定积分的计算与应用.doc
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1、1学士学位论文学士学位论文定积分的计算与应用定积分的计算与应用系系 别:别: 应用数学系应用数学系 学科专业:学科专业: 数学与应用数学数学与应用数学 姓姓 名:名: 杨小洁杨小洁 学学 号:号: 2004060207 指导教师:指导教师: 刘俊俏刘俊俏 二二 OO 八年六月八年六月i定积分的计算与应用定积分的计算与应用摘要摘要 本文介绍了定积分的相关知识,全文分为三部分.第一部分介绍定积分的知识背景,古希腊的阿基米德用“穷竭法” ,刘微用“割圆术”都曾计算过一些几何体的面积和体积,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质、观点求积, 牛顿、莱布尼茨的积分概念的创立,所有这些
2、对研究定积分的实际应用意义深远.第二部分,对定积分一些基本计算方法,比如换元法、分部积分法要灵活运用,这部分总结了几类定积分的计算技巧及一个定理.第三部分展开讨论定积分的应用,例如求面积、变力做功旋转体积用等基本应用,还有在经济方面和实际生活中的应用. 正是由于求定积分过程中包含着丰富的辨证思维,才使得高等数学 主要是微积分 巧妙地、有效地解决了初等数学所不能解决的问题,并且在实际中得到广泛运用.关键词关键词 定积分 计算 应用iiCalculation and Application of Definite Integral Abstract This paper presents a se
3、t of points related knowledge, the full text is divided into three parts. The first introduced integral part of the background, the ancient Greek of Archimedes “exhaustion“, Liu Weis “cutting a round “ have calculated the Geometry of the area and volume, the French mathematician Fermat, Pascal both
4、calculated the volume by use the “split summation“ infinitesimal and the views of the nature of integration, Newton, the creation of Leibniz the integral concept, all of these points of the study p scheduled in practical applications is far-reaching significance. Part II, some of the basic points of
5、 the calculation method, for example for-element method, the Division points is flexibility in the use of law,it summing up this part of the integral types of computing skills and a theorem. Part III will discuss Integration of applications, such as for size, the volume change of Work by rotating th
6、e basic application, and in the economy and applications in real life. It is precisely for the process of seeking integral contained rich dialectical thinking, that makes higher mathematics - - Mainly calculus - clever and effective solve the elementary mathematics which can not solve the problem, a
7、nd it was widely used in practice.Key words Definite integral Calculation Application目目 录录引言 .1第一章 定积分的起源史与发展 .1第二章 定积分的计算 .42.1 定积分一个特殊计算 .52.2 定积分计算中的技巧性 .62.3 应用定积分折证明一些等式.10第三章 定积分应用 .113.1 微元法.113.2 定积分基本应用.133. 3 在实际生活中的应用 .14总结 .18致谢 .18参考文献 .181引言引言定积分是数学分析中十分重要的思想方法和计算方法,通过研究定积分的计算方法和性质,如:牛
8、顿-莱布尼茨公式,有理函数和无理根式的积分,积分中值定理,换元积分法与分部积分法等,可以应用定积分解决物理,经济方面的问题.定积分所蕴含的知识内容颇多,而且杂乱琐碎,是高等数学和数学分析的重点和难点内容,但定积分的计算与应用很少有人专门做系统的研究,本论文将系统全面的利用所学知识和所查资料,对定积分的计算和应用从理论到实践,做详细、全面和系统的研究,不仅可以作为学习定积分的同学的参考资料,而且有重要的使用价值,可以为物理学中的变力做功等提供强有力的理论支持和保障,因此选择该题目不仅具有教学研究的重大理论价值,而且有重要的实践和应用价值,同时还可以提供给一些数值积分的方法,使定积分能更好的应用于
9、实际生活当中.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题,古希腊的阿基米德用“穷竭法” ,我国的刘微用“割圆术”都曾计算过一些几何体的面积和体积.对于定积分性质的研究,1997 年朝云芷写了关于积分中值定理构造证明,对于定积分应用的研究,1987 年王维宝在高师理科学刊中研究了定积分在梯形面积逆向问题中的应用等等.第一章第一章 定积分的起源史与发展定积分的起源史与发展定积分的创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果。定积分发展的历史过程定积分的发展大致可以分为三个阶段:古希腊数学的准备阶段,17 世纪的创立阶段以及 19 世纪的完成阶段.见参考文献1.1.1.准备阶段准
10、备阶段2主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.古希腊数学的发展史大致分为三个时期.(1) 初期的古希腊数学并不是单独的一个分支,而是与天文、哲学密不可分的,其研究对象以几何学为主.安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题,是近代极限理论的雏形.公元前5世纪以德谟克利特为代表的“原子论”学派,用原子论的观点解释数学,他认为:线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的,而计算面积、体积就是将这些“原子”累加起来,这种不甚严格的推理方法已带有古朴的积分思想.(2) 第二个时期:古希腊的数学逐渐脱
11、离哲学和天文学,成为独立的科学,出现了三大数学家欧几里德、阿基米德和阿波罗尼奥斯.其中在公元前3世纪数学家兼物理学家阿基米德将穷竭法与原子论观点结合起来,获得了许多重要结果,利用穷竭法,借助于几何直观,求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积,其思想方法是分割求和,逐次逼近.积分的基本思想,是将所求的量分割成若干细小的部分,找出某种关系之后,再把这些细小的部分用便于计算的形式积累起来,最后求出未知量的值.(3) 古希腊数学的第三个时期:主要是在三角学和代数方面取得的发展,随着亚历山大城被罗马人占领,希腊数学至此告一段落. 直到14世纪末,欧洲资本主义萌芽,人们才继续了数学方面
12、的研究.整个16世纪,积分思想一直围绕着“求积问题”发展,它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积,更加接近现代的求定积分的方法.可见,利用“分割求和”及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 2.创立阶段创立阶段主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼茨的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼茨几乎是同时且相互独立地进入了微积分的大门.17世3纪数学的发展、笛卡儿坐标系的建立将变量引入数以及函数思想、极限思想的发展,都为牛顿、莱布尼茨对微积分的
13、进一步研究创造了条件.牛顿从1664年开始研究微积分,主要贡献反映在1671年、1676年发表的流数术与无穷级数、曲线求积术两篇论文和1687年的自然哲学之数学原理中.早期的微积分常称为“无穷小分析”, 从牛顿的“流数法”中可见一斑.“流数法”的主要思想是把连续变动的量称为“流量”,流量的微小改变称为“瞬”即“无穷小量”,将这些变量的变化率称为“流数”.用小点来表示流数,如, 表示. x. y变量,对时间的流数.他指出:曲线在某给定点处切线的斜率就xy,0f x y 是 的流数与 流数之比,从而导出对的导数就是的流数与 流数之比,即yxyxyx相当于现在的.dyy dxx在此基础上,牛顿又提出
14、了反问题: 给定表示与流数之比之间的方程,x.yx求函数,即反微分.他讨论了如何借助反微分来计算面积.这是历史上 yf x第一次以明显的形式给出了的其中表示曲线下的dAydxA yf xaxb面积,这个定理给出了计算面积方法的根据,使得计算趋于一般化、系统化.用现在的符号表示就是面积.莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他baAydx在数学笔记中指出:求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比(当这些差值变成无穷小时);求积依赖于在横坐标的无限小区间上纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼茨开始认识到了求和与求差运算的可逆性,他用表示dy曲线上相邻点的纵坐标之差,把 表示为所有这些差的和,
15、明确指出:dyydy“”意味着和, 意味着差,从和差的互逆关系可知“”和的互逆关系.这dd样莱布尼茨明确指出了:作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法,但是,他们留下了大量的事4情要后人去解决,首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础.18世纪,伯努利、欧拉、拉格朗日、克雷尔、达朗贝尔、马克劳林等数学家,随着对函数和极限研究的深入,把定积分概念推广到二重积分、三重积分,也对微积分基础作了深刻的研究,并且无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支学科也初具规模,但微积分的逻辑基础问题还没有得到圆满解决.3.3.完成阶段完成阶段19
16、世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善,如一般的函数概念尚未建立,微积分的许多基本概念,如无穷小、无穷大、导数、微分、积分仍无精确定义等.从19世纪20年代至19世纪末,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西完全摆脱了微积分对几何和物理意义的依赖,引入了严格的分析表述和理论,形成了现代体系,他继续并发展了前人已有的积分作为微分和的思想,用极限给出了积分的定义,指出“”不能理解为一个和式,而是和式,当无限11 1nnkkk ksf xxx 1kkxx减小时,能“最终达到的某个极限值” ,这个 就是函数在区间nsss f x上的定积分.他认为人们
17、在应用定积分之前,必须首先确定积分的存在性,0,x x柯西定义了函数,证明了当在上连续时,在 0xxF xf t dt f x0,x x F x上连续、可导,且.继之柯西证明了的全部原函数彼此0,x x Fxf x f x只相差一个常数,因此,他把不定积分写成:x0,并由此推 0xxf x dxf t dtC出了牛顿-莱布尼茨公式.至此,微积分基本定理给出了 00xxf x dxF xF x严格证明和最确切的表示形式.魏尔斯特拉斯将柯西关于极限的定性描述,改成定量刻划,即“”语言.完成了分析算术化的工作.最后戴德金定义了无理数,揭示出实数的连续性,完成了微积分的基本理论工作.5第二章第二章 定
18、积分的计算定积分的计算关于定积分的计算方法,本章做了系统总结,基本方法:换元法和用含参量积分的性质计算定积分,特殊计算及应用对称性周期性计算定积分.见参考文献32.12.1 定积分一个特殊计算定积分一个特殊计算计算函数 f(x)的定积分,通常是先求出它的一个原函数,再利用牛顿莱布尼茨公式求解.然而,对于有些被积函数,要想直接求出它的原函数是比较困难的.这里介绍利用转化的思想,求满足一定条件的函数 f(x)的定积分的一种方法.定理:设函数在闭区间上连续,若存在常数和.使得 f x, a b0,则 f xf abxg x 1bbaaf x dxg x dx证明: 由 f xf abxg x可得 b
19、bbaaaf x dxf abx dxg x dx令 则,当从增到时, 从单调递减到abxtdxdt xabtba所以 babbabaaf abx dxf t dtf t dtf x dx代入原式得 bbaaf x dxg x dx即 1bbaaf x dxg x dx0例 1 求0sin sin2 sin3xxxdx 6解 因为 0f xfx=-sin sin2 sin3xxx sin sin2 sin3xxx=0所以 原式=01002dx 例 2 求2 0sin 1 cosxxdxx因为 0f xfx=22sin()sin 1 cos1 cosxxxx xx=2sin 1 cosx x 所
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