行列式.ppt
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1、第三节 行列式,1.3.1 行列式的概念1.3.2 行列式的性质1.3.3 行列式的计算(重点) 1.3.4 行列式的应用,1.3.1 行列式的定义,二阶行列式,三阶行列式,n阶行列式,二阶行列式,定义,a,b,c,d,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,注意:行列式的结果是一个数或者表达式。,根据定义算一算,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,二阶行列式在解二元一次方程组的应用,三 阶行列式的定义,对角线法则,根据定义算一算,练一练,计算,元素5的余子式,元素0的余子式,余子式:在行列式中划去某元素所在行和列所剩下的元素保持原来的次序够成一个低阶的行列式,称为该元素的余子式。,代数余子式
2、,元素5的代数余子式,元素0的代数余子式,3 阶行列式的余子式定义,三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加.,行列式的递推定义,n阶行列式(determinant)定义,设方阵,则称行列式,为A所对应的行列式,或A的行列式,记作,称n为行列式D的阶数。,说明:行列式是一个函数。可以把行列式理解为一个包含n2个元素的函数表达式,当行列式中的元素都是确定时,可以通过这个函数表示式计算出一个确定的值。,n 阶行列式的递推定义,n阶行列式等于第一行的每个元素与其代数余子式乘积的和。,行列式的展开与计算,定理,行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。,例1.
3、计算:,例2.证明:,主对角线行列式,例3.下三角形行列式,利用首行展开法可以证明,下三角形行列式之值等于主对角线元素之积,上三角形行列式之值等于主对角线元素之积,练一练,计算,1.3.2 行列式的性质,定义: 将行列式D的行列互换,得到的新的行列式称为行列式D的转置行列式,记为,性质1.7 行列式转置后,其值不变,即:,说明:利用数学归纳法证明,过程略。关键是要知道,该性质表明:行列式的行所具有的性质,对列也一定成立,对列所具有的性质,对行也一定成立。,性质1.9 行列式中某一行(列)所有元的公因子,可以提到行列式的符号外(即此因子乘以行列式),性质1.8 互换行列式的两行(列),行列式只改
4、变符号。,推论:如果行列式D有两行(列)相同,则D=0,推论1:如果行列式有一行(列)的元全为零,则行列式为零。,推论2:如果行列式有两行(列)的元对应成比例,则行列式为零。,推论3.,(n为A的阶数),性质10 如果行列式的某一行(列)的元素都是两项的和,则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和,这两个行列式的这一行(列)的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第一项和第二项,而其他位置的元不变,即:,性质11 如果行列式的某一行(列)的元加上另一行(列)的对应元素的k倍,则行列式的值不变。(例如:以数k乘以第i行加到第j行上去),结论1:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式
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