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1、120192019 考研数学怎么计算含变限积分的函数极限考研数学怎么计算含变限积分的函数极限(来源:文都教育)计算极限是考研数学的重要考查内容,其中一个重要题型就是计算含变限积分的函数极限,文都教育认为在 2019 考研数学的复习中需要熟练掌握这部分内容。含变限积分的函数极限如果是 或者0 0未定式,一般可以考虑用洛必达法则洛必达法则,应用变限积分函数求导公 式,消去积分符号。本文介绍另外一种方法,涉及到对无穷小式子无穷小式子的积分公式的积分公式,如下所示:,当时。 10( )()xnno tdto x0x 这里被积函数是可积的;上述公式可以推广为:( )no t,当时。()(1)0( )()
2、mO xnm no tdto x0x 这里注意积分上限是表示同阶无穷小的大 O 符号。对于极限式中的变限积分函数,我们一般是把被积函数表示为多项式加一个高阶无穷小(可以应用极限基本定理极限基本定理或者 TaylorTaylor 公式公式或者等价无穷小等价无穷小获得) ,其中多项式的积分容易计算,而无穷小的积分则应用上述 2 个公式计算,这样就可消掉积分符号,转化为不含变限积分的函数极限计算题。真题真题 1 1(1999 年,数学(二) ,3 分)1.设,则当时,是的50sin( )xtxdtt1sin0( )(1)xtxtdt0x ( )x( )x( ) 。 (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小
3、 2(C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小答案:答案:(C)解析:解析:,55200sin( )1( )5() 5xxtxdto t dtxo xxt,1sinsin200( )(1)( )sin()xxtxtdteo t dtexo xex:故是同阶但不等价的无穷小。( )x( )x真题真题 2 2(2002 年,数学(三) ,5 分)2.求极限. 2000arctan(1) lim(1 cos )xuxt dt duxx 答案:答案:.6简析:简析:,当时。arctan(1)(1)4to0t 真题真题 3 3(2005 年,数学(二) ,三, (15),11 分)3.设函数连续,且,
4、求极限。( )f x(0)0f000() ( ) lim ()xxxxt f t dtxf xt dt 答案:答案:。1 2真题真题 4 4(2004 年,数学(一) 、数学(二) ,4 分)4.把时的无穷小量,0x20( )cosxxt dt20( )tanxxtdt排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则30( )sinxxt dt排列顺序应为( ). (A) (B) (C) (D), , , , , , , 3答案:答案:(B)真题真题 5 5(2011 年,数学(二) ,10 分)5.已知函数.设,试求的取值20ln(1) ( )xtdt F xx 0lim( )lim( )0
5、xxF xF x 范围. 答案:答案:13解析:解析:当时,对被积函数的 TaylorTaylor 展开式中的首项展开式中的首项进行积分0x来估计分子无穷小的阶数,易知。该参数的下界不能用本文介3绍的方法得到,但应用积分估值定理积分估值定理,易知当时有。1lim( )0 xF x 除了应用洛必达法则消掉分子的积分号的方法外,还可以应用分布积分法计算出分子这个积分式。220ln(1)ln(1)22arctanxtdtxxx真题真题 6 6(2016 年,数学(一) ,4 分)6. . 0 20ln(1sin ) lim1 cosxxttt dtx 答案:答案:.1 2简析:简析:,。3ln(1sin ) sin tttt ttt:2224111 cos()22xxx真题真题 7 7(2017 年,数学(二) 、数学(三) ,10 分)7.求. 030limxtxxte dtx 4答案:答案:.2 3本文介绍了 2019 考研数学中求解含变限积分的函数极限计算题的一种方法,希望能对考生复习备考有所帮助。最后,文都教育希望计划参加 2019 考研的学子不怕困难,坚持复习,尽最大的努力以便获得最好的结果!
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