使用,这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几
15、类问题的解决方法。( 1)平面的法向量的求法:设,利用 n 与平面内的两个向量a,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解。( 2)线面角的求法:设n 是平面的一个法向量, AB 是平面的斜线 l 的一个方向向量,就直线与平面所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角为就sinABnABn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 3)二面角的求法: ,分别是二面角的两个面内与棱 l 垂直的异面直线, 就二面角的大小为。设分别是二面角的两个平面的法向量,就就是二面角的平面角或其补角。( 4)异面直线间距离的求法:是两条异面直线, n 是的公垂线段的方向
16、向量,又C、D 分别是上的任意两点,就。( 5)点面距离的求法:设n 是平面的法向量,是平面的一条斜线,就点B 到平面的距离为。( 6)线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。练习:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如等边ABC 的边长为 23 ,平面内一点 M 满意12CMCBCA ,就 MAMB 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在空间直角坐标系中,已知点A( 1, 0, 2), B1 ,-3 , 1 ,点 M在 y 轴上,且 M到 A 与到 B的距离相等,就M的坐标是。3.(本小题满分 12 分)1如图,在五面体中,平面 , ,
17、M 为的中点,2(I) 求异面直线与所成的角的大小。证明平面平面。()求二面角的余弦值。4(此题满分 15 分)如图,平面 PAC平面 ABC , ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E, F , O 分别为,PA5 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PB, AC 的中点, AC16, PAPC10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结课 后 评 价一、同学对于本次课的评判 特殊中意 中意 一般 差二、老师评定本节课教学方案完成情形:照常完成提前完成延后完成同学的接受程度:完全能接受部分能接受不能接受同学的课堂表现:很积极比较积极一般不积极同学上次的作业完成情形:数量%完成质量分存在问题协作需求:家长:学习治理师:学问漏点及后期方案:学习治理师:学科组长审核:教学主任审核:6 / 6可编辑资料 - - - 欢迎下载
限制150内