东北师范大学物理系.doc
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1、量子力学量子力学 练习题练习题 1 1 答案答案一。基本概念及简要回答1. 和 是否相等?为什么?pp答:不相等。因为是动量的本证态,而是动量的本证态,实际上与代表同一个态。pppppp2 判定下列符号中,哪些是算符?哪些是数?哪些是矢量?; ; ; 。)()(ttwvuwFu答:是算符,是数,)()(ttwFu是矢量。wvu3. 波函数的导数是否一定要连续?举例说明。答:不一定。例如,对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续,但微商在和点不连续。0a4为什么既不能把波理解为粒子的某种实际结构,即把波包看作粒子 , 也不把波理解为由大量粒子分布于空间而形成的波, 即把波看作由粒子构成的?
2、答:自由粒子的物质波包必然要扩散,与实验矛盾。所以不能把波包看作粒子 ;另一方面,戴维逊-戈末实验表明电子的波动性不是很多电 子在空间聚集在一起时才呈现的现象,单个电子就具有波动性,否则每次只有一个粒子,但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样. 所以不能 把波看作由粒子构成的 。5. 设,。试判断下列算符哪些是厄米算符,哪些不是。AABB0AB,(1) ; (2) ; (3) ; (4)。1()2FABBAi GABCAiBDAB解:(1) ,1()2FABBAi11()()22FB AA BABBAii,即为厄米算符。FFF(2) , GAB GABB ABAABG。不是厄米算符。G(3) ,C
3、AiBCAiB,即不是厄米算符。CCC(4) ,DABDABAB,即为厄米算符。DDD6 (9)(9) 指出下列使用的 Dirac 符号那些是不正确的。为什么?A.; B. ; C.; D. ; )(t)(x)(t( )rrE. ; F. . 10 ) (xxx答:B,E,F 不正确。B 中是力学量,是态在的振幅,不能用一个点的振幅代表态。E,F 不正确是因为左边是态与具体表x xx象无关的 Dirac 符号态矢量,右边是有具体表象决定的波函数。7(5)简述态迭加原理。 若, 且, 那么的物理意义是什么?nnncnnnfFnncc答:迭加原理:如果,是体系的可能状态,那么它们的线性迭加 121
4、212cc(是复数)也是这个体系的一个可能状态,这就是量子力学的态迭加原理。12,c c的物理意义:在态中包含态的振幅,是包含态的几率。当是某一个算符本征值时,就是这个本征nc n2| |ncnn2| |nc值在这个态中出现的概率。 8(5)在一维谐振子基态得经典区域之外,粒子出现的几率也不为零,这是否意味粒子的动能可为负值?怎样解释这一结果?答:不能。因为pkEEE9. (3)确定,哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。dxdi22dxd22dxdi答:,是厄米算符,dxdi22dxd22dxdi10指出下列使用的 Dirac 符号那些是不正确的。为什么?A.; B. ; C.; D. ; )(t
5、)(x)(t( )rrE. ; F. . 10 ) (xxx答:B,E,F 不正确。B 中是力学量,是态在的振幅,不能用一个点的振幅代表态。E,F 不正确是因为左边是态与具体表x xx象无关的 Dirac 符号态矢量,右边是有具体表象决定的波函数。1111. (5) 和 是否相等?为什么?pp答:不相等。因为是动量的本证态,而是动量的本证态,实际上与代表同一个态。pppppp12. (5)波函数的导数是否一定要连续?举例说明。答:不一定。例如,对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续,但微商在和点不连续。0a1313. (6) 如果如果,且且, 都是都是AABB,Ci A BC,A aa
6、aB bb bab和束缚态,则束缚态,则 0.a C ab C b证明:证明:0.i aABBA aiaa B aa B a这里考虑了是束缚态,因而是有限的,及。同理可证aa B aa Aa a0.b C b 如令如令则则,由此得,由此得。,zxAL BL yCL 0ylm L lm 二1、质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态,m 0,212 1kkxxV若弹性系数突然变成,即势场变成,随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场基态的几率;(只kk2 2 2kxxV xV2列出详细的计算公式即可)解:粒子的波函数随时间的变化满足方程( , )x t2222iVtm x 对时间区间积分得tt 22
7、21110120ttttttidttttdtVdtm xtV tttt ,。可见,当发生突变(由) 、但变化量有限时,不变。以和分别表示场和场的基态波函数,当势场V12VV0( ) x0( )x1V2V突然由变成后,粒子的波函数仍为。由于已变为,新势场中的基态是。于是随即测量粒子的能量,则1V2V0( ) x1V2V2V00测得粒子处于态的概率为,即粒子能量为新基态能量的概率为。02000E200将和写成标准形式:1V2V222 11222 2211( )22 1( )2V xkxmxV xkxmx可得 ,又有:21222221 2/22 011 2/22 02( ),/( ),/xxxemx
8、em其中22 21/2因此2221 12()2 00222xedx所求概率为2002222、质量为 m 的粒子,在阱宽为 a 的一维无限深势阱中运动,若 t=0 时,体系处于)()()()0 ,(332211xcxcxcx态,式中,n=1,2,3 21()2nnnHma12 32 22 1ccc求:(1) (5 )t=0 时,及的几率E22222 maE(2)(5)t0 时的波函数,能量的可能取值及相应几率。),(tx(3)若粒子处于基态,求ax asin21A (5 ) 粒子的动量分布(只列公式,不必计算) B (7)当阱宽突然变为 2a 时,求粒子处于新的基态的几率(只列公式,不必计算)
9、。 解:(1)222222222222 123/()/()/()2922ECCCm am am a的几率是22222 maE2 2C(2)三个可能值分别为,和,它们相应的取值几率分别为,222/()2 m a222/()42 m a222/()92 m a2 1| |c和2 2| |c2 3| |c(3) A将向动量本征态展开,即 12( )sinxxaaB因为阱宽度突然变为,粒子状态还来不及变化, 2 *2/1 012( )sin2a ipxpxw pc px dxdxaae 2a 22222111201202.ttttttidtitttdtVdtm xtV ttm xtttt ,。所以粒子
10、仍处于态,而由于阱宽度变为,新的的本征态已变,设为,则此时处于此态几率为 1( )x2aH1( )x11( )(2 )xaa221 1111 0|( )( )|( )( )|a xx dxxx dxW 3、 计算对易关系,其中,。pL,zyx,解:解:(1)0,xyzxxppzpypL(2)yyxxxyxzpppxppypxpLi,同理可得; (3)0,yypL0,zzpL; (4)zyxppLi,xzyppLi,三1、已知二维谐振子的哈密顿算符为,在对其施加微扰后,利用微扰论求22220212yxpHxyW 第一激发态能量至一级修正。WHH0提示:,其中,而为线谐振子的第个本征矢。 1,1,
11、2121nmnmnmnnx nn解:解:若选(1)22222 01122 xyHppxyWxy 则(2)WHH 0已知的本征解为0H(3), 2 , 1 , 0, ),()(),(10 ,0 ,yxnnnnyxnnnnyxyxnnEyxyxyx令(4), 2 , 1 , 0 ,nnnnyx则零级近似能量本征值可写成(5)10 nEn第一激发态,简并度为。在简并子空间中,相应的零级近似解为1n21f(8) 0 10 1010 2102,( )( ),( )( )Ex yxyx yxy能量一级修正满足的本征方程为(9) 0 1211 1 cEW相应的久期方程为(10)由 01 12221121 1
12、11 EWWWEW 1,1,21 21nmnmmnnnnxmx(11) 可以求出微扰矩阵元(12)02211WW而(13) 12* 01102112dd2Wxyxx xxyy yyW,将(13)和(14)的矩阵元代入久期方程(10) ,得到(14) 221 121 11EE显然,能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级,即将二度简并完全消除。为了求出近似本征矢,将代回本征方程 1 11E(15) baba 20 1 1 0 2得到(16)ba由归一化条件可知(17)21a于是,得到相应的零级本征矢为(18) 000 11121( , ), 2x y同理可得,相应的零级本征矢为 1 12E
13、(19) 000 12121( , ). 2x y2、对于一维运动,求算符的本征值和本征函数,。Px解:在表象中, x() ( )( )xxxix,( )() ( )ixxxx( )()( )dixx dxx,( )()( )dixx dxx,21()2ixxCe因为 本征值为任意实数。,PxPxPx3、质量为的粒子处于能量为的本征态,波函数为,问粒子在什么样的位势中运动?mE22 21 )(xAxex解:由,得 2222EV xm x 这是谐振子势。2222222222222222222242222111expexpexp22223233222 31 22xxExxVxxm xxxExVxm
14、VxEExmmmEmxm 四. 1、已知,求证 ,1 1nnnn 证明:用数学归纳法证明。当 n=1 时, ,1 假设当指数为 n=k 时,也成立。即: ,则当指数为 n+1 时, 1 ,kkkkn 111 , , , ,(1)kkkkkkkkknn 成立,所以 1nnnn 2、用狄拉客符号导出由 F 表象到 G 表象的表象的波函数及其算符的变换公式,写出么正变换矩阵。解: nnnF fff nnnG ggg在 F 表象中,()f nf g nnnffggS,nnSfg()( )fg nnS 。()( )()f nmnmg nmnmAfA ffggA ggfSAS 是么正变换矩阵元。nS3、求
15、线性谐振子偶极跃迁的选择定则。提示:偶极近似的情况下,。He x 1111( )( )( )22nnnnnxxxx 解:在只考虑电场作用,即,偶极近似的情况下,。跃迁几率与矩阵元成正比。He x kmP2mkx( )( )nnnnxx xx dx 在线性谐振子的情况下,利用1111( )( )( )22nnnnnxxxx 得11111( )( )( )( )22nnnnnnnnxxx dxxx dx ,1,1112n nn nnn可见,要使,必须0mkx或 1 nn1 nn 由此得1nnn 此即线性谐振子偶极跃迁的选择定则。五1、一个三维运动的粒子处于束缚态,其定态波函数的空间部分是实函数,求
16、此态中的动量平均值。 解:定态波函数的一般形式为iEtertr)(),(为能量。由题可知。由于是束缚态,必定有(当) 。于是可按下式计算动量平均值,如E)()(*rr0)(rr*22( , )( , )( )( )1( )2 1( )0.2xxxxpdr t pr tdxdydzrrixidydz dxrxidydzr 对也有同样结果。zypp 、2、在能量表象中,一维谐振子在 t0 时的状态为求.2010)0((1)(6)能量的可能值及相应几率; (2)(4)能量平均值; (3)(8)t 时刻粒子的波函数.解:(1)首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开,由可得,22125 13000 1
17、10 00011212(0),20155555. . . 由,可得能量可能测值为对应的几率分别为1 2nHnh37,221 4,5 5(2)用来求得平均值为 ,或HH31 101 34 731.5 25 210E(3)而 时刻波函数。t3 237 22137 20 1 5 0( )2 5 0ititititteee e 3、在能量表象中,一维谐振子在 t0 时的状态为求.2010)0((1)能量的可能值及相应几率 (2)能量平均值 (3)t 时刻粒子的波函数解:(1)首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开,由可得,22125 13000 110 00011111(0),20255555. .
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