蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第8章--一般均衡)(共8页).doc
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2、规范为1,设商品的价格为。二人的效用最大化问题分别为: 和 建立拉格朗日函数:一阶必要条件分别为:以及再加上市场出清条件,瓦尔拉斯均衡价格和配置为:;,2一个二人经济中有两种商品。个体1开始有30单位商品,个体2开始有20单位商品;两人的效用函数分别是:,试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。解:个体1和2的效用函数表明和是互补品。将1和2的无差异曲线绘制成Edgeworth方框如图8-1所示。图8-1瓦尔拉斯均衡要求预算线与无差异曲线在同一点上(相切),由图8-1可知,在任何一种非0的价格水平下,满足双方效用最大化的分配都不会导致市场出清(典型情况是商品的社会超额需求小于零,商品的社会
3、超额需求小于零),因此也不可能达到瓦尔拉斯均衡。在这个纯交换经济当中,瓦尔拉斯均衡点只能是Edgeworth方框的两个对角点或,对应的均衡价格分别为或,即全部的产品无偿归某一个消费者所有。3在一个两种商品、两个消费者的经济中,假设社会的初始禀赋是。消费者的马歇尔需求是。如果两个消费者都是非局部餍足的。(1)证明:对任何价格,(2)如果在价格下商品市场出清,证明商品市场也必然同时出清。证明:(1)设两消费者的初始禀赋分别为,则他们的预算约束为: 两式相加并整理得:由于,代入可得:。(2)由(1)的结果,当价格下商品市场出清,则有,代入得:由于,所以,因此市场也必然同时出清。4考虑8.1.2节中定
4、义的映射(8.7):(1)验证:,都有;(2)验证是的连续函数。证明:(1)根据题意,由于,所以:(2)因为,所以是的连续函数。5假设经济中每个个体的间接效用函数都有拟线性形式:是一个瓦尔拉斯均衡。证明:在附近总需求函数是的单减函数。证明:由Roy等式,个体对商品的需求为:根据间接效用函数的拟凸性质,有:因此,在附近总需求函数是的单减函数。6在什么情况下契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上?此时是否每个帕累托配置都对应一个瓦尔拉斯均衡(适当调整初始禀赋)?你的回答是否与福利经济学第二基本定理矛盾?解:当对于所有禀赋约束下可能的配置结果,消费者1的无差异曲线斜率都大于消费者2的无差异
5、曲线斜率时,会出现角点解,即契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上。此时通过适当调整初始禀赋,每个帕累托配置也都对应着一个瓦尔拉斯均衡。这一点与福利经济学第二基本定理相符。7证明:对于一个包含个消费者、个厂商、种商品的经济,通过适当调整个体的初始效用水平,任何一个帕累托有效配置都可以通过求解问题(8.24)得到。证明:任取一个帕累托有效配置,指定;记(8.24)的解,下面需要证明,。为证明,只需证明。因为如果不是这样,那么在基础上更改其消费可改善个体1的福利,同时未损害其他个体的利益,这与帕累托有效矛盾。对任何厂商,任两种商品和,都必须满足(8.24)的一阶必要条件,这样,在的前提下
6、,就意味着。8假设经济中各个体的效用函数是,定义社会福利函数其中,是每个分量都大于零的常向量。给定经济中的初始禀赋不变,证明:(1)使得社会福利达到最大,则它必然是一个帕累托有效配置;(2)如果是一个帕累托有效配置,且每一个是连续、单增的凹函数,则必然存在,使得函数的最大值解就是;(提示:使用福利经济学第二基本定理)(3)上一小问中的有什么经济学解释?证明:(1)如果不是帕累托有效配置,则存在另一个不同的配置,以及某个消费者,使得,且。从而与之相矛盾,所以它必然是一个帕累托有效配置。(2)因为是帕累托有效配置,适当调整经济中的初始禀赋,可使成为一个瓦尔拉斯均衡(福利经济学第二基本定理),令均衡
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