中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略.doc
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1、第 1 页第第 1 讲讲 角的存在性处理策略角的存在性处理策略知识必备 一、一线三等角一、一线三等角 1.如图 1-1-1,且,此o90EDACB045CABCBEACD为“一线三直角”全等,又称“K 字型”全等;图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 图 1-1-42.如图 1-1-2,此为“一线三直角”o90EDACBCBEACD相似,又称“K 字型”相似;3.如图 1-1-3,此为更一般的“一线o90EDACBCBEACD 三等角”. 二、相似三角形的性质二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例,其比值称为相似比;相似三角形的对应线段成比例. 3、正切的定义如图 1-1-4,
2、在中,即的正切值等于的对边与的ABCRtbaA tanAAA邻边之比;同理,则,即互余两角的正切值互为倒数.abB tan1tantanBA方法提炼方法提炼 1、基本策略:联想构造基本策略:联想构造 2、构造路线构造路线方式方式(一一):构造:构造“一线三等角一线三等角”1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等,如图 1-2-1;图 1-2-12.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似,如图 1-2-2;图 1-2-23.tan=k构直角三角形造“一线三直角”相似,如图 1-2-3;4.“一线三等角”的应用分三重境界;一重境:当一条线上已有三个等角时,只要识别、证明,直接应用模型解题
3、,如图 1-2-4 所示的“同侧型一线三等角”及图 1-2-5 所示的“异侧型一线三等角”;二重境:当一条线上已有两个等角时,需要再补上一个等角,构造模型解题;三重境:当一条线上只有一个角时,需要再补上两个等角,构造模型解题,如图 1-2-6及图 1-2-7 所示;方式(二):构造“母子型相似”“角处理”,还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线,造成某水平边或竖直边对此角结构,然后在这条线上图 1-2-3图 1-2-4图 1-2-5图 1-2-6图 1-2-7第 2 页补出一个与此角相等的角,构造出“母子型相似”,其核心结构如图 1-2-8 所示.方式(三):整体旋转法(*)前两种构造属静
4、态构造方式,再介绍一种动态构造方式,即整体旋转法,其核心思想是“图形的旋转(运动)本质是图形上点旋转(运动) ;反过来,点的旋转(运动)可以看成该点所在图形的旋转(运动) ”.下面以三个问题说明此法:问题 1 已知点 A(3,4) ,将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45 角,求其对应点 A的坐标.简析 第一步 (“整体旋转”):如图 1-2-9,作 ABy 轴于点 B,则 AB=3,OB=4,点A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45 得到点 A,可看成 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转 45得到 RtOAB,则 AB=8,OB=4,且BOB=45; 第二步(造“一线三直角” ):如图
5、 1-2-10,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtRt;OCBB DA事实上,Rt与 Rt都是等腰直角三角形,于是有=,OCBB DAOCB C2 2=,故点的坐标为B DA D23 2A;7 22(,)22 问题 2 已知点,将点绕原(4,6)AA点顺时针方向旋转角,其中Oa=,求其对应点的坐标.tana12A简析 第一步(“整体旋转” ):如图 1-2-11,作 ABy 轴于点 B,则 AB=4,OB=6,将 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转角得到 Rt,则=4,=6,aOA B A B OB且=; tanBOBtana12 第二
6、步(造“一线三直角” ):如图 1-2-12,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtRt,OCBB DA于是有=,=,=,=,故点的坐标为.B C565OC5125A D545B D585A55(,)55148问题 3 已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,求其对应点的坐标.( , )A a bAOaA简析 不是一般性,不妨都在第一象限内思考问题: 第一步(“整体旋转” ):如图 1-2-13,作 ABy 轴于点 B,则 AB=,OB=,将 Rtab OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转角得到 Rt,则=,=,且=; aOA B A B aOBbB
7、OBa 第二步(造“一线三直角” ):如图 1-2-14,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtRt,OCBB DA 于是有=,=,=,=,B CsinbaOCcosbaA DsinaaB Dcosaa 故点的坐标为.A(,)cossincossinaaba baaa例例 1 1(2019日照)如图 1-3-1,在平面直角坐标系中,经过点 A 的双曲线同时经 = (0) 过点 B,且点 A 在点 B 的左侧,点 A 的横坐标为,AOB=OBA=45,则 k 的值为2_。 简析简析由题可知,OAB 为等腰直角三角形;图 1-2-8图 1-2-9第
8、 3 页如图 1-3-2,构造“一线三直角”结构,即 RtOADRtABC; 设 OD=AC=t,则 A(,t),B(,),从而有t=()(),解得2 + 2 22 + 2 2; =2 + 102( =2 102舍去)因此有。 = 2 = 1 + 5反思:见等腰直角三角形,造反思:见等腰直角三角形,造“一线三直角一线三直角” ,即,即“K“K 字型字型”全等。全等。例例 2 2 如图 1-3-3,已知反比例函数的图像经过点 A(3,4),在该图像上找一点 = (0) P,使POA=45,则点 P 的坐标为_。 简析简析 1 1(构造“一线三直角” ):如图 1-3-4,作 ABOA 交 OP
9、于点 B,则OAB 为等腰直角 三角形; 再造“一线三直角”结构,即 RtOADRtABC,由 A(3,4),可得 OD=AC=4,AD=BC=3,则 B(7,1),故直线 OP 的解析式为,且反比例函数的解析式为,联立得 =1 7 =12 ,解得(负值舍去) ,故点 P 的坐标为(,)。 =1 7 =12 ? = 2 21 =2 217?2 212 217 简析简析 2 2(构造“一线三等角” ):如图 1-3-5,分别过点 A、P 作 y 轴的垂线,垂足依次为点 D、E,再在 y 轴上分别找点 B、C,使 BD=AD,CE=PE,则ABO=PCO=45;由POA=45,易证ABOOCP,则
10、,即 ABCP=BOOC;由 A(3,4),可得 = ,BO=BD+OD=7,k=12,再设点 P(t,),则 CP=,OC=CE-OE=PE-OE=,AB = 3 212 2 12 从而有,解得,故点3 2 2 = 7( 12 ) = 2 21( = 2 21舍去)P 的坐标为()。2 21,2 217450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。依托 450角,自然联想到构造等腰直角三角形。然后依托等腰直角三角形,再造“一线三直角” ,这是处理 450角的基本策略之一。如图 1-3-6,若C=450,一般有四种方式构造直角三角形,但建议将已知点作为直角顶点,相对而言会更简单。这也体现出了“以不变
11、应万变”的解题策略。解法 1,从头到尾几乎口算,不需要设元,原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点 A 作为直角顶点,否则需要设元求解,很是麻烦。解法 2,将 y 轴看成所谓“一线” 。利用一个 450角,再补两个“450”角,构造“一线三等角” ,设出坐标,巧妙解题,这是角的存在性问题另一种重要处理策略。如图 1-3-7,已知抛物线与轴交于 A、B 两点,且经过点、27 2yxxc x0 2C,点 P 是直线 CD 上方抛物线上一动点,当时,求点 P 的坐标。732D,0=45PCDxy图 1-3-5CEPBDAO第 4 页策略一:450 构等腰直角三角形造“一线三直角”.简析:易求抛物线的
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