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1、测量精度指测量的结果相对于被测量真值的偏离程度。在测量中,任何一种测量的精密程度高低都只能是相对的,皆不可能达到绝对精确,总会存在有各种原因导致的误差。为使测量结果准确可靠尽量减少误差,提高测量精度必须充分认识测量可能出现的误差,以便采取必要的措施来加以克服。通常在测量中有基本误差、补偿误差、绝对误差、相对误差、系统误差、随机误差、过失误差与抽样误差等。 测量误差及其产生的原因 测量误差的分类与处理原则 偶然误差的特性 精度评定的指标 误差传播定律及其应用一、观测误差一、观测误差当对某观测量进行观测,其观测值与真值(客观存在或理论值)之差,称为测量误差。用数学式子表达:i = Li X(i=1
2、,2n)L 观测值X真值二、测量误差的来源二、测量误差的来源测量误差产生的原因很多,但概括起来主要有以下三个方面:1、仪器的原因 仪器结构、制造方面,每一种仪器具有一定的精确度,因而使观测结果的精确度受到一定限制。DJ6 型光学经纬仪基本分划为 1,难以确保分以下估读值完全准确无误。使用只有厘米刻划的普通钢尺量距,难以保证厘米以下估读值的准确性。仪器构造本身也有一定误差。例如:水准仪的视准轴与水准轴不平行,则测量结果中含有 i 角误差或交叉误差。水准尺的分划不均匀,必然产生水准尺的分划误差。2、人的原因观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果
3、带来不同程度的影响。3、外界条件例如:外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化,均使观测结果产生误差。例如:温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移,大气折光使望远镜的瞄准产生偏差,风力过大使仪器安置不稳定等。人、仪器和外界环境通常称为观测条件;观测条件相同的各次观测称为等精度观测;观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。三、测量误差的分类三、测量误差的分类先作两个前提假设:观测条件相同. 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。先看两个实例:例 1:用名义长度为 30 米而实际长度为 30.04 米的钢尺量距。丈量结果见下表 5-1:尺段数
4、一二三四五N观测值30609012015030 n真实长度30.0460.0890.12120.16150.2030.04n真误差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20-0.04 n可以看出:误差符号始终不变,具有规律性。误差大小与所量直线成 正比,具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。例 2:在厘米分划的水准尺上估读毫米时,有时估读过大,有时估过小,每次估读也不可能绝对相等,其影响大小,纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定,则瞄准目标有时偏左、有时偏右可以看出:从个别误差来考察,其符号、数值始终变化,无任何规律性。 多次重复观测,取其平均数,可抵消一些误差的影响引进如下概
5、念:引进如下概念:1.系统误差 - 在相同的观测条件下,对某一量进行一系列的观测,如果出现的误差在符号和数值上都相同,或按一定的规律变化,这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。2.偶然误差-在相同的观测条件下,对某一量进行一系列的观测,如果误差出现的符号和数值大小都不相同,从表面上看没有任何规律性,为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律,但大量的偶然误差具有统计规律。3.粗差-观测中的错误叫粗差。例如:读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的,观测结果中不允许有错误。一旦发现,应及时更正或重测。( (二二) ) 测量误差的处理原则测量误差的处理原则在观测过程中,系
6、统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著,应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差,可采用不同时间的多次观测,消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法: 检校仪器:使系统误差降低到最小程度。 求改正数:将观测值加以改正,消除其影响。 采用合理的观测方法:如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法: 适当提高仪器等级。 进行多余观测,求最或是值。偶然误差的特性偶然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值; 绝对值较小的误差出现的频率大,绝对值较大的误差出现的频率小; 绝对值相等的正、负
7、误差具有大致相等的频率; 当观测次数无限增大时,偶然误差的理论平均值趋近于零。用公式表示为:lim12n 0 limnnnn实践表明: 观测误差必然具有上述四个特性。 而且, 当观测的个数愈大 时, 这种特性就表现得愈明显。若误差的个数无限增大(n),同时又无限缩小误差的区间 d,则图 5-1 中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”,它完整地表示了偶然误差出现的概率 P。 即当 n时,上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定,成为误差出现的概率。正态分2布曲线的数学方程式为1y f () 2e22为标准差,标准差的平方为 2方差。方差为偶然误差平方的理
8、论平均值:正态分布曲线的数学方程式为 :1y f () 2222222n ,2,1lime2limlimn2nnn 2nnlimnn从 5-3 式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:1.f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f()相等,所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。2.愈小,f()愈大。当=0 时,f()有最大值; 反之,愈大,f()愈小。当 n时,f() 0,这就是偶然误差的第一和第二特性。3.如果求 f()二阶导数并令其等于零,可以求得曲线拐点横坐标: 拐=如果求 f()在区间的积分, 则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 , 所以当愈小时,曲线将愈陡
9、峭,即误差分布比较密集;当愈大时,曲线将愈平缓,即误差分布比较分散。由此可见,参数的值表征了误差扩散的特征。观测条件较好,误差分布比较密集,它具有较小的参数;观测条件较差,误差分布比较分散,它具有较大的参数;具有较小的误差曲线,自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降;具有 较大的误差曲线,自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。12y f ( ) e2最大纵坐标点:2212 5-25-2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准一.中误差误差的概率密度函数为:12222y f ( ) e 标准差:limn 2nlimn n在测量工作中,观测个数总是有限的,为了评定精度,一般采用下述误差公式:
10、m=n标准差 中误差 m 的不同在于观测个数 n 上;标准差表征了一组同精度观测在(n)时误差分布的扩散特征,即理论上的观测指标; 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标; 所以中误差是标准差的近似值估值; 随着 n 的增大,m 将趋近于 。必须指出:同精度观测值对应着同一个误差分布,即对应着同一个标准差,而标准差的估计值即为中误差。同精度观测值具有相同的中误差。例 3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了 10 次观测, 求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为第一组: +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3,-1;第二组: 0,-1,
11、-7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1.试求这两组观测值的中误差。由 m=n解得:m1=2.7m2=3.6 可见:第一组的观测精度较第二组观测精度高二、容许误差(极限误差)二、容许误差(极限误差)根据正态分布曲线,误差在微小区间 d中的概率:p()=f() d 设以 k 倍中误差作为区间,则在此区间误差出现的概率为:P ( km) km kmf ( ) d 分别以 k=1,2,3 代入上式,可得:P(m)=0.683=68.3P(2m)=0.955=95.5P(3m)=0.997=99.7由此可见:偶然误差的绝对值大于2 倍中误差的约占误差总数的 5,而大于3 倍的误差仅占误差总
12、数的 0.3。由于一般情况下测量次数有限, 3 倍中误差很少遇到,故以 2 倍中误差作为允许的误差极限, 称为“容许误差”,或 称为“限差”即容=2m三、相对误差三、相对误差在某些测量工作中,对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。例如:用钢卷尺量 200 米和 40 米两段距离,量距的中误差都是2cm,但不能认为两者的精度是相同的,因为量距的误差与其长度有关。为此,用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即 m/L 来评定精度,通常称此比值为相对中误差。相对中误差又可要求写成分子为 1 的分式,即上例为K1= m1/L1=1/10000,K2= m2/L2=1/2
13、000可见:前者的精度比后者高。与相对误差相对应,真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。1N。5-35-3算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差一、观测值的算术平均值一、观测值的算术平均值设在相同的观测条件下对未知量观测了 n 次出该未知量的最或然值。 ,观测值为 L1、L2Ln,现在要根据这 n 个观测值确定设未知量的真值为 X,写出观测值的真误差公式为i= Li-X(i=1,2n)将上式相加得12nL1 L2 LnnX或LnXLnn故X 设以 x 表示上式右边第一项的观测值的算术平均值,即x以X表示算术平均值的真误差,即 x nLn代入上式,则得X xx由偶然误差第四特性知道,当观测次
14、数无限增多时,x趋近于零,即:limn x 0也就是说,n 趋近无穷大时,算术平均值即为真值二、算术平均值的中误差公式二、算术平均值的中误差公式现在来推导算术平均值的中误差公式。因为x L1L2 Lnnnn式中,1n 为常数。由于各独立观测值的精度相同,设其中误差均为 m。现以 mx表示算术平均值的中误差,则可得算术平均值的中误差为m2111222m2m2m 2mn n nn 2xn 项故mxm该式即算术平均值的中误差公式n三、同精度观测值的中误差同精度观测值中误差的计算公式为m n而而i Li Xi 1,2,n这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式,由于未知量的真值往往是不知道的,真误
15、差也就不知道了。所以,一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的,它和观测值的差数也可以求得,即vi xLii 1,2,nvvn 1因 n 为有限值,故在实用上可以用 x 的中误差近似地代替 x 的真误差,即m 为用改正数来求观测值中误差的公式,称为白塞尔公式。用改正数计算最或然值中误差的公式为m 5-45-4误差传播定律误差传播定律vvn (n 1)在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值,需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程 HB,是由起始点A 的高程 HA加上从 A 点到 B 点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差 h1hn求和得出的。这时未知
16、点 B 的高程 H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢?阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律,称为误差传播定律一、倍数的函数设有函数:Z 为观测值的函数,K 为常数,X 为观测值,已知其中误差为 mx,求 Z 的中误差 mZ。设 x 和 z 的真误差分别为x和z则:若对 x 共观测了 n 次,则:将上式平方,得:求和,并除以 n,得mz2zm2zk22mx因为mzn所以2xmx即,观测值与常数乘积的中误差,等于观测值中误差乘常数nmz2zmxn2xnk mx例: 在 1:500 比例尺地形图上,量得A、 B 两点间的距离 SAB=23.4mm,
17、其中误差 msab=土 0.2mm,求 A、B 间的实地距离 SAB及其中误差 msAB。解:由题意:SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7mmSAB500mSab500(士 0.2)=土 100mm土 0.1m最后答案为:SAB=11.7m 士 0.1m二、和或差的函数二、和或差的函数当诸观测值 xi为同精度观测值时,设其中误差为 m,即mx1=mx2=mxn=m 则为这就是说,在同精度观测时,观测值代数和(差)的中误差,与观测值个数 n 的平方根成正比。例设用长为 L 的卷尺量距,共丈量了 n 个尺段,已知每尺段量距的中误差都为 m,求全长 S 的中误差ms。解:因
18、为全长 S=LL L(式中共有 n 个 L) 。而 L 的中误差为 m。mS量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数 n n 的平方根成正比的平方根成正比例如以 30m 长的钢尺丈量 90m 的距离,当每尺段量距的中误差为5mm 时,全长的中误差为 m nm90 5 3 8.7mm当使用量距的钢尺长度相等,每尺段的量距中误差都为 mL,则每公里长度的量距中误差 mKm也是相等的。当对长度为 S 公里的距离丈量时,全长的真误差将是 S 个一公里丈量真误差的代数和,于是 S 公里的中误差为mss mkm式中,S 的单位是公里。即:在距离丈量中,距离在距离丈量中,距离 S S 的量距中误差与长度
19、的量距中误差与长度 S S 的平方根成正比。的平方根成正比。水准测量高差的中误差,与测站数水准测量高差的中误差,与测站数 n n 的平方根成正比。的平方根成正比。水准测量高差的中误差与距离水准测量高差的中误差与距离 S S 的平方根成正比。的平方根成正比。在水准测量作业时, 对于地形起伏不大的地区或平坦地区, 可用mhABSmkm式计算高差的中误差;对于起伏较大的地区,则用三、线性函数三、线性函数设有线性函数:zmhABnm站式计算高差的中误差。 k1x1k2x2knxnz则有:m四、一般函数四、一般函数2 (k1x1)2(k2x2)2(knxn)2m2z f 2 f 2 f 2 mm12xx
20、xmn12n222本章小结本章小结1.测量误差及其产生的原因 仪器的原因人的原因 外界环境的影响2.测量误差的分类与处理原则 系统误差 - 在相同的观测条件下,对某一量进行一系列的观测,如果出现的误差在符号和数值上都相同,或按一定的规律变化,这种误差称为“系统误差”。 偶然误差-在相同的观测条件下,对某一量进行一系列的观测,如果误差出现的符号和数值大小都不相同,从表面上看没有任何规律性,为种误差称为“偶然误差”误差的处理原则系统误差对观测结果的影响显著,应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差,采用不同时间的多次观测。消除系统误差的常用的有效方法:检校仪器 求改正数采用合理的观测方
21、法。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法:1 适当提高仪器等级2 进行多余观测,求最或是值3. 3. 偶然误差的特性偶然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值; 绝对值较小的误差出现的频率大,绝对值较大的误差出现的频率小; 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率; 当观测次数无限增大时,偶然误差的理论平均值趋近于零4. 4. 观测成果的精度评定指标观测成果的精度评定指标.中误差观测个数总是有限的nm=n中误差是标准差的近似值估值; 同精度观测值对应着一个误差分布, 即对应着一个标准差和中误差。. 极限误差偶然误差的绝对值大于 2 倍中误差的约占误差总数的 5, 故以 2 倍中误差作为允许的误差极限, 允=2m. 相对中误差用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量,即 m/L=1/N。
限制150内