浅谈微积分中的“定”与“不定”.doc
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1、浅谈微积分中的浅谈微积分中的“定定”与与“不定不定”白海清 PB08207229前几天看杂志,里面谈到生活中的一定和不一定:当了博导的,不一定就是众望所归; 没当博导的不一定不学无术。多磨一定是好事,好事不一定多磨。客居异乡者不一定不爱 国;厮守故土的也不全是爱国者。 “实至”不一定“名归” ,欺世往往可以盗名很有哲 理。这使我联想到了微积分.微积分这门课程中概念比较多,涉及的定理公式比较繁琐,于 是也不免有很多“一定”和“不一定” 。于是我综合课本的讲解和课后的习题做了以下一些 总结。 (由于公式比较难输入,我尽量用文字说明。 )一收敛一定有界;有界不一定收敛函数的有界性体现了函数在定义域内
2、取值的特征,而函数的收敛则反映了函数在 某个极限的取值的归一性。例如:y=(-1)n,它在实数范围内是有界的,但它任何地 方都不是收敛的。二可导一定连续;连续不一定可导可导是建立在连续的基础上的;而可导则必须要求函数值的增量和自变量增量 (x)的比值在x0 时极限存在。三x 在闭区间上连续,则它在区间的任意一点连续;f(x)在 x0连续,不一定在它的某 个邻域内连续。前者是显然的。后者可由反例证明其错误性:f(x)=x,当 x 为有理数 f(x)=-x, 当 x 为无理数。四可积一定有界;有界不一定可积。前者课本中有证明,对于后者可举出反例,如 Dirichlet 函数在0,1上是有界但不 可
3、积的(Riemann 可积) 。五f(x)连续,f(x)一定有原函数;f(x)有原函数,f(x)不一定连续。前者是显然的,书上有证明。对于后者,可以举出反例。如:F(x)=x2sin x1(x0);0,(x=0);而 F (x)=f(x)=2xsin-cos,x0;0,x=0;f(x)在 R 内有原x1 x1函数 F(x),但 f(x)不是连续的。事实上,可以证明,有第一类间断点的函数不存 在原函数(用反证法)六连续一定可积;可积不一定连续。同上,前者是书上的定理,后者可举出反例:x0,f(x)=1,它在0,1上是可积但不连续的。七单调一定有反函数;有反函数不一定单调。有反函数只要求 x 和 y 的值一一对应,故函数不一定单调。例如:x0,则 f(x)不一定它在 x0的某个邻域内单增。有反例:f(x)=0,当 x 为有理数 f(x)=x2,当 x 为无理数。通过以上总结,我对各章节的内容有了一些新的理解。数学是一门严谨的学科,结论的 得出不是靠我们主观的臆断,而应当通过严格的论证。虽然有时直觉对启发数学的抽象思 维很有益处,但大多数时候还是需要进行数学分析以便使它上升到理论的高度。最后再引用一句话:“世界上的事只有不一定是一定的,而一定的往往是不一 定的。 ”
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- 浅谈 微积分 中的 不定
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