高中数学常用的数学思想分类讨论思想方法.doc
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1、高中数学常用的数学思想分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求 解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思 想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方 法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维 条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a0、a0、a2 时分 a0、a0 和 a0 且 a1,ploga(a3a1),qloga(a2
2、a1),则 p、q 的大小关系是_。 A. pq B. pq D.当 a1 时,pq;当 00、a0、a1、00、x0 且 a1,比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小。【分析】 比较对数大小,运用对数函数的单调性,而单调性与底数 a 有关,所以对底 数 a 分两类情况进行讨论。 【解】 01 当 00,loga(1x)0; 当 a1 时,loga(1x)0,所以|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x) loga(1x)loga(1x2)0;由、可知,|loga(1x)|loga(1x)|。【注】本题要求对对数函数 ylogax 的单调性的两种情况十分熟悉,即当 a
3、1 时其是增函数,当 00,使得lg()lg()ScScnn2 2lg(Sn1c)成立?并证明结论。(95 年全国理)【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中 在应用等比数列前 n 项和的公式时,由于公式的要求,分 q1 和 q1 两种情况。【解】 设an的公比 q,则 a10,q0 当 q1 时,Snna1,从而 SnSn2Sn12na 1(n2)a1(n1)2a 12a 120, 使得lg()lg()ScScnn2 2lg(Sn1c)成立。【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:证明 loglog.0 50 52 2SSnn
4、log0 5 .Sn1 ,和理科第一问类似,只是所利用的是底数是 0.5 时,对数函数为单调递减。 例 1、例 2、例 3 属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的 问题或者分类给出的,我们解决时按要求进行分类,即题型为概念、性质型。例 4. 设函数 f(x)ax22x2,对于满足 10,求实数 a的取值范围。 【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大 值、最小值等值域问题,需要先对开口方向讨论,再对其 抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论,最后 综合得解。【解】当 a0 时,f(x)a(x1 a)221 a 111220a fa( ) 或1141210af
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