全概率公式及其应用doc.doc
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1、全概率公式及其应用全概率公式及其应用( (清华大学数学科学系清华大学数学科学系 叶俊叶俊) )命题趋势命题趋势: : 即使是填空题和选择题,只考单一知识点的试题很少,大多数试题是考查 考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识,建立起正确的概率 模型,综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问 题。1.1. 全概率公式和全概率公式和 Bayes 公式公式概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂 事件的概率,全概率公式和 Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件 A,如果能找到一伴随 A 发生的完备事件组
2、,而计算各个的概率,21BBiB与条件概率相对又要容易些,这时为了计算与事件 A 有关的概率,可能)|(iBAP需要使用全概率公式和 Bayes 公式。背景:背景:例如,在医疗诊断中,为了诊断出现症状的患者,到底患了疾病A中的哪一种,可用 Bayes 公式算出在症状的情况下,起因于疾病的B B12,ABi概率,而后按各个后验概率的大小来推断患者患哪种病的可能性P B Ai()P B Ai()最大 完备事件组的理解:完备事件组的理解:所有病因都知道,且没有并发症。定义定义 称事件族为样本空间的一个划分划分(也称为一,21BB,21BB个完备的事件组) ,如果满足且。进而,如还)(jiBBjii
3、iB 1有则称为样本空间的一个正划分正划分。, 2 , 1, 0)(iBPi,21BB一般地,划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和,若划分越细,则相 应的信息更详尽。定理定理 1 (全概率公式全概率公式) 设事件为样本空间的一个正划分,则对任.,21BB何一个事件,有A)()()(1i iiBAPBPAP定理定理 2 (Bayes 公式公式) 设为样本空间的一个正划分,事件满足,21BBA, 则 P A( ) 0)()()()(APBAPBPABPii i若将它与全概率公式结合起来, 就是 Bayes 公式的以下的常用形式(, m) mjjjii i BAPBPBAPBPABP1)()
4、()()()(m, 2 , 1i公式的直观理解:公式的直观理解:如果我们把看成是导致事件发生的各种可能“原因” ,BiA那么,全概率公式告诉我们,事件发生的概率恰好是事件在这些“原因”下发AA生的条件概率的加权平均,其中的权重分别为而已知“结果”找“原因”P Bi()的问题则可以用 Bayes 公式来计算。且告诉我们 “导致”的可能性的大小恰BiA与乘积成比例 )()(ABPBPii2.2. 几个典型的例子几个典型的例子2.12.1 树状图法树状图法 例例 1 1 某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂,甲厂产品占 80%,合格率为 90%,乙厂产品占 10%,合格率为 95%,甲厂产品占 1
5、0%,合格率为 80%。某顾客购买 了一灯泡,求它是合格品的概率。 2.22.2 一般方法(公式法)一般方法(公式法) 例例 2 2 假设有两箱同种零件:第一箱内装 50 件,其中 10 件一等品;第二箱 内装 30 件,其中 18 件一等品。现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两 个零件(取出的零件均不放回) ,试求: (1)先取出的零件是一等品的概率 p; (2)在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 q。 解解 引进下列事件:被挑出的是第 i 箱 (i=1,2)iH=第 j 次取出的零件是一等品(j1,2)jA由条件知21 21)()(HPHP
6、53 2151 11)|(,)|(HAPHAP(1)由全概率公式,知)|()()|()()(2121111HAPHPHAPHPAPp52 53 21 51 21(2) 由条件概率的定义和全概率公式,知)()()|(121 12APAAPAAPq=)|()()|()()(1 22121211 1HAAPHPHAAPHPAP=29301718 21 4950910 2125 .48557. 02951 49941例例 3 采购员要购买 10 个一包的电器元件. 他的采购方法是:从一包中随机抽查 3 个, 如这 3 个元件都是好的,他才买下这一包. 假定含有 4 个次品的包数占 30%,而 其余包中
7、各含 1 个次品. 求采购员拒绝购买的概率。 解解 记BBA1241,取到的是含 个次品的包取到的是含 个次品的包采购员拒绝购买则构成样本空间的一个正划分,且 又由古典概型B B12,P BP B(). ,(). .120307计算知1031)(651)(3 103 9 23 103 6 1CCBAPCCBAP从而由全概率公式得到.5023 103 107 65 103)()()()()(2211BAPBPBAPBPAP例例 4 4 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中 仅装有 3 件合格品,从甲箱中任取 3 件放入乙箱后,试求从乙箱中任取一件产品是
8、次品的 概率。 解 设 A 表示事件 “从乙箱中任取一件产品是次品”, 根据全概率公式, 有 30)()|()(kkXPkXAPAP4163 62 6103 60 33 3 3 61 32 3 3 62 31 3 3 63 30 3CCC CCC CCC CCC2.32.3 首步分析法与末步分析法首步分析法与末步分析法例例 5 (赌徒输光问题赌徒输光问题) 设甲有赌本元, 其对手乙有赌本元每赌一i i 1ai 0次甲以概率赢一元, 而以概率输一元假定不欠不借,赌博一直到甲乙pqp1中有一人输光才结束因此,两个人中的赢者最终有总赌资元 求甲输光的概a 率解解 一般地,我们以记甲有赌本元而最终输光
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