三角函数教案.doc
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1、1回归课本讲义整合回归课本讲义整合一、集合与逻辑一、集合与逻辑1 1、区分集合中元素的形式、区分集合中元素的形式:如:函数的定义域;函数的xyxlg|xyylg|值域;函数图象上的点集,xyyxlg| ),(如:如:(1)设集合,集合 N,则 |3Mx yx2|1,y yxxM_ (答:MN 1,)(2)集合,集合 342xxyxM 3,6,cos3sinxxxyyN(答:)MN 12 2、条件为、条件为,在讨论的时候不要遗忘了,在讨论的时候不要遗忘了的情况的情况BAA如:如:(1)若非空非空集合,则5312/axaxA0)22)(3/(xxxB使得成立的 a 的集合是_ (答:)BAA96
2、a(2)集合 M=N =若NM ,则实数 a,04/2axxx,02/2 xxx的取值范围为_(条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况)BAA(答:)3a(3),如果,求的取值。 (答:a0)012|2xaxxARAa3 3、; ; |BxAxxBA且|BxAxxBA或CUA=x|xU 但 xA;真子集怎定义?如:如:含 n 个元素的集合BxAxBA则 的子集个数为 2n,真子集个数为 2n1; 如:如:满足集合 M 有_个。 (答:7)1,21,2,3,4,5M4 4、C CU U(AB)=C(AB)=CU UACACU UB;B; C CU U(AB)=C(AB)=CU UACACU UB;
3、B; 5 5、AB=AAB=AAB=BAB=BA AB BC CU UB BC CU UA AACACU UB=B=C CU UAB=UAB=U 6 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如:如:(1)若关于的不等式的解集是,则的取值范围是xaxx|1|2|a_(答:)3a2(2)已知函数在区间上至少存在一个12)2(24)(22ppxpxxf 1 , 1实数,使,求实数的取值范围。 (答:)c0)(cfp3( 3, )27 7、原命题、原命题: : ; ;逆命题逆命题: : ; ;否命题否命题: : ;逆否命题;逆否命题:
4、: ;互;互pqqppq qp 为逆否的两个命题是等价的为逆否的两个命题是等价的. . 如:如:(1)“”是“”的 条件。(答:充分非必要条件)sinsin(2)设命题“已知函数,使得,:p0, 1)(002yRxmxxxf00)(yxf命题:“不等式有实数解”,若且为真命题,则实数的取值q229mxpqm范围为_ (答:))3 , 22, 3(8 8、若、若且且; ;则则 p p 是是 q q 的充分非必要条件(或的充分非必要条件(或 q q 是是 p p 的必要非充分条件)的必要非充分条件); ; pqqp如:如:写出“成立”的一个必要而不充分条件_ (答:比范围大即21 x)3 , 1(
5、可)9 9、注意命题、注意命题的否定与它的否命题的区别的否定与它的否命题的区别: : pq命题的否定是;否命题否命题是pqpq pq 命题“p 或 q”的否定是“P 且Q”,“p 且 q”的否定是“P 或Q” 注意:注意:如:如:命题:“若和都是偶数,则是偶数”abba 否命题:“若和不都是偶数,则是奇数”abba 命题的否定:“若和都是偶数,则是奇数”abba 二、函数与导数二、函数与导数1、指数式、对数式指数式、对数式:, ,mnmnaa1m n m na a当为奇数时,;当为偶数时, . nnnaan,0|,0nna aaaa a15lg2lg3,01(0)aalog(0,1,0)b a
6、aNNb aaNbabalog, ,; logaNaN()log()logmn aanbbmlog ()loglogaaaMNMN; logloglogaaaMMNN1logloga bba如:如:的值为_(答:) = (答:1)2log81( )264133)5(lg5lg2lg3)2(lg2 2、一次函数、一次函数:y=ax+b(a0):y=ax+b(a0) b=0b=0 时奇函数时奇函数; ; 3 3、二次函数、二次函数三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(对称轴,a0,顶点);顶点abx2)44,2(2abac ab式 f(x)=a(x-h)2+k;零点式 f(x)=a(x-x
7、1)(x-x2)(对称轴);b=0 偶函数;221xxx区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如:如:(1) 已知函数在区间上有最小值 3,求的 224422aaaxxxf 2 , 0a值 (答:)105 ,21a(2)若函数的定义域、值域都是闭区间,则 (答:42212xxy2 , 2bb2) 实根分布:先画图再研究开口、开口、00、对称轴与区间关系对称轴与区间关系、区间端点函数值符区间端点函数值符 号号;4 4、反比例函数、反比例函数: :平移平移(中心为(b,a) ,对勾函数是奇)0x(xcybxcayxaxy函数,, 上为增函数,在区间时)0(),0(,0a
8、递减,在时)0 ,0(,0aaa递增,在),a,a(5 5、幂、指数、对数函数的图象和性质:、幂、指数、对数函数的图象和性质:(1)若,,0.52a log 3b 22log sin5c 则的大小关系为 (答:)cba,abc(2)设,则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为 1 或 311132a ,ayxRa4(3)不等式的解集是 方程的解是 1) 1lg(x)11, 1 (07369xx)7log3(4)函数的图象和函数的图象的交点个数是 2441( )431xxf xxxx, ,2( )logg xx(答:3 个)(5)、幂函数 y=,当取不同的正数时,在区间0,1上它们的图像是一族美丽
9、的x曲线(如图)设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=,y=的图像三等分,即有xxBM=MN=NA那么,=_ (答:1)(6)、设二元一次不等式组2190 80 2140xy xy xy 所表示的平面区域的图象没有经过域的取值范围 (0xMyaa为,若函数,1)a ,Ma则(答:)9, 21 , 10aaa 6 6、单调性、单调性定义法;导数法. (1)设那么2121,xxbaxx上是增函数;1212()()()0xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.1212()()()0xxf xf xbaxfxxxfxf,
10、)(0)()(2121在(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果)(xfy 0)( xf)(xf,则为减函数.0)( xf)(xf如:如:(1)已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是_ 3( )f xxax1,)a(答:);(,3(2) 函数在上为增函数,则的取值范围为_(答:|)(axxxf), 0 a)0a注意注意:能推出为增函数,但反之不一定。如函数在0)( xf)(xf3)(xxfNMy BAx5上单调递增,但,是是为增函数的充分不必要条件。为增函数的充分不必要条件。),(0)( xf0)( xf)(xf注意注意:函数单调性与奇偶性的逆用吗?(比较大小;解不等式;求参数范
11、围).如:如:已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实)(xf)2 , 2(0) 12() 1(mfmf数的取值范围。(答:)m12 23m复合函数由同增异减判定 图像判定. 作用:比大小,解证不等式. 如:如:(1)函数的单调递增区间是_(答:(1,2))。2 1 2log2yxx(2)若函数在区间内单调递增,则的取) 10)(log)(3aaxxxfa)0 ,21(a值范围是_(答: ) 1 ,437 7、奇偶性:、奇偶性:f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域定义域 含零的奇函数过原点含零的奇函数过原点(f(0)=0);(f(0)
12、=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分 的条件的条件。 如:如:(1)若函数(a为常数)在定义域上为奇函数,则k= (答:2( )12xxkf xk)1k(2)定义在 R 上的偶函数在上是减函数,若,则的)(xf0 ,()2() 1(afafa取值范围是_ (答:)23a(3)已知函数y=f(x),x1,1的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成(如图所示), 则不等式的()( )2 3fxf xx的解集为 (答:))21, 0()21, 1(4)已知函数是定义在 R 上的奇函数,)(xf0) 1 (f,则不等式的解集是
13、(答:0)()(2 xxfxf x)(0x0)(2xfx)), 1 ()0 , 1( 8 8、周期性。、周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: 如:如:已知定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数,则方程在R( )f x( )0f x 上至少有_个实数根(答:5) 2,26(2)由周期函数的定义“函数满足,则是周期为( )f x xafxf(0)a ( )f x 的周期函数”得:a 函数满足,则是周期为 2的周期函数;( )f x xafxf( )f xa若恒成立,则;1()(0)( )f xaaf x2Ta若恒成立,则.1()(0)( )f xaaf x 2Ta如:如:(1) 设是上的奇函数
14、,当时,)(xf),()()2(xfxf10 x,则 等于_(答:);xxf)()5 .47(f5 . 0(2)若是 R 上的偶函数,是 R 上的奇函数,则与的大)(xf) 1( xf)4( xf)(xf小关系为_ (答:))()4(xfxf(3)定义在上的偶函数满足,且在上是减函数,R( )f x(2)( )f xf x 3, 2若是锐角三角形的两个内角,则的大小关系为_ , (sin),(cos)ff(答:)(sin)(cos)ff9、常见的图象变换常见的图象变换 函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右axfy xfy x)0(a平移个单位得到的。)0( aa如如:(1)要得到的图像,只需
15、作关于_轴对称的图像,)3lg(xyxylg 再向_平移 3 个单位而得到(答:;右);y (2)函数的图象与轴的交点个数有_个(答:2)( )lg(2) 1f xxxx函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下 xfy a xfy y)0(a平移个单位得到的;)0( aa函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得 axfy )0(a xfy xa1到的。如:如:(1)将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再( )yf x1 3 将此图像沿轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为_(答:);x(36)fx(2)如若函数是偶函数,则函数的对称轴方程是_(答:(21)yfx(
16、2 )yfx)1 2x 7函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得 xafy )0(a xfy ya 到的. 1010、函数的对称性、函数的对称性满足条件的函数的图象关于直线对称。f xaf bx2abx如:如:已知二次函数满足条件且方程)0()(2abxaxxf)3()5(xfxf有等根,则_ (答:); xxf)()(xf21 2xx点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为( , )x yy(, )x y xfy y;xfy点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为( , )x yx( ,)xy xfy x; xfy点关于原点的对称点为;函数关于原点的对称曲线方程为( , )
17、x y xfy ; xfy点关于直线的对称点为;曲线( , )x yyxa (,)xy( (),)yaxa 关于直线的对称曲线的方程为。( , )0f x y yxa ( (),)0fyaxa 特别地,点关于直线的对称点为;曲线关于直线( , )x yyx( , )y x( , )0f x y 的对称曲线的方程为;点关于直线的对称点为;yx( , )0f y x ( , )x yyx (,)yx曲线关于直线的对称曲线的方程为。( , )0f x y yx (,)0fyx如:如:己知函数,若的图像是,它关于直线33( ),()232xf xxx) 1( xfy1C对称图像是关于原点对称的图像为对
18、应的函数解析式是yx22,CC33,CC 则_(答:);2 21xyx 若 f(ax)f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x=对称;两函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)图2ba 像关于直线 x=对称。2ab 提醒提醒:证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对 称点仍在图像上;如:如:已知函数。求证:函数的图像关于点)(1)(Raxaaxxf)(xf成中心对称图形。( , 1)M a 曲线关于点的对称曲线的方程为。( , )0f x y ( , )a b(2,2)0faxby如:如:若函数与的图象关于点(-2,3)对称,则xxy2)(xgy _(答:))(x
19、g276xx形如的图像是双曲线,对称中心是点。(0,)axbycadbccxd(, )d a c c如:如:已知函数图象与关于直线对称,且图象C2: (1)1C y xaaxayx8关于点(2,3)对称,则a的值为_ (答:2)C(1)的图象先保留原来在轴上方的图象,作出轴下方的图象)(xfy ( )f xxx关于轴的对称图形,然后擦去轴下方的图象得到;xx(2)的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然)( xfy ( )f xyy后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。yy 如:如:(1)作出函数及的图象;2|log (1)|yx2log |1|yx(2)若函数是定义在 R 上的奇函
20、数,则函数的图象)(xf)()()(xfxfxF关于_对称 (答:轴)y 1111、求解抽象函数问题的常用方法是:、求解抽象函数问题的常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 :正比例函数型: -;( )(0)f xkx k()( )( )f xyf xf y幂函数型: -,;2( )f xx()( ) ( )f xyf x f y( )( )( )xf xfyf y指数函数型: -,; ( )xf xa()( ) ( )f xyf x f y( )()( )f xf xyf y对数函数型: -,;( )logaf xx()( )( )f xyf xf y( )( )(
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