数控编程中的数值计算.ppt
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1、第三章 程序编制中的数值计算,3.1 数值计算的内容3.2 简单轮廓的基点计算3.3 非圆曲线节点坐标的计算3.4 列表曲线节点坐标的计算3.5 刀位轨迹的坐标计算3.6 曲面加工中的数值计算,3.1 数值计算的内容,数控机床的控制系统主要进行的是位置控制,即控制刀具的切削位置。数控编程的主要工作就是把加工过程中刀具移动的位置按一定的顺序和方式编写成程序单,输入机床的控制系统,操纵加工过程。刀具移动位置是根据零件图纸,按照已经确定的加工路线和允许的加工误差(即容差:用插补线段逼近实际轮廓曲线时允许存在的误差)计算出来的。这一工作称为数控加工编程中的数值计算。数值计算主要用于手工编程时的轮廓加工
2、 。,数控加工编程中的数值计算主要包括:,工件零轮廓中几何元素的基点插补线段的节点刀位轨迹坐标计算辅助计算等内容,基点,基点就是构成零件轮廓的各相邻几何元素之间的交点或切点。如两直线的交点、直线与圆弧的交点或切点、圆弧与二次曲线的交点或切点等等,均属基点。一般来说,基点的坐标根据图纸给定的尺寸,利用一般的解析几何或三角函数关系不难求得。,节点,节点是在满足容差要求条件下用若干插补线段(如直线段或圆弧段等)去逼近实际轮廓曲线时,相邻两插补线段的交点。节点的计算比较复杂,方法也很多,是手工编程的难点。有条件时,应尽可能借助于计算机来完成,以减少计算误差并减轻编程人员的工作量。一般称基点和节点为切削
3、点,即刀具切削部位必须切到的点。,刀位轨迹的坐标计算,刀位点是指刀具上代表刀具在工件坐标系中所在位置的一个点。刀位诡计即指刀位点在工件坐标系中运动时所描述的轨迹,又称为刀具路径。刀具中心位置是刀具相对于每个切削点刀具中心所处的位置。因为刀具都有一定的半径,要使刀具的切削部位切过轮廓的基点和节点,必须对刀具进行一定的偏置。对于没有刀具偏置功能的数控系统,应计算出相对于基点和节点的刀具中心位置轨迹。对于具有刀具偏置功能的数控系统,加工某些内腔型面时,往往也要求计算出刀具中心轨迹的坐标数据。,辅助计算,辅助计算包括以下内容:1)增量计算 对于增量坐标的数控系统,应计算出后一节点相对前一节点的增量值2
4、)辅助程序段的数值计算 对刀点到切入点的程序段,以及切削完毕后返回到对刀点的程序均属辅助程序段。在填写程序单之前,辅助程序段的数据也应预先确定。,3.2 简单轮廓零件的基点计算,基点的计算,一零件轮廓如图所示,其中A、B、C、D、E、F为基点, A、B、C、D、可直接由图中所设工件坐标系中得知。E点是直线DE与EF的交点,F是直线EF与圆弧AF的切点。分析可知,OF与X轴的夹角为30,EF与X轴夹角为120,则FX = 20 cos30=17.321 FY = 20 sin30= 10 EY = 30 EX = FX -(EY - FY )/ tg60= 5.774,一、直接计算法,例1 计算
5、图中4*R12圆弧与各直线相切的切点坐标。,十字配合件,局部放大图,分为三步进行:1)按点斜式列出两直线方程,联立求解两直线交点C的坐标。2)在直角三角形O1CA中,利用三角函数关系求出CA长S。3)利用三角函数关系求出A、B两点在XOY坐标系中的坐标值。,局部放大图,1)确定斜直线方程,2)在直角三角形O1CA中,利用三角函数关系求出CA长S,3)利用三角函数关系求出A、B两点在XOY坐标系中的坐标值。,例2 计算加工中心试件各相邻圆弧间的切点坐标。,加工中心试件,试件计算图,A点,B点,B点,二、由方程导出标准计算式,图上多数坐标点,可用直接计算法求解。但需要采用解联立方程组求解某点坐标时
6、,需要方程组求解比较简便。事先导出标准计算式,计算时直接套用该标准计算式即可。常用的三种标准计算式1.直线与直线相交2.直线与圆弧相交或相切3.圆弧与圆弧相交或相切,1.直线与直线相交,2.直线与圆弧相交,3.圆弧与圆弧相交或相切,例3 确定基点坐标A、B、C、D、E点,三、三角函数法,直线和圆弧组成的零件轮廓,用方程组法公式过于复杂,可用三角函数法进一步简化。,三角函数法对以上计算规则进行研究并考虑几何图形所处象限或方位变化,无需在土中添加过多的辅助线,只利用图形的三角函数关系计算基点坐标。以下介绍四种类型。,3.3 非圆曲线节点坐标的计算,大多数铣床或加工中心都具有直线及圆弧插补功能,因此
7、在加工由直线、圆弧组成的平面轮廓时,只需进行各基点的数值计算,不涉及节点计算问题。但若零件轮廓不是直线和圆弧组合而成,则要用直线段或圆弧段去逼近轮廓曲线,故要进行相应的节点计算。 ,非圆曲线数值计算的一般步骤,1.选择插补方式2.确定编程允许误差3.选择数学模型、确定计算方法4.根据算法,画出计算机流程图5.编写程序,求解坐标数据,几种常用插补方法中节点坐标的计算:,直线逼近法等间距直线逼近的节点计算等步长插补法等误差插补法圆弧逼近算法,1.直线逼近算法,等间距法是将某一坐标轴划分成相等的间距。在x轴方向取x为等间距长,根据已知曲线的方程y=f(x),可由xi求得yi,xi+1=xi+ x,y
8、i+1=f (xi+1)。如此求得的一系列点就是节点。,一般取,一般取x=0.1进行试算,仅需校验曲率半径最小处和两节点间距离最长处的误差。,2等步长插补法,等步长是指插补的直线段长度相等,而插补误差则不一定相同。计算插补节点时,必须使产生的最大插补误差max小于或等于容许的插补误差,以满足加工精度的要求。图所示为一段轮廓曲线。设曲线方程为 y = f(x),则等步长插补节点的计算步骤为:,2等步长插补法,1)求曲线段的最小曲率半径Rmin,最大插补误差max必在最小曲率半径Rmin处产生,已知曲线曲率半径为: R = 1+(y)2 3/2 / y (3-1) 欲求最小曲率半径,应将式(2-1
9、)对x求一阶导数,即dR / dx = 3(y)2 y1+(y)21/2 - 1+(y)23/2 y /(y)2 令dR / dx = 0,得 3(y)2y-1+(y)2y= 0 (3-2) 由此可求出最小曲率半径处的x值。将此值代入式(3-1),可得Rmin 。,2)求插补步长h,在三角形ofg中,有 (/ 2)2 = R2 (R max )2 取max =(一般取零件公差的1/51/10), R = Rmin ,则插补步长为 h 8Rmin,3)求插补节点,步长确定之后,以曲线的起点a(x0,y0)为圆心,步长为半径作圆,该圆与曲线的交点b,即为第一个插补节点。即联立方程 y = f(x)
10、 (x x0)2 + (y y0)2 = 8 Rmin 的解(x1,y1),即为b的坐标。再以b点为圆心,重复3),即可求得下一插补节点。依此类推,可求得y = f(x)的全部插补节点。,例 一轮廓曲线方程为x2 = 4ay起点为(0,0)。则 y= x / 2a y= 1 / 2a y = 0 代入式(3-2) 3(y)2y-1+(y)2y= 0 ,再将所的结果x = 0 代入式(3-1) R = 1+(y)2 3/2 / y可得 Rmin = 2a ,将Rmin代入式(3-3),得 16a 最后由式(3-4)解联立方程:,x2 = 4 a y x 2 + y 2 = 16 a 即可得第一个
11、插补节点。重复步骤3),可求得其余插补节点。等步长插补法,计算过程比较简单,但因步长取决于最小曲率半径,致使曲率半径较大处的节点过多过密,所以等步长法只对于曲率半径变化不是太大的的曲线加工较为有利。,等误差法可使各插补直线段的插补误差小于或等于容许的插补误差,其插补线段可长可短。该插补法适用于轮廓曲率变化比较大、形状比较复杂的工件,是插补线段最少的方法。如图所示,设轮廓曲线方程为y = f(x),插补容差为,则等误差法插补节点的计算步骤为:,3.等误差插补法,1)以曲线起点(x0 ,y0)为圆心,为半径作圆,圆方程为 (x x0)2 + (y y0)2 = 2 2)作该圆与轮廓曲线y = f(
12、x)的公切线,得到两切点(0 ,0),(1 ,1),满足下列联立方程:对曲线 f (1)=(1 -0)/ (1 -0) f (1)= 1 对圆 F (0)=(1 -0)/ (1 -0) F (0)= 0式中,y = F(x)表示圆方程。由此可求得公切线得斜率k k = (1 -0)/ (1 -0),3)过(x0 ,y0)点作公切线的平行线y y0 = k(x x0)4)将平行线方程与轮廓曲线方程联立,可求得第一个节点坐标(x1 ,y1)。 y = f(x) y y0 = k(x x0)依此类推,再以(x1 ,y1)点为圆心重复上述步骤,可求其余插补节点。,用圆弧段逼近轮廓曲线是一种精度较高的插
13、补方法。用这种方法插补轮廓曲线时,需计算出各插补圆弧段半径、圆心及圆弧段的起点和终点(即轮廓曲线上的插补节点)。如图所示,设轮廓曲线方程为y = f(x),插补容差为,圆弧插补节点的计算步骤如下:(1)曲率圆法圆弧逼近的节点计算,4圆弧逼近算法,1)求曲线起点(x1 ,y1)处的曲率半径R1 R1 = 1+(y)2 3/2 / |y|2)求(x1 ,y1)处的曲率圆的圆心坐标(1 ,1) 1 = x1 y1 +(y)2 / y 1 = y1 + 1 +(y)2 / y,3)以(1 ,1)为圆心,R1为半径的圆弧与曲线y = f(x)交点(x2 ,y2),即插补节点。解联立方程 y = f(x)
14、 (x 1)2 + (y 1)2 = (R1)2 式中,当轮廓曲线的曲率递减时,取R1+为半径;当轮廓曲线的曲率递增时,取R1 -半径。解上述联立方程得到的(x ,y),即为圆弧与曲线的交点(x2 ,y2)。曲线y = f(x)在(x1 ,y1)和(x2 ,y2)两节点间的线段是以此为起、终点的圆弧替代的。,4)插补圆弧的圆心(1 ,1) 插补圆弧的圆心是这样求得的:分别以(x1 ,y1)和(x2 ,y2)为圆心,以R1为半径作两段相交的圆弧,两圆弧的交点即为所求的圆心。故须解下列联立方程: (x1 1)2 + (y1 1)2 = R12 (x2 1)2 +(y2 1)2 = R12 求得的(
15、1 ,1)即为插补圆弧段的圆心。重复上述过程,再从(x2 ,y2)处开始,可求得曲线y = f(x)在(x2 ,y2)处的曲率半径R2 和曲率圆圆心(2 ,2)及插补圆弧段的圆心(2 ,2)。依此类推,可完成全部插补节点、插补圆弧半径及插补圆弧圆心的计算。,2.三点圆法圆弧逼近的节点计算,三点圆法是在等误差直线段逼近求出各节点的基础上,通过连续三点作圆弧,并求出原心点的坐标及圆弧半径。如图所示,首先从曲线起点开始,通过P1,P2,P3三点中任意两点连线的中垂线上,据此可求出圆心点坐标及圆弧半径。,3.相切圆法圆弧逼近的节点计算,方法比较繁琐,仅了解基本原理即可。如图所示,通过曲线上A,B,C,
16、D点作曲线的发现,分别交于M,N点,以M点为圆心,AM为半径作圆M,以N为圆心,ND为半径作圆,,若使圆M和圆N相切,必满足采用此方法求解B,C,D三点坐标值,要使用迭代法解联立方程组,而且求解过程繁琐。,1. 数控编程的数值计算包括哪些内容?2. 基点和节点有什么区别?何为切削点?3. 等步长法插补轮廓曲线,其插补节点的计算步骤是什么?试述其特点和适用范围。4. 等误差法插补轮廓曲线,其插补节点的计算步骤是什么?试述其特点和适用范围。,思考与练习,3.4 列表曲线节点坐标的计算,一、概述 零件的轮廓形状除可用直线、圆弧及各种非圆曲线表达之外,还可以用列表曲线表示。所谓列表曲线是指零件图样上的
17、曲线形状是由一系列坐标点所确定。列表曲线的表达形式来源于两种情况:1)零件的轮廓形状是通过实验或测量的方法得到,无法给出确定的函数表达式;2)编程员在处理非圆曲线时,为了便于求解节点坐标,常按等间距对曲线进行分割,由计算机求解出大量的点坐标数据。,采用直线方程或圆方程之外的其它数学方程式(如抛物线、三次样条曲线)对列表点进行拟合,得到由多段参数不同但方程式表达形式完全相同的函数表达式,称为第一次拟合;然后根据编程允差的要求,再对第一次拟合时的数学方程(称为插值方程)进行插点加密,求得新的节点,再在新的节点之间采用直线或圆弧拟合,称为第二次拟合。,1.三次参数样条曲线拟合所谓样条:用模拟弹性梁弯
18、曲变形的方法而模拟出的具有力学特性的曲线。,3.5 刀位轨迹坐标的计算,机床数控系统在控制刀具进行切削加工时,是按刀具中心(立铣刀是指刀具端面的中心位置)在工件坐标系中的位置进行控制的。显然刀具中心不能落在切削点上,因为刀具都有一定的尺寸,要使刀具的切削表面始终相切地经过工件轮廓的切削点,必须对刀具进行一定的偏置。刀具偏置又称刀具半径补偿或刀具半径偏移。 ,具有刀具中心自动偏置功能的数控机床,可直接按零件轮廓切削点的位置进行编程,其刀具半径偏置由数控系统自动调用预先存储在刀具半径补偿地址中的数值来实现。但对于没有刀具自动偏置功能的数控系统,则需要计算出相对于切削点的刀具中心位置的坐标作为编程数
19、据。在平面轮廓加工中,常用立铣刀,设刀具半径为R,若切削点的坐标为(x ,y),切削点的法矢为n(n x ,n y),则相应与切削点的刀具中心位置为:x刀 = x + R n xy刀 = y + R n y 由此可见,刀具一经选定,只要求出各刀具切削位点的单位法矢,就可算出刀具中心的偏置位置,从而求得刀具中心规迹。这里主要给出三种切削点单位法矢的计算方法:直线段的单位法矢圆弧段上某切削点的单位法矢平面曲线上某切削点的单位法矢,直线段的单位法矢,设ab 为平面轮廓上一直线段,起点为a( x a , y a ),终点为b ( x b , y b ),该定向直线段的单位矢量为: xb xa yb -
20、 ya = x , y = L , L 式中 L = ( x b x a )2 +( y b y a)2 为直线段的长度。,显然,直线上任一点处的单位矢量都是相同的。所以,直线 ab 上各点的单位法矢 n 也都是相同的。即 n = nx ,ny = 干y ,x 式中正负号的选取规定如下:顺时针方向走刀时,刀具始终位于工件轮廓的左侧(左偏置)或逆时针方向走刀时,刀具始终位于工件轮廓的右侧(右偏置)取上方符号;顺时针方向走刀时,刀具始终位于工件轮廓的右侧(右偏置)或逆时针方向走刀时,刀具始终位于工件轮廓的左侧(左偏置)取上方符号取下方符号。,圆弧段上某切削点的单位法矢,设P为半径为R、圆心为C的圆
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