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1、1,4.1 功,4.2 动能定理,4.3 一对力的功,4.4 保守力,4.5 势能,4.6 由势能求保守力(书4.5节),4.7 功能原理,机械能守恒定律(书4.6节),4.8 守恒定律的意义(书4.7节),4.9 碰撞(书4.8节),4.10 质心系中的功能关系,4.11 两体问题(书4.9节),前言,本章目录,2,前 言,机械能守恒定律。, 功的计算是否依赖参考系? 势能是否与参考系的选择有关? 机械能守恒是否与惯性系的选择有关? 摩擦生热是否与参考系选择有关?,本章讨论力对空间的积累效应, 功、,动能、,势能、,动能定理、,要求:,1.深入理解以上概念,,搞清它们是属于质点、,还是属于系
2、统?,与参考系的选择有无关系?,2.搞清规律的内容、,来源、,对象、,适用条件、,与参考系的关系等。,如:,3, 4.1 功(work),功:力和力所作用的质点(或质元)的位移的, 功依赖于参考系; 功是标量,,标量积。,有正、负之分。,4,例 一质点受变力 作用,求(1)质点沿OMQ运动时变力所作的功。(2)质点沿OQ运动时变力所作的功。,5,质量为10kg 的质点,在外力作用下做平面曲线运动,该质点的速度为,解,在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中,外力做的功。,求,例,开始时质点位于坐标原点。,6,4.2 动能定理(kinetic energy theorem), 对质
3、点,由牛顿第二定律,有动能定理:, 动能,(对惯性系), 对质点系,有动能定理:,(各质点位移不一定相同)。,注意:,内力虽成对出现,,但内力功的和不一定,为零,7,长为l 的均质链条,部分置于水平面上,另一部分自然下垂, 已知链条与水平面间静摩擦系数为0 , 滑动摩擦系数为,(1) 以链条的水平部分为研究对象,设链条每单位长度的质量为,沿铅垂向下取Oy 轴。,解,例,求,满足什么条件时,链条将开始滑动(2)若下垂部分长度为b 时,链条自静止开始滑动,当链条末端刚刚滑离桌面时,其速度等于多少?,当 y b0 ,拉力大于最大静摩擦力时,链条将开始滑动。,设链条下落长度 y =b0 时,处于临界状
4、态,8,(2) 以整个链条为研究对象,链条在运动过程中各部分间相互作用的内力的功之和为零,,摩擦力的功,重力的功,据动能定理:,9,4.3 一对力的功,一. 一对力:,:m2相对m1 的,分别作用在两个物体上的大小相等、,它们通常是作用力与反作用力,,但也可不是。,元位移。,方向相反的力。,二. 一对力的功,10,(1)表示初位形,即 m1在A1,m2在A2;,(2)表示末位形,即 m1在B1,m2在B2 。,况下,,1.W对 与参考系选取无关。,说明:,2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。,(摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果),3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情,一对力的功必为零。,1
5、1,例如:,12,4.4 保守力(conservative force),一. 定义,这样的力称为保守力。,若 为保守力,,如果一对力的功与相对移动的路径无关,,而只决定于相互作用物体的始末相对位置,,则:,(此式也可作为保守力的定义),13,二. 几种保守力,1.万有引力,任何中心力 都是保守力。,14,2. 弹力,一维运动时,x 对自然长度的增加量,k 弹簧的劲度(stiffness)。,3. 重力,重力并不是地球表面附近的万有引力。,三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如: 摩擦力(耗散力): 一对滑动摩擦力作功恒为负; 爆炸力:作功为正。,15,4.5 势能(poten
6、tial energy),利用保守力的功与路径无关的特点,可引入,一. 系统的势能 Ep,其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。,若规定系统在位形(0)的势能为零, 则:,“势能” 的概念。,定义:,系统由位形(1)变到位形(2)的过程中,,16,说明:,零点的选择与参考系的选择相混淆。,二. 几种势能,1.万有引力势能,令,有,则 C = 0,,1.势能属于相互作用的系统;,2.势能不依赖于参考系的选择,,不要将势能,17,2.重力势能,令,3.弹性势能,令,有,有,18,4.6 由势能求保守力,一. 由势能函数求保守力,所以有:,19,通常 EP 可以是几个坐标的函数,,若,则有:,
7、 EP 的梯度(gradient),此时有:,20,二 . 由势能曲线求保守力,例:双原子分子势能曲线,是引力。,是斥力。,则有,21,4.7 功能原理,机械能守恒定律,一. 功能原理(work-energy theorem),对质点系有:,引入系统的机械能,(积分形式),(微分形式),22,二. 机械能守恒定律 ( law of conservation of mechanical energy),在只有保守内力作功时,系统的机械能不变。,即, 机械能守恒定律,显然,孤立的保守系统机械能守恒。,即,23,三. 普遍的能量守恒定律,如果考虑各种物理现象,计及各种能量,则 一个孤立系统不管经历何
8、种变化, 系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律,机械运动范围内的体现。,机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在,保守内力作功是系统势能与动能相互转化,的手段和度量。,24,四.守恒定律联合应用举例,例1,已知:m = 0.2kg, M=2kg, v = 4.9m/s 。,求:hmax = ?,解:,m + M + 地球:,W外= 0,W内非 = 0 ,,当 h= h max 时,M 与 m有相同的水平速度 。,取地面 Ep = 0,有:,故机械能守恒。,25,分析结果的合理性:, 量纲对。,代入数据:,正确。,m + M:,水平方向F外= 0,故水平方向动量守恒,mv =(m+M)V
9、,(2),26,例2分析荡秋千原理:,m表示人的质心, 12:人迅速蹲下,使有效,摆长 由 变为l ;, 23:对(人+地球)系统,,(1),角动量守恒:,(2), 45:对(人+地球)系统,机械能守恒:,(3),只有重力作功,机械能守恒:,27,(1)、(2)、(3)联立解得:,人越摆越高,能量从哪儿来?,即人越摆越高。,28,把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度,据机械能守恒定律有:,例,物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。,求:,发射出去,阻力忽略不计,,29,用弹簧连接两个木板m1 、m2 ,弹簧压缩x0 。,解,整个过程只有保守力作功,机械能守恒,例,给m2
10、上加多大的压力能使m1 离开桌面?,求,30,在恒星系中,两个质量分别为 m1 和 m2 的星球,原来为静止,且相距为无穷远,后在引力的作用下,互相接近,到相距为 r 时。,解,由动量守恒,机械能守恒,例,解得,相对速率,求它们之间的相对速率为多少?,31, 4.8 守恒定律的意义,物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究,这是因为: 第一,从方法论上看:,自然界中许多物理量,如动量、,角动量、,机械能、,电荷、,质量等等,,都具有相应的守恒定律。,利用守恒定律研究问题,,低速均适用。,而对系统始、末态下结论,可避开过程的细节,,(特点、优点)。,第二,从适用性来看:,守恒定律适用范围广,,宏观
11、、,微观、,高速、,32,第三,从认识世界来看:,守恒定律是认识世界的很有力的武器。 在新现象研究中,若发现某守恒定律不成立, 则往往作以下考虑: (1)寻找被忽略的因素,从而使守恒定律成立, 如中微子的发现。 (2)引入新概念,使守恒定律更普遍化(补救)。 (3)当无法补救时,则宣布该守恒定律不成立, 如弱相互作用宇称(parity)不守恒。,33,不论哪种情况,都是对自然界的认识上了新,都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。,第四,从本质上看: 守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。对称 在某种“变换”下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性: 动量守恒相应于空间平移的对称性; 能量
12、守恒相应于时间平移的对称性; 角动量守恒相应于空间转动的对称性;,台阶。,因此守恒定律的发现、,推广、,甚至否定,,34, 4.9 碰撞(Collision)(书4.11节),碰撞)等规律对问题求解。,碰撞过程一般都十分复杂,难于对过程的,细节进行分析。,但是通常我们只关心物体在,碰撞前后运动状态的变化,,而在碰撞中相对于,内力(往往是冲击力)来说,,外力又往往可以,忽略。,因而碰撞中我们就可以利用动量守恒、,角动量守恒,和碰撞前后总动能不变(对弹性,书上的例题要认真阅读。,35,4.10 质心系中的功能关系,S(惯性系):,S(质心系):,36,可以证明,质心系中功能原理仍然成立:,二. 质
13、心系中的功能原理,(积分形式),(微分形式), 克尼希定理,37,质心系中的功能原理成立,可简单地做如,下证明:,若质心系是惯性系,则功能原理必然成立。,若质心系是非惯性系,则还需考虑惯性力的功。,即:,设质心加速度为,则,于是有,38,质心系中机械能守恒定律:,守恒定律都与惯性系中形式相同。,三. 质心系中两质点系统的动能,惯性系 S:,不管质心系是否为惯性系,,功能原理和机械能,39,质心系S :,= ,令, 相对速度, 约化质量(reduced mass),则有,40,若,则,例如对物体(m) 地球(Me)系统:,Me m,,地球 物体质心系中,地球和物体总动能为:,地球动能的道理。, = m,,此即地心系中物体的动能,,这就是我们讨论,地球 物体系统的能量问题时,,可以不考虑,41,例,k为常量。,已知:质子间相互作用电势能为,求:二者能达到的最近距离 rmin,解:,分别以速率v0 和 2v0 相向运动。,势能之和守恒(忽略万有引力) 。,能转化为静电势能。,(在实验室系如何?),两个质子从相距很远处,两质子间只有保守内力作用,,动能和静电,在质心系中两质子达到最近距离时,,全部动,42,
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