实验五 矩阵运算与方程组求解.doc
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1、75项目三项目三 多元函数微积分多元函数微积分实验实验 2 多元函数积分学(基础实验)多元函数积分学(基础实验)实验目的实验目的 掌握用 Mathematica 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.基本命令基本命令1. 计算重积分的命令 lntegrate 和 NIntegrate例如,计算, 输入dydxxyx 1002Integratex*y2,x,0,1,y,0,x则输出 151又如,计算的近似值, 输入dydxxy )sin(10102 NIntegrateSinx*y2,x,0,1,y,0,
2、1 则输出 0.160839注注: Integrate 命令先对后边的变量积分. 计算三重积分时,命令 Integrate 的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用 Mathematica 计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限.2. 柱坐标系中作三维图形的命令 CylindricalPlot3D使用命令 Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入40 则在球面坐标系中作出了该球面的图形.4. 向量的内积用“.”表示两个向量的内积. 例如,输入vecl=al,bl,cl76vec2=a2,b2,c2 则定义了两个三维向量, 再输入vec1. vec2 则
3、得到它们的内积a1a2+b1b2+c1c2实验举例实验举例计算重积分计算重积分例例 2.1 (教材 例 2.1) 计算 其中为由 所围成的有,2dxdyxyDD, 2yxyx2y界区域.先作出区域的草图, 易直接确定积分限,且应先对积分, 因此, 输入DxIntegratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty则输出所求二重积分的计算结果.120193例例 2.2 (教材 例 2.2) 计算 其中为,)(22dxdyeDyxD. 122 yx如果用直角坐标计算, 输入Clearf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sq
4、rt1-x2则输出为dxx1Erfe211x2 其中 Erf 是误差函数. 显然积分遇到了困难. 如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入Integrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出所求二重积分的计算结果e如果输入NIntegrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出积分的近似值1.98587例例 2.3 (教材 例 2.3) 计算, 其中由曲面dxdydzzyx)(22 77与围成.222yxz22yxz先作出区域的图形. 输入g1=ParametricPl
5、ot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th,0,2Pig2=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2PiShowg1,g2,ViewPoint-1.3,-2.4,1.0则分别输出三个图形(图 2.1(a), (b), (c)).-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.5111.11.21.31.4-1 -0.5 0 0.5 1 (a)-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.5100.250.50.751-1 -0.5 0 0.5 1 (b)78
6、-1-0.5 0 0.5 1-1-0.500.5100.51-1-0.5 0 0.5 1-1-0.500.51图图 2.1 考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入gx_,y_,z_=x2+y2+z;Integrategx,y,z,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2,z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2 执行后计算时间很长, 且未得到明确结果. 现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入Integrate(gx,y,z/.x-r*Coss,y-r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2- r2 则
7、输出 1528 1252如果用球面坐标计算,输入 Integrate(gx,y,z/.x-r*Sinfi*Cost,y-r*Sinfi*Sint, z-r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,0,Sqrt2 则输出 3216 625 51这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用重积分的应用例例 2.4 求由曲面与所围成的空间区域的体yxyxf1,222,yxyxg积.输入 Clearf,g; fx_,y_=1-x-y; gx_,y_=2-x2-y2; Plot3Dfx,y,x,-1,2,y,-1,2 Plot3Dgx,y,x,-1,2,y,-1,2 Show%,
8、%79一共输出三个图形, 最后一个图形是图 2.1.-1012-1012-6-4-202-1012 图图 2.2首先观察到的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到平面上输入Oxyjx=Solvefx,y=gx,y,y 得到输出 22445121,445121xxyxxy为了取出这两条曲线方程, 输入y1=jx1,1,2y2=jx2,1,2 输出为2445121xx2445121xx再输入 tu1=Ploty1,x,-2,3,PlotStyle-Dashing 0.02,DisplayFunction-Identity; tu2=Ploty2,x,-2,3,DisplayFunctio
9、n-Identity; Showtu1,tu2,AspectRatio-1, DisplayFunction- $DisplayFunction 输出为图 2.2, 由此可见,是下半圆(虚线),是上半圆,因此投影区域是一个圆.1y2y80-0.50.511.5-0.50.511.5图图 2.2设的解为与,则为的积分限. 输入21yy 1x2x21,xxxxvals=Solvey1=y2,x输出为 6121,6121xx为了取出, 输入21,xxx1=xvals1,1,2 x2=xvals2,1,2输出为 61216121这时可以作最后的计算了. 输入 Volume=Integrategx,y-
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