第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答.doc
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1、智浪教育普惠英才文库1第第 31 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答20142014 年年 9 9 月月 2020 日日一、 (12分)(1)球形(2)液滴的半径、密度和表面张力系数(或液滴的质量和表面张力系数)rm(3)解法一解法一假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为 fk r式中,比例系数是一个待定常数. 任一物理量可写成在某一单位制中的单位和相应的数ka a值的乘积. 按照这一约定,式在同一单位制中可写成 a aaa ffkrr由于取同一单位制,上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式,因而 fr力学的基本物理量有三个:质量、长度 和时
2、间 ,按照前述约定,在该单位制中有mlt, mm m lll ttt 于是 ft1 rl m l3 m t2将式代入式得 ( ) ( )tlm lm t132即 tlmt132由于在力学中、和三者之间的相互独立性,有 m l t, 30, 021解为311,222 智浪教育普惠英才文库2将式代入式得 fkr3解法二解法二假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为 fk r式中,比例系数是一个待定常数. 任一物理量可写成在某一单位制中的单位和相应的数ka a值的乘积. 在同一单位制中,式两边的物理量的单位的乘积必须相等 a aaa fr力学的基本物理量有三个:质量、长度和时间,对应的国际单位分别为千
3、克(kg) 、MLT米(m) 、秒(s). 在国际单位制中,振动频率的单位为,半径的单位为,密度f fs1r rm的单位为,表面张力系数的单位为,即 3kg m 1212N m =kg (m s ) mkg s有 sf1 mr kg m3 kg s2若要使式成立,必须满足 smkg mkg s(kg)ms 13232由于在力学中质量、长度和时间的单位三者之间的相互独立性,有MLT, 30, 021解为311,222 将式代入式得3fkr 智浪教育普惠英才文库3评分标准评分标准:本题 12 分. 第(1)问 2 分,答案正确 2 分;第(2)问 3 分,答案正确 3 分;第(3)问 7 分,式
4、2 分,式 3 分,式 2 分(答案为、或的,3fr fkmfm也给这 2 分).二、(16 分) 解法一解法一:瓶内理想气体经历如下两个气体过程:000000(,)(, ,)(,) iifffp V T Np V T Np V T N放气(绝热膨胀)等容升温其中,分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、000000(,),(, ,)iifffp V T Np V T Np V T N)和(体积、温度和摩尔数根据理想气体方程,考虑到由于气体初、末态的体积和温度相pVNkT等,有ffiipNpN另一方面,设是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为时的体积,V0p即000(,)(,
5、,)iiip V T Np V T N绝热膨胀此绝热过程满足1/ 00iVp Vp由状态方程有和,所以0ip VN kT00fp VN kT0fiNV NV联立式得1/ 0fiipp pp此即0lnlniifp p p p由力学平衡条件有0iippgh 0ffppgh智浪教育普惠英才文库4式中,为瓶外的大气压强,是 U 形管中液体的密度,是重力加速度的大小.由00pghg式得000ln(1)ln(1)ln(1)ifih h hh hh 利用近似关系式:,以及 ,有1, ln(1)xxx=当00/1, /1ifhhhh=000/ /iiififh hh h hh hhh评分标准评分标准:本题 1
6、6 分式各 2 分解法二解法二:若仅考虑留在容器内的气体:它首先经历了一个绝热膨胀过程 ab,再通过等容升温过程 bc 达到末态100000(,)(, )(,) ifp V Tp V Tp V T绝热膨胀ab等容升温bc其中,分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体100000(,),(,)ifp V Tp V Tp V T)和(积与温度留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程11 00ab: ipTpT00bc:/fpTpT 由式得1/ 0fiipp pp此即0lnlniifp p p p由力学平衡条件有0iippgh0ffppgh式中,为瓶外的大气压强,是 U 形管中液体的密
7、度,是重力加速度的大小由00pghg式得智浪教育普惠英才文库5000ln(1)ln(1)ln(1)ifih h hh hh 利用近似关系式:,以及 ,有1, ln(1)xxx=当00/1, /1ifhhhh=000/ /iiififh hh h hh hhh评分标准评分标准:本题 16 分式各 3 分,式各 2 分三、 (20 分)(1)平板受到重力、拉力、铰链对三角形板的作用力 NA和 NB,各力及其作用点的坐标CP 0MQ分别为:,;C(0,sin ,cos )mgmgP(0,0, )h, ;0M(0,0)QQ00(,0,)xz, ;AAAA(,)xyzNNNN( ,0,0)2b, BBB
8、B(,)xyzNNNN(,0,0)2b式中2 21 34bha是平板质心到 x 轴的距离. 平板所受力和(对 O 点的)力矩的平衡方程为ABx0xxFNNABsin0yyyFQNNmgABcos0zzzFNNmg0sin0xMmghQ zBA022yzzbbMNN0AB022zyybbMQ xNN智浪教育普惠英才文库6联立以上各式解得,0sinmghQz,ABxxNN ,000sin21()2AymghbxNb zz000sin21()2BymghbxNb zzAB1cos2zzNNmg即, 0M 0sin(0,0)mgh zQ, 0 AA 002sin1(,1() ,cos )22xxmgh
9、 bNmgb zzN0 BA 002sin1(,1() ,cos )22xxmgh bNmgb zz N(2)如果希望在点的位置从点缓慢改变的过程中,可以使铰链支点对板M( ,0, )xz000M (,0,)xz的作用力保持不变,则需ByNsin21()2Bymgh bxNb zz常量M点移动的起始位置为,由式得0M00022bxbx zzzz或00022bxbxzzz这是过点的直线. (*)A( ,0,0)2b因此,当力的作用点的位置沿通过点任一条射线(不包含点)在平板上缓慢改变时,MQMAA铰链支点对板的作用力保持不变. 同理,当力的作用点沿通过B点任一条射线在平BByNMQM板上缓慢改变
10、时,铰链支点对板的作用力保持不变.AAyN智浪教育普惠英才文库7评分标准评分标准:本题 20 分第(1)问 14 分,式 1 分,式各 2 分,式各 1 分;第(2)问 6 分,式各 1 分,(*) 2 分,结论正确 2 分. 四、 (24 分)(1)考虑小球沿径向的合加速度. 如图,设小球下滑至 角位置时,小球相对于圆环的速率为,圆环绕轴转动的角速度为 此时与速率对应的vv指向中心 C 的小球加速度大小为21aRv同时,对应于圆环角速度,指向 OO轴的小球加速度大小为 2(sin ) sinRaR 该加速度的指向中心 C 的分量为22(sin )sinRaaR该加速度的沿环面且与半径垂直的分
11、量为23(sin )coscotRaaR由式和加速度合成法则得小球下滑至 角位置时,其指向中心 C 的合加速度大小为2212(sin )vRRaaaRR在小球下滑至 角位置时,将圆环对小球的正压力分解成指向环心的方向的分量、垂直N 于环面的方向的分量. 值得指出的是:由于不存在摩擦,圆环对小球的正压力沿环的切向的分T 量为零. 在运动过程中小球受到的作用力是、和. 这些力可分成相互垂直的三个方向上NTmg 的分量:在径向的分量不改变小球速度的大小,亦不改变小球对转轴的角动量;沿环切向的分量 即要改变小球速度的大小;在垂直于环面方向的分量即要改变小球对转轴的角动量,sinmgT 其反作用力将改变
12、环对转轴的角动量,但与大圆环沿轴的竖直运动无关. 在指向环心的方向,OO 由牛顿第二定律有22(sin )cosRRNmgmamRv合外力矩为零,系统角动量守恒,有2 02 ( sin )LLm R式中 L0和 L 分别为圆环以角速度0和转动时的角动量如图,考虑右半圆环相对于轴的角动量,在角位置处取角度增量,圆心角所对圆弧的质量为() ,其角动量为lml 0 2m R2sinLm rl rRRr zR S 式中 是圆环上 角位置到竖直轴 OO的距离,为两虚线间rSCRzlr智浪教育普惠英才文库8窄条的面积式说明,圆弧的角动量与成正比. 整个圆环(两个半圆环)的角动量为lS2 20 012222
13、2mRLLRm RR或:由转动惯量的定义可知圆环绕竖直轴 OO的转动惯量 J 等于其绕过垂直于圆环平面的对称轴的转动惯量的一半,即2 01 2Jm R则角动量 L 为 2 01 2LJm R同理有2 0001 2Lm R力及其反作用力不做功;而及其反作用力的作用点无相对移动,做功之和为零;系统NT机械能守恒. 故22 012(1cos )2(sin ) 2kkEEmgRmRv式中和分别为圆环以角速度和转动时的动能圆弧的动能为0kEkE0l222111()sin222kEm rlrRRS 整个圆环(两个半圆环)的动能为2 2220 011222 224kkmREERm RR或:圆环的转动动能为
14、222 011 24kEJm R同理有22 0001 4kEm R根据牛顿第三定律,圆环受到小球的竖直向上作用力大小为,当2cosN02cosNm g时,圆环才能沿轴上滑由 式可知,式可写成22 2000 022 0cos6cos4cos102(4sin)mRmmmmgmm式中,是重力加速度的大小. g(2)此时由题给条件可知当时,式中等号成立,即有=30智浪教育普惠英才文库922 000 02 0392 3124()m Rmmmgmm或0 00 00(9 312)2 32()3(2)mmgmmmm mmR由式和题给条件得0000 002 000(9 312)2 32 +4sin+3(2)mm
15、mmm g mmmmmmmR由式和题给条件得22 0002 3+(123)3 3 6(2)mmmmgRmm mv评分标准评分标准:本题 24 分第(1)问 18 分,式各 1 分,式各 2 分,式各 1 分,式 2 分,式各 1 分,式 2 分,式 1 分;第(2)问 6 分,式各 2 分五、 (20 分)(1)设圆盘像到薄凸透镜的距离为 . 由题意知:, ,代入透镜成像公v20cmu 10cmf 式111 ufv得像距为20cmv 其横向放大率为1u v可知圆盘像在凸透镜右边 20cm,半径为 5cm,为圆盘状,圆盘与其像大小一样.(2)如下图所示,连接 A、B 两点,连线 AB 与光轴交点
16、为 C 点,由两个相似三角形与AOC 的关系可求得 C 点距离透镜为 15cm. 1 分BBC 若将圆形光阑放置于凸透镜后方 6cm 处,此时圆形光阑在 C 点左侧. 1 分 当圆形光阑半径逐渐减小时,均应有光线能通过圆形光阑在 B 点成像,因而圆盘像的形状 及大小不变,而亮度变暗. 2 分此时不存在圆形光阑半径使得圆盘像大小的半径变为(1)中圆盘像大小的半径的一ar半1 分智浪教育普惠英才文库10(3)若将圆形光阑移至凸透镜后方 18cm 处,此时圆形光阑在 C 点(距离透镜为 15cm)的右侧. 由下图所示,此时有: CB=BB=5cm, RB=2cm, 利用两个相似三角形与的关系,得CR
17、RCBBCR52RR=BB=5cm3cmCB5r可见当圆盘半径(光阑边缘与 AB 相交)时,圆盘刚好能成完整像,但其亮度变暗 3cmr 4 分若进一步减少光阑半径,圆盘像就会减小当透镜上任何一点发出的光都无法透过光阑照在原先 像的一半高度处时,圆盘像的半径就会减小为一半,如下图所示此时光阑边缘与 AE 相交,AE 与光轴的交点为 D,由几何关系算得 D 与像的轴上距离为cm. 此时有20 7620DR=cm, DE=cm, EE=2.5cm,77 利用两个相似三角形与的关系,得DRRDEEDR20/72RR=EE=2.5cm0.75cmDE20/7ar可见当圆形光阑半径=0.75cm,圆盘像大
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