中外《量子力学》教材中有关“波函数的统计诠释”论述的区别.doc
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1、1中外著名大学中外著名大学经典力学经典力学教材中教材中有关有关“正则变换正则变换”论述论述的区别与思的区别与思考考张立彬张立彬1 1,张毅,张毅1 1,王娟萍,王娟萍1 1,沈科济,沈科济2 2(1.1.南开大学外国教材中心,天津,南开大学外国教材中心,天津,300071300071;2.2.南开大学物理科学学院,天津,南开大学物理科学学院,天津,300071300071)内容摘要:内容摘要:20 世纪物理学飞速发展,人们从“经典”物理步入近代物理,但经典力学的地位却丝毫没有减弱.本文对四本国内外著名经典力学教材进行了介绍,对正则变换与哈密顿-雅可比方程这一方法进行了突出讲解和展开分析,讨论了
2、不同教材的讲解思路和教学讨论深广度的区别及特色,从而明确了国内外教材某些知识点的优势和侧重点.关键词:关键词:国内外经典教材;经典力学;正则变换;哈密顿-雅可比方程20 世纪物理学飞速发展,人们从“经典”物理步入近代物理,但是经典力学(理论力学)在整个物理学中的地位却丝毫没有减少。在国内外,经典力学仍然是本科生至关重要的学科,国内许多学校都将经典力学作为学生的学位课,其要求都要高于其他学科。经典力学课程需要学生具备一定的数学分析、微分方程、线性代数等数学基础,这样才能够理解教材中建立在缜密物理逻辑基础上的精确数学描写。11尽管经典理论在近代物理中,退出了主导地位,但是作为一门工具学科,它的重要
3、性不言而喻。哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学,这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明保守的物理量方面,特别有用处。有时候,虽然物理问题的本身无法完全解析,哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明保守的物理量。哈密顿-雅可比方程是经典哈密顿量一个正则变换,经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程,其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于哈密顿-雅可比方程是一个偏微分方程,每个变量对应于一个坐标,而哈密顿方程是一个一阶线性方程组,每两个方程对应于一个坐标,哈密顿-雅可比方程可以漂亮地解析一些重要问题,例如开普
4、勒问题。在近代物理中,许多物理学家用哈密顿-雅可比方程来分析一些问题。22哈密顿-雅可比方程是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此,哈密顿-雅可比方程满足了一个长久以来理论物理的研究目标:寻找波的传播与粒子运动的相似之处。经典力学系统的波动方程与量子力学中的薛定谔方程很相似。哈密顿-雅可比方程被认为是从经典力学进入量子力学最近的门洞。33收稿日期收稿日期: 修回日期修回日期:2基金项目基金项目:教育部 2012 年研究项目比较中外著名大学“四大力学”本科课程与主流教材,探索物理学国际 化创新人才培养模式(2012-28)资助. 作者简介作者简介:张立彬(1964),男,河北石家庄人
5、,教育部南开大学外国教材中心副教授,主要从事中外高等 教育教材评介与比较研究工作. 1 1 国内外各教材关于国内外各教材关于“正则变换正则变换”知识点的讲解思路知识点的讲解思路在哈密顿力学中,广义坐标和广义动量处于同等地位,因而不必限于点变换,完全nqnp可以考虑更广义的变换:(, , )( , , )PPp q tsssQQ p q t我们要求变换后的动力学方程仍然是哈密顿正则方程,满足这一要求的变换叫做正则变换。哈密顿-雅可比方程是一阶偏微分方程,其形式为1 1(,;, )0n nSSSH qqttqq其中 H 是哈密顿量,S 称为哈密顿主函数,,是广义坐11(,;,; )nnS qq a
6、a t1,nqq()标,是积分常数,t 为时间。若能找到哈密顿函数 S 的形式,就可以计算出广义坐1,naa()标与广义动量随时间的演变。这样,我们就可以完全的解析物理系统随时间的演化。1.11.1 朗道:朗道:力学力学第五版第五版该书对该内容的讨论主要在“第七章 正则方程”,主要包含以下章节:40 哈密顿方程, 41 罗斯函数, 42 泊松括号, 43 作为坐标函数的作用量,44 莫培督原理,45 正则变换, 46 刘维尔定理, 47 哈密顿一雅可比方程, 48 分离变量, 49 绝热不变量,50 正则变量, 51 绝热不变量守恒精确性, 52 条件周期运动44。作者首先在第 43 节中引入
7、了作用量作为坐标和时间函数的概念,并证明,这个函数S(q,t)对时间的偏导数与哈密顿函数的关系式为:.( , , )0SH q p tt而对坐标的偏导数就是广义动量。在哈密顿函数中将相应广义动量用代替,于是spsS q 便得出了哈密顿-雅可比方程。然后该书主要讲解了哈密顿-雅可比方程的全积分,因为在力学应用中起主要作用的哈密顿-雅可比方程不是一般积分,而是全积分。然后研究哈密顿-雅可比方程的全积分与运动方程的关系,求出运动方程的通解,从而总结出利用哈密顿-雅可比函数求解力学系统运动问题的方法。3并且,对于求解哈密顿-雅可比方程全积分的重要方法(分离变量法)做出了大篇幅的教学,主要包括在各个坐标
8、系下的分离变量。1.21.2 俄罗斯俄罗斯 A.A.马尔契夫:马尔契夫:理论力学理论力学第三版第三版该书对此内容的讨论主要在“第十一章”,主要包含以下章节:1 雅可比乘子, 2 含循环坐标的系统, 3 泊松括号与第一积分 ,4 正则变换,5 运动方程积分的雅可比方程, 6 作用-角变量 ,7 摄动理论中的正则变换55。 该书是俄罗斯的经典数学教材,作者首先利用正则变换提供了积分正则方程的雅可比方法,从而导出哈密顿-雅可比方程,然后通过雅可比方程为基础研究提供了求解动力学方程的方法,由于不存在寻找哈密顿-雅可比方程全积分的一般方法,所以该书给出一些寻找全积分的特殊方法:(1)含循环坐标系统的哈密
9、顿-雅可比方程,(2)保守系统和广义保守系统的哈密顿-雅可比方程,(3)哈密顿特征函数,(4)分离变量。最后给出了哈密顿系统完全可积的刘维尔定理。1.31.3 梁昆淼:梁昆淼:力学(理论力学)力学(理论力学)第四版第四版该书关于哈密顿理论的章节目录:“第九章 正则变换;哈密顿-雅克比方程”主要内容有:(1)正则变换的条件;(2)母函数;(3)正则变换举例;(4)泊松括号的不变性;(5)无限小正则变换;(6)哈密顿雅克比方程:哈密顿主函数,哈密顿特征函数,例题66。该书作者将正则变换分出一章,可见对其的重视程度。首先提出了正则变换,并且举出了例子来告诉读者什么样的变换是正则变换,然后引出了母函数
10、的概念,并且对母函数做出了相当多的讨论,并给出了不少例题,这是其他教材所没有的,然后通过寻找将力学系统所有正则变数变为常数的正则变换,来引出哈密顿-雅可比方程,将哈密顿正则方程的求解问题归结为哈密顿-雅可比方程的求解。然后该书将哈密顿-雅可比方程解算动力学问题的步骤分条写出:(1)将哈密顿函数H(p, q, t)中的用代替,写出哈密顿-雅可比方程。(2)解出哈密顿主函数spsS q (3)将积分常数当做变换后的“动量”,并用 S 作为正11(,;,; )nnS qq aa t1,naa()sp则变换母函数,变换后的正则变换全是常数。(4)求出变换公式,按变换公式回到原来的正则方程变数就解决了问
11、题。作者将步骤按条写出,思路清晰,使读者易于理解,可读性强。该书具有典型的中文教材的风格,在整章开头,作者通过比较哈密顿方程与拉格朗日方程,指出了哈密顿方程较拉格朗日方程更高的理论价值,并由此引出正则变换,让读者明确理论价值,使读者更加容易接受。4在正则变换之哈密顿-雅可比方程的讲解中,作者对每一步公式的推理,以及物理意义的阐述都非常的详细。书中精心挑选的例题有助于帮助读者深入理解,而且作者在书中将重点逐条列出,条理清晰,非常适合初学者学习。1.41.4 金尚年:金尚年:理论力学理论力学第二版第二版该书对此内容的讨论主要在“第八章 经典力学的哈密顿理论”。内容包括:8.1 正则共轭坐标,8.2
12、 哈密顿函数和正则方程,8.3 变分问题的欧拉方程,8.4 哈密顿原理,8.5 正则变换,8.6 泊松括号,8.7 哈密顿-雅可比方程,8.8 用哈密顿理论解开普勒问题77。该书作者将正则方程和雅可比方程作为两节讨论,内容量相对于梁昆淼版本书目相对较少,书中同样利用正则变换,使哈密顿函数结构简化,使 H=0 之后导出哈密顿-雅可比方程。但是该书的推导比较详尽,使读者易于理解。然后作者又对哈密顿主函数 S 的物理意义进行了讨论,将主函数 S 与拉氏量 L 联系在一起。最后,通过讨论哈密顿函数 H 为常数 E 时的哈密顿-雅可比方程的解(即能量守恒或广义能量守恒问题,以及纯力学的问题),得到偏微分
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