数学公式手册.doc
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1、- 1 -GCT 常用数学公式总结常用数学公式总结一、初等数学部分一、初等数学部分1.1.德摩根公式德摩根公式 . .();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B2.2.UUABAABBABC BC AUAC B UC ABR3.3.()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB. .()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC4.4.二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 一般式一般式; 顶点式顶点式 2( )(0)f xaxbxc a;零点式零点式.
2、.2( )()(0)f xa xhk a12( )()()(0)f xa xxxxa5.5.设设那么那么2121,xxbaxx上是增函数;上是增函数;1212()()()0xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是减函数上是减函数. .1212()()()0xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在设函数设函数在某个区间内可导,如果在某个区间内可导,如果,则,则为增函数;如果为增函数;如果)(xfy 0)( xf)(xf,则,则为减函数为减函数. .0)( xf)(xf6.6.函数函数的图象的对称性的图象的对称性:函数函数的图象关
3、于直线的图象关于直线对称对称( )yf x( )yf xxa.函数函数的图象关于直线的图象关于直线()()f axf ax(2)( )faxf x( )yf x对称对称. .2abx()()f amxf bmx()()f abmxf mx7.7.两个函数图象的对称性两个函数图象的对称性:函数函数与函数与函数的图象关于直线的图象关于直线( )yf x()yfx( (即即轴轴) )对称对称.函数函数与函数与函数的图象关于直线的图象关于直线0x y()yf mxa()yf bmx对称对称.函数函数和和的图象关于直线的图象关于直线 y=xy=x 对称对称. .2abxm)(xfy )(1xfy- 2
4、-8.8.分数指数幂分数指数幂 (,且,且). .1m n nma a0,am nN1n (,且,且). .1m n m na a0,am nN1n 9.9. . .log(0,1,0)b aNbaN aaN10.10.对数的换底公式对数的换底公式 . .推论推论 . .logloglogm a mNNaloglogmn aanbbm11.11.( ( 数列数列的前的前 n n 项的和为项的和为).).11,1,2n nnsnassnna12nnsaaa12.12.等差数列的等差数列的通项公式通项公式;* 11(1)()naanddnad nN其前其前 n n 项和公式项和公式 . .1()
5、2n nn aas1(1) 2n nnad2 11()22dnad n13.13.等比数列的等比数列的通项公式通项公式;1*1 1()nn naaa qqnNq其前其前 n n 项的和公式项的和公式或或. .11(1),11 ,1nnaqqsqna q 11,11 ,1nnaa qqqs na q 14.14.等比差数列等比差数列: :的通项公式为的通项公式为 na11,(0)nnaqad ab q;1(1) ,1(),11nn nbnd q abqdb qdqq 其前其前 n n 项和公式为项和公式为. .(1) ,11(),1111n nnbn nd q sdqdbn qqqq 15.分期
6、付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款元元(贷款贷款元元,次还清次还清,每期利率为每期利率为(1) (1)1nnabbxban).b16.16.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 ,= =,. .22sincos1tan cossintan1cot17.17.正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式21 2( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 为偶数 为奇数- 3 -21 2( 1)s ,s()2( 1)sin ,nnconco 18.18.和角与差角公式和角与差角公式; ;sin()sincoscossin; ;cos()coscossinsin
7、. .tantantan()1tantan( (平方正弦公式平方正弦公式););22sin()sin()sinsin. .22cos()cos()cossin= =( (辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定, ,sincosab22sin()ab( , )a b).).tanb a19.19.二倍角公式二倍角公式 . .sin2sincos. . .2222cos2cossin2cos11 2sin 22tantan21tan 20.20.三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数,xRxR 及函数及函数,sin()yxcos()yxxR(xR(A,A,为常数,且为常数
8、,且 A A00,0 0) )的周期的周期;函数;函数,2T tan()yx( (A,A,为常数,且为常数,且 A A00,0 0) )的周期的周期. .,2xkkZT 21.21.正弦定理正弦定理 . .2sinsinsinabcRABC22.22.余弦定理余弦定理; ; ; . .2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC23.23.面积定理面积定理(1 1)(分别表示分别表示 a a、b b、c c 边上的高)边上的高)111 222abcSahbhchabchhh、. .(2 2). .111sinsinsin222SabCbcAcaB(3)(3).
9、 .221(| |)()2OABSOAOBOA OB 24.24.三角形内角和定理三角形内角和定理 在在ABCABC 中,有中,有. .()222CABABCCAB222()CAB25.25.平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 为偶数 为奇数- 4 -= =(A(A,B B).).,A Bd|ABAB AB 22 2121()()xxyy11( ,)x y22(,)xy26.26.向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a=a=,b=,b=,且,且 b b0 0,则,则11( ,)x y22(,)xya a b bb=ab=a . .: 12210x yx ya ab(ab(a0)0)a
10、 ab=0b=0. .12120x xy y27.27.线段的定比分公式线段的定比分公式 设设,是线段是线段的分点的分点, ,是是111( ,)P x y222(,)P xy( , )P x y12PP实数,且实数,且,则,则12PPPP (). .121211xxxyyy 12 1OPOPOP 12(1)OPtOPt OP 1 1t28.28.三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为、11A(x,y)22B(x,y), ,则则ABCABC 的重心的坐标是的重心的坐标是. .33C(x,y)123123(,)33xxxyyyG29.29.
11、点的平移公式点的平移公式 ( (图形图形 F F 上的任意一上的任意一xxhxxhyykyykOPOPPP 点点 P(xP(x,y)y)在平移后图形在平移后图形上的对应点为上的对应点为,且,且的坐标为的坐标为).).F( ,)P x yPP ( , )h k30.30.常用不等式:常用不等式:(1 1)( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ), a bR222abab(2 2)( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ), a bR2abab(3 3)3333(0,0,0).abcabc abc(4 4)柯西不等式)柯西不等式22222()(
12、)() , , , ,.abcdacbda b c dR(5 5)bababa31.31.极值定理极值定理 已知已知都是正数,则有都是正数,则有yx,(1 1)如果积)如果积是定值是定值,那么当,那么当时和时和有最小值有最小值;xypyx yx p2(2 2)如果和)如果和是定值是定值 ,那么当,那么当时积时积有最大值有最大值. .yx syx xy2 41s32.32.一元二次不等式一元二次不等式,如果,如果与与20(0)axbxc或2(0,40)abac a同号,则其解集在两根之外;如果同号,则其解集在两根之外;如果与与异号,则其解集在异号,则其解集在2axbxca2axbxc 两根之间两
13、根之间. .简言之:同号两根之外,异号两根之间简言之:同号两根之外,异号两根之间. . ;121212()()0()xxxxxxxxx. .121212,()()0()xxxxxxxxxx或- 5 -33.33.含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 aa 0 0 时,有时,有. .22xaxaaxa 或或. .22xaxaxaxa 34.34.无理不等式(无理不等式(1 1) . .( )0 ( )( )( )0( )( )f x f xg xg xf xg x (2 2). .2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或
14、(3 3). .2( )0 ( )( )( )0( ) ( )f x f xg xg xf xg x 35.35.指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 (1)(1)当当时时, ,1a ; ; . .( )( )( )( )f xg xaaf xg x( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x (2)(2)当当时时, ,01a; ;( )( )( )( )f xg xaaf xg x( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 36.斜率公式斜率公式 (、).2121yykxx111( ,)
15、P x y222(,)P xy37.直线的四种方程直线的四种方程 (1)点斜式)点斜式 ( (直线直线 过点过点,且斜率为,且斜率为)11()yyk xxl111( ,)P x yk(2 2)斜截式)斜截式 (b(b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距).).ykxbl(3 3)两点式)两点式 ( ()()(、 ( ().).112121yyxx yyxx12yy111( ,)P x y222(,)P xy12xx(4 4)一般式)一般式 (其中其中 A、B 不同时为不同时为 0).0AxByC38.两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直 (1)若)若,111:lyk xb22
16、2:lyk xb;.121212,llkk bb:12121llk k (2)若若,且且 A1、A2、B1、B2都不为零都不为零,1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC;111 12 222ABCllABC:1212120llA AB B- 6 -39.夹角公式夹角公式 .(,,)212 1tan|1kk k k111:lyk xb222:lyk xb121k k (,).12211212tanABA B A AB B1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B直线直线时,直线时,直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是.12ll240.点到直线的距
17、离点到直线的距离 (点点,直线直线 :).0022|AxByCd AB 00(,)P xyl0AxByC41. 圆的四种方程圆的四种方程(1 1)圆的标准方程)圆的标准方程 . .222()()xaybr(2 2)圆的一般方程)圆的一般方程 ( (0).0).220xyDxEyF224DEF(3 3)圆的参数方程)圆的参数方程 . .cos sinxar ybr (4 4)圆的直径式方程)圆的直径式方程 ( (圆的直径的端点是圆的直径的端点是1212()()()()0xxxxyyyy、).).11( ,)A x y22(,)B xy42.42.椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是. .22221(
18、0)xyababcossinxayb 43.43.椭圆椭圆焦半径公式焦半径公式 ,. .22221(0)xyabab)(21caxePF)(22xcaePF44.44.双曲线双曲线的焦半径公式的焦半径公式22221(0,0)xyabab,. .21| ()|aPFe xc22| ()|aPFexc45.45.抛物线抛物线上的动点可设为上的动点可设为 P P或或 P P,其中,其中 pxy22),2(2ypy或 )2 ,2(2ptptP(,)x y. .22ypx46.46.二次函数二次函数的图象是抛物线:(的图象是抛物线:(1 1)顶)顶2 224()24bacbyaxbxca xaa(0)a
19、 点坐标为点坐标为;(;(2 2)焦点的坐标为)焦点的坐标为;(;(3 3)准线方)准线方24(,)24bacb aa241(,)24bacb aa程是程是. .241 4acbya47.47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或或22 1212()()ABxxyy- 7 -(弦端点(弦端点 A A2222 211212(1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco,由方程,由方程 消去消去 y y 得到得到,, ,为为),(),(2211yxByx 0)y, x(Fbkxy02cbxax0 直线直线的倾斜角,的倾斜角,为直线的斜率)为直线的斜率). . ABk
20、48.48.圆锥曲线的两类对称问题:圆锥曲线的两类对称问题:(1 1)曲线)曲线关于点关于点成中心对称的曲线是成中心对称的曲线是. .( , )0F x y 00(,)P xy00(2- ,2)0Fx xyy(2 2)曲线)曲线关于直线关于直线成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是( , )0F x y 0AxByC. .22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB 49.“49.“四线四线”一方程一方程 对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线,用,用220AxBxyCyDxEyF代代,用,用代代,用,用代代,用,用代代,用,用代代即得方即得方0x x2x0y y2y0
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