数学小课题研究教学案例约数和倍数单元教学.doc
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1、数学小课题研究教学案例约数和倍数单元教学约数和倍数单元教学一、单元整体安排一、单元整体安排约数和倍数是人教版九年义务教育六年制小学数学第十册第三单元内容,教材里知识点出现的顺序是:整除约数和倍数的意义能被 2、3、5 整除的数的特征质数合数互质数分解质因数最大公约数最小公倍数等。我先从最小公倍数开始带领学生来研究学习这个单元。根据教师用书的建议,本单元需要十二课时完成,我计划用六个课时完成。我的想法是,打破课堂四十分钟的局限,把研究延伸到课下和课外,把以听、练为主的学习方式改为自己思考、与同学及家长共同研究,还可以利用网络、图书等查寻资料;课堂上,由学生汇报、展示小组的研究成果,然后全体同学再
2、研究、共同进步。第一课时,在学生对本单元知识内容一点也没接触的情况下,尝试着直接学习本单元的最后一个知识内容最小公倍数,这是一节常规课;第 25 课时为小课题研究课;第 6 课时带领学生进行知识的梳理和总结,是一节整理复习课。二、二、 课题的确定课题的确定本单元概念多,并且比较抽象。学生在学习这部分内容时,容易混淆概念,做题时很容易出错,学生的学习兴趣也不大。我班学生对数学小课题研究的热情很高,在课外小课题研究中解决了一些学生生活和学习中遇到的很多有趣的数学小问题。能不能把这种研究引入单元教学呢?我想是可以的。由本单元的最后部分开始,抛出一个生活中学生比较熟悉的问题,让学生去研究,在老师的帮助
3、下,遇到什么问题,就去研究解决什么问题,一步一步深入下去,通过研究一个一个问题形成的一个一个小课题,等课题研究完了,本单元的所有知识内容也就学完了。这样不但大大调动了学生的学习积极性,还培养了学生的研究能力及合作学习能力。三、三、 课题的布置与指导课题的布置与指导 1 1第一课时,在学生一点也没接触本单元知识内容的情况下,尝试着直接学习本单元的最后一个知识点最小公倍数。第二课时,研究约数、质数、合数和互质数。在研究这些问题时,学生会发现各个数与它的约数间有着很多的联系,本节课后让学生课下重点研究 2、3、5 的倍数的规律。这样就引入了第三课时。第三课时:研究能被 2、3、5 整除的数的特征。掌
4、握了能被 2、3、5 整除的数的特征,对于很多的数,学生都能很快地判断出是否是合数。下节课让学生研究怎么能尽快地找出一个合数有几个因数呢?引出第四节课的学习。第四课时:在巩固上节课所学内容的基础上,研究分解质因数。分解质因数时既安排学生研究分解一个数的,也安排学生研究一组数(含两个数)如何分解。学生会发现两个数一起分解的时候也有一些有趣的现象,让学生带着问题回家继续深入研究,第二天上课时在小组内交流。然后引出第五课时要研究学习的内容求最大公约数。其实课上到这儿。第五课时:重点研究如何又快又简便的求出两个数或者三个数的最大公约数。第六课时:指导学生整理本单元的知识内容,把学过的概念进行归纳整理,
5、在自己的头脑中建立起本单元内容的知识体系。由于这一单元知识内容连贯性非常强,教学时间密度大,所以课下没有多少时间进行指导,我是这样解决这个问题的:首先分组时我就根据学生研究能力的强弱进行组合搭配,研究出成果的部分同学第二天迫不及待的就将自己的发现汇报给老师和小组成员,我表扬他们研究的积极性高,也对他们研究的内容进行初次指导。然后在课开始的前几分钟内,安排小组同学交流自己的研究发现,以强带弱。我再利用这一时间了解每个小组研究到了什么程度,做到心中有数,进行二次指导,再有针对性的选取有代表性的小组进行汇报展示。第一课时第一课时最小公倍数最小公倍数四、课堂教学实录四、课堂教学实录 1 1课前游戏。师
6、:同学们我们来做拍手游戏,我拍几下,你们拍出我的二倍好吗?师,拍二下,拍三下,学生拍出二、三的二倍数。 (游戏中让学生感知倍数)【评析:评析:课前的互动游戏蕴藏着倍数的知识,既调动了学生的积极性,又使学生初步感知倍数。 】(一)故事引入师:(多媒体演示)给大家讲一个故事,从前,在美丽的大海边,有一个小渔村,村里住着哥弟俩。有一年,他们给自己立了一个规矩,哥哥说:“我连续打 3 天鱼休息一天。 ”弟弟说:“我连续打 5 天鱼要休息一天。 ”有一位城里的朋友,在 7 月 1 日这天想:“我瞅个他们俩都在家休息的日子去看他们,哪天去好呢?”在这一个月里,他可以选哪些日子去呢?你们能帮他找出来吗?建议
7、小组分工合作。 (教师巡视指导,课件显示七月份日历。 )小组汇报,老师随学生的汇报板书。哥的休息日:4 8 12 16 20 24 28弟的休息日:6 12 18 24 30哥弟共同的休息日:12 24师:哥的休息日正好全是哪个数的倍数?生:4师:弟的休息日正好全是哪个数的倍数?生:6师:哥弟共同的休息日正好是(4)和(6)公有的倍数,如果这位朋友想尽早地去看这哥俩,应该哪天去呢?(引出 12 是 4 和 6 的最小的公倍数。 )随着学生的回答,老师完成板书。哥弟共同的休息日: 12 24(4 和 6 公有的倍数):12 24师:如果不只是在七月,可以继续下去的话,4 和 6 的倍数,还有哪些
8、呢?(学生依次答出,并且能说出有无限多个。 )(课件显示公倍数、最小公倍数概念)【评析:评析:由数学小故事引入,学生感受到公倍数在生活中的应用价值,借助生活实际学生很自然的理解了公倍数、最小公倍数的概念,又为进一步探索求两个数的最小公倍数的方法做了铺垫。 】3、师:最小公倍数在生活的用处可大着呢,我们很有必要来研究一下怎么找两个数的最小公倍数。现在同学们随便找两个数,动动脑筋,看怎样能从中尽快找出他们的最最小公倍数最小公倍数小公倍数。考虑好自己的想法后再在组内交流。(学生交流,老师巡视指导)【评析:评析:从特殊到一般,让学生研究怎样求任意两个数的最小公倍数,大家集思广益,在小组内把自己的想法进
9、行交流。既培养了学生独立思考的习惯,又提高了小组合作学习的能力。 】(二)交流辨析1、师:刚才我看到很多同学有自己的想法,讨论得很热烈。现在哪个小组愿意把你们的研究成果展示给大家?2、一小组代表:我们受老师的启发,也把两个数的倍数按照一定的顺序各列了一些,从中能找出他们的最小公倍数。比如:6 和 9。6 的倍数有:6 12 18 24 30 36 42 48 54 9 的倍数有:9 18 27 36 45 54 (学生用彩笔边标边说)从中不难看出来,36 是 6 和 9的最小公倍数。大家认为我们这样做,对吗?生 1:把倍数一一列举出来,找公倍数就非常清楚了。生 2:方法是对的,只是有些麻烦。【
10、评析:评析:学生运用列举法,找出了两个数的公倍数和最小公倍数。虽然麻烦一些,但方法容易掌握,得到同伴认可的同学热情高涨,教师这里应该及时表扬,增进学生的自信心。 】3、三小组代表:我们组研究发现,求 4 和 6 的最小公倍数,可以把 4 和 6 乘起来,然后再除以 2,就得到这两个数的最小公倍数。象 8 和 10,6 和 8 等也是这样。生:是不是所有的数都可以这样呢?师:同学们在练习本上多写几组,看看,是不是任意两个数都可以采用这种方法。(不一会就有学生举手要求发言。 )生:有的数是可以的,但有的不行,比如上面刚刚提到的 6 和 9 的最小公倍数,用这个方法,先相乘后除以 2,是27,27
11、并不是 6 和 9 的最小公倍数。生:我举个例子比如 8 和 16 乘起来是 128,再除以 2 是64。64 并不是他们的最小公倍数。生:我也发现这种方法行不通,比如最简单的 1 和 2,如果用 122=1,很明显 1 不是他们的最小公倍数。(三组同学连连点头。 )4、二小组代表:我们发现 10 和 15,15 和 20 等,相差5 的数,把这两个数加起来再加上 5 的倍数就行。(有不少学生说行,有的说不行,老师说:呵呵,是的,这有局限性。 )【评析:评析:在求最小公倍数时,学生没有停留在一种办法上,而是继续探索更简便易行的方法。在宽松民主的课堂氛围中,学生的思维是异常活跃的,学生们大胆提出
12、自己的想法。三组学生提出两个数相乘再除以 2 的方法后,一石激起千层浪,学生们纷纷质疑,学生的质疑也是有理有据的,在同学们列举的大量实例面前,三组同学也是心服口服。大家畅所欲言,积极主动地调动自己的知识储备去探索、验证、总结。 】5、四小组代表:我们发现象 3 和 5,5 和 7 这样的数,直接乘起来的积就是这两个数的最小公倍数,同学们如果不信,可以试试,比如象 3 和 5,他们乘起来的积是 15,你们还能找到比 15 更小同时又是这两个数的公倍数的数吗?(这时又有一学生问:所有的数都可以这样乘吗?)(老师随手把这个学生的问题记在了黑板的一角。 )6、五小组代表:我们也发现了一些特殊的数,象
13、2 和4,4 和 8,2 和 10 等,这样成倍数关系的数,大的数就是这两个数的最小公倍数。我们试了很多,都行。同学们不妨也试试,如果你们能找出是倍数关系,但是较大的数不是这两个数的最小公倍数,我们组有奖品给你。(学生纷纷在练习本上写,过了一会,教室里安静下来,没有一人能举出这样的例子,所以这个方法在得到老师的肯定后,就被确定了下来。教师板书记录)【评析:评析:教师尊重学生的主体地位,放手让学生任意写两个数,必然会出现多种情况。其中两种特殊的情况分别是:两个数是互质数和两个数成倍数关系,如何求它们的最小公倍数。学生能够发现方法,是意料之中的。但由于只是个别小组发现,教师没有急于评价,而是把它记
14、录下来,作为子课题继续研究。 】7、六小组同学:我们组举了一个例子,10 和 12,10 可以写成 10=25,12 可以写成 12=223这样的话,我把 10 中的 2 和 5,12 中的 2 和 3 连乘起来,就是 2523=60,我们验证后确定,60 是 10 和 12 的最小公倍数。有同学问:12 中的两个 2 为什么只乘一个 2 呢?8、六组代表 1:因为和 10 中的 2 重复了,所以不乘。(生又进一步问:为什么重复了就不乘了呢?这个组代表红了脸,答不上来了。 )(老师也把这个问题记在第一个疑问的下面。 )一位同学受启发又有了一个发现:我们把 10 和 12 分解 然后把分解得到的
15、数乘起来再除以 2,也能得到他们的1052122 2 31052122 2 3最小公倍数:252232=60。(很多学生议论纷纷:除以 2 以后好象和上面的例子有点相似。 ) (同学们得到了求最小公倍数的多种方法。经过师生共同研究确认,排除了一些,最后剩下三种方法,一是象 3和 5 这类的数,用直接乘起来的方法找他们的最小公倍数,二是有倍数关系的,较大的数就是他们的最小公倍数。三是六组同学的方法,只是学生不明白为什么要把相同的 2只乘一次就行。 )【评析:评析:学生的精彩尽在此处。学生的研究可能是稚嫩的,但他们正像科学家那样进行探索,主动探求如何来求两个数的最小公倍数。学生的思维火花碰撞在一起
16、,有的达成共识,学生们尽情地享受着成功的快乐,有的又激发学生新的灵感。同学们各抒己见,将求最小公倍数的方法一一列举出来,教师这里的作用不容忽视,教师有意识地引导学生选择简便有效的方法,渗透了优化的思想。 】(三)课堂练习1、课件显示一组判断题。公倍数就是几个数公有的倍数,它应当都能被这几个数除尽并且没有余数。最小公倍数有很多个。公倍数有无数个。2、阅读课本,然后处理一部分课本上的练习题。3、让学生说说生活中你遇到过的求最小公倍数的事例。【评析:评析:教师设计的练习有一定的层次性和针对性。从本节课学生完成练习的情况看,虽然教师对本单元的内容进行了大幅度的调整,但学生对公倍数、最小公倍数等概念理解
17、得还是比较好的。对于求最小公倍数的方法学生也有了初步的认识,得到了初步的方法,尽管没有得出通用的办法。 】(四)布置研究课题老师指出写在黑板上的几个问题,这些问题大家课下或者回到家中继续研究。各小组先重点研究第一个问题:什么样的两个数可以用直接相乘的方法求它的最小公倍数?【评析:评析:由于同学们在课堂上求最小公倍数时又遇到需要研究的子课题,教师以此为起点,布置研究课题,布置学生继续研究。 】第二课时第二课时 约数、质数、合数和互质数约数、质数、合数和互质数五、课题的布置与指导五、课题的布置与指导 2 2第一课时后,我布置的研究课题“什么样的两个数可以用直接相乘的方法求得最小公倍数” ,课下,学
18、生们在研究中列举出多种情况,发现共有的因数只有 1 的两个数直接相乘才可以。当这节课学生把这个问题提出来后,我布置学生进一步分析、研究,什么样的两个数公因数只有 1,怎样尽快看出这两个数是不是共有的因数只有 1?这就引出了相关概念:整除、约数、质数和合数、互质数。由于时间比较紧,第一天布置的研究任务第二天就要学习,学生们只能利用课外活动时间与老师交流,有的第二天一大早就迫不及待的把自己的研究成果与老师、同伴讨论。上课伊始,我拿出几分钟的时间让小组内的同学讨论交流自己的研究成果,在巡视中我了解到,学生得出很多不同的方法。我对学生的汇报也心中有了数。六、课堂教学实录六、课堂教学实录 2 2(一)回
19、顾研究问题,分组交流师:上节课张玉亮小组提出有的数可以用两个数直接相乘的方法求出这两个数的最小公倍数。课下,许多学生研究出了结论,认为共有的因数只有 1 的两个数直接相乘才是他们的最小公倍数,老师又布置各小组重点研究整理两个问题:一是两个数的因数中共有的因数只有 1 的两个数有哪几类?二是怎样尽快看出这两个数是不是共有的因数只有 1?同学们先在小组内交流自己的研究成果。(二)小组汇报,阐明概念师:现在我们来听听各小组的发现。老师有个要求,别的组说过的,类似的意见就不要再说了。组代表 1:我们列举了很多数,发现单数和单数,如,7 和 5 、11 和 13 、 97 和 37 共有的因数只有 1。
20、 组代表 2:我们也发现了一组说的这种情况,不过我们有补充,单数和单数,如,13 和 15 、15 和 17 、9 和37。组代表 3:单数和双数,如,4 和 9、8 和 9、10 和 9。师:第二组说的单数和单数,似乎和第一小组一样,而实际上有区别,你们发现他们的不一样了吗?生:第一组的单数是孤零零的生:第二组的数中,15 还有 3 和 5 能把它除开。9 还有3 能把它除开。师:第一组的数实际上也有数能把它除开的,不但除开,而且还没有余数。你们知道是哪个数吗?生:比如 7 能被 1 和 7 除开,5 能被 1 和 5 除开,11 也能被 1 和 11 除开【评析:评析:课上到这,整除的概念
21、已经是呼之欲出了。学生列举出共有的因数只有 1 的三组数,虽然没有发现这三组数的具体特点,恰好为下一步深入研究提供了素材,教师在这里没有急于告诉学生答案,而是让学生充分地感知。】师:老师给你写下来 71=7, 77=1,也就是 1 和 7都能去除 7,得到的商是整数并且没有余数,这叫做整除。在这里,我们就说 1 能整除 7,或者说 7 能被 1 整除。当然,也可以说 7 能整除 7。在这里,被除数、除数和商都是整数,并且商没有余数,这才是整除。谁能再举几个整除的例子。生:62=3 ,124=3生:10010=10师:通过 62=3 这个算式可以知道,6 能被 2 整除。这个时候,我们也可以说,
22、2 是 6 的约数,6 是 2 的倍数。在这里,我通过 62=3 这个具体的算式说明了约数和倍数,如果要求用字母来说明的话,谁会?生:如果数 a 能被数 b 整除,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数。生:老师,除数不能为零。师:对,b0,那么,现在大家说 7 的约数有哪些?生:1、7。师:第一组的其它数呢?各有多少约数?有没有公有的约数?生:都是只有 1 和它本身。公有的约数只有 1。师:有位同学说到一组列举的数有孤零零的感觉,比如3,如果我们把 3 扩大到它的二倍,变成 6,扩大到三倍,变成 9,是不是就不孤零零了呢?很多学生回答:是!师:3 和 6、9 比较,3 可以说是最本质
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