矩阵的对角化.ppt
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1、第二节 矩阵的对角化,3.2.1 相似矩阵及其性质3.2.2 矩阵的对角化,一、相似矩阵,定义,设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P,使得,则称A相似于B,或说A和B相似(Similar) 。记成: A B,性质,(1)反身性 A相似于A,(2) 对称性 A相似于B,可推出B相似于A,(3) 传递性 A相似于B,B相似于C,可推出 A相似于C。,相似矩阵的性质:,若A和B相似,则,A和B有相等的秩。,2.A和B有相等的行列式。,3.A和B有相同的特征多项式和特征值。,4.A和B有相等的迹。,定义:设A为n 阶方阵,A的主对角线上元素之和称为A的迹(Trace),记作:TrA.,性
2、质:,(1) 设,则Tr(AB)=Tr(BA).,证明:,二、一般方阵的对角化(Diagonalization),定理3.6:n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。,充分性,必要性,设A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵B,使得,由B可逆便知:,都是非零向量,因而都是A的特征,向量,且,线性无关。,记:,推论,如果n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A相似于对角矩阵。,定理 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量(证明略)。,例 用相似变换化下列矩阵为对角形,解,A的特征方程为,特征值为,这三个特征向量线性无关,对
3、于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,小结:将一个方阵对角化,可按如下步骤进行:,第一步 令|E-A|=0,求出A的全部特征值,第二步 解,,求出每个,特征值对应的齐次方程组的基础解系。,第三步 如果按上述方法可求出A有n个线性无关的特征向量,,则令,例 利用对角化计算矩阵的乘方,思想原理:,设,又因为,所以,设,解,A的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,例 矩阵A = 能否相似于对角阵?为什么?,解 | E A | = =(- 2)(-1)2,所以 A的特征值为 1 = 2 2 =3 = 1,对于 2 =3 = 1,解方程组 (E A )= 0对系数矩阵
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