实验数据处理方法 第四章 特殊的概率分布函数.ppt
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1、实验数据处理方法第一部分:概率论基础,第四章特殊的概率密度函数,概率分布函数反映了随机变量的概率分布规律;在概率论中处理概率分布时一般不涉及分布的物理来源,为在实验数据分析中正确地掌握和运用这些分布函数,需要:熟悉公式及运算规则;分布的物理意义;实验数据处理中所用到的概率分布的来源:实验所涉及到的物理问题本身的统计性质带来的,这类分布比较多样化,是和所处理的物理问题有直接的联系;对实验测量结果作数据处理时所引进的。这一类分布比较标准化,且处理的方法也比较明确;本章内容:数据处理过程中常用的概率分布函数,给出它们的定义、性质和实际应用,第四章特殊的概率密度函数,4.1 二项式分布(Binomia
2、l Distribution),4.1 二项式分布(Binomial distribution),一、定义(亦称伯努利分布):,考虑一个随机实验的两个互斥的结果:成功和失败,设成功的概率为p,则不成功的概率为1-p=q。在n次独立的实验中,有r次成功的概率为:,二、性质:,满足归一化条件,证:,4.1 二项式分布(Binomial distribution),在变换(r,p)(n-r,1-p)下保持不变:B(r;n,p)=B(n-r;n,1-p),当p=q=0.5时,是对称的; 对于任意的p值,是非对称的; 当n增大时,分布趋于对称; 当n很大时,近似为正态分布,服从二项式分布的随机变量r 的
3、平均值和 方差:,三、应用:,给出进行N次实验有r次成功的概率。,4.1 二项式分布(Binomial distribution),例1:直方图(Histogram),考虑一直方图,设A表示一事例落入Bin i,A表示某事例落入直方图中其它的Bin,如果共有n个独立的事例,其中有r个事例落入Bin i,n -r个事例分布于其它的Bin r服从二项式分布,Bin i中事例数r的期望值和方差: E(r) = n p V(r) = n p (1 - p),r的标准偏差:,概率p是未知的,可由实验结果估计:,一维散点图,一维直方图,4.1 二项式分布(Binomial distribution),例2
4、设在某实验中,所期望的事例出现的概率为p。问,需要作多少次实 验才能使至少有一个这样的事例出现的概率为?,设在N次实验中共出现了X这样的事例。X服从二项式分布,至少有一个这样的事例出现的概率:,0 2 1 3 2 3 1 2,N次,成功次数r,几何分布,负二项式分布,超几何分布,作一系列独立的伯努利实验,前r-1次实验失败,第r次成功的概率:,不是从n次实验中抽取的。,作一系列独立的伯努利实验,在第r次实验中事件是第k次成功,这类事件的概率为:,N个元素,其中a个表示成功,N-a个表示失败,从N个元素中一次抽取n个元素,其中有r个成功,n-r个失败的概率为:,4.1 二项式分布(Binomia
5、l distribution),超几何分布的期望值和方差为:,当 时,超几何分布近似为二项式分布,其中 。,第四章特殊的概率密度函数,4.2 多项式分布(Multinomial distribution),4.2 多项式分布(Multinomial distribution),一、定义,设可能的实验结果可分成k组:A1、A、A k,每次实验结果落入某一组Ai的几率为pi,如果共进行了n次独立的实验,实验结果落入各个组的次数为r1、r、rk的概率为 ( ),二、性质,多项式分布是二项式分布的推广,除具有二项式分布的一些特性外,还具有以下的附加性质:,4.2 多项式分布(Multinomial d
6、istribution),1)ri的期望值: E(ri) = Npi2) ri的方差: v(ri) = npi (1 - pi)3) ri和rj的协方差:cov(ri, rj) = -npipj 相关系数: 即: ri和rj总是负相关 一维直方图中,当bin宽度足够小时(pi0) , ri和rj相关度很小。4)当n很大时,多项式分布趋向于多维正态分布,三、应用:,用于处理一次实验有多个可能的结果的情况,4.2 多项式分布(Multinomial distribution),例:设有n个事例,分布于直方图的k个bin中,某事例落入bin i的概率为pi,落入bin i的事例数为ri,则k个bin
7、中事例数分别为r1、r、rk的概率为多项式分布,ri的期望值和方差: E(ri) = npi v(ri) = npi (1 - pi)如果pi 1,即bin的数目k很大,则有v(ri) npi =ri,带误差棒的一维直方图,第四章特殊的概率密度函数,4.3 泊松分布(Possion distribution),4.3 泊松分布(Possion distribution),一、定义,泊松分布是二项式分布的极限形式:p0,n,但np=有限值. 根据Stirling公式,当n很大时,4.3 泊松分布(Possion distribution),二、性质,期望值:E()= 方差:V()= ,三、应用:
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