44道趣味物理题.doc
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1、有一块 V 字形木板,两侧与地面的夹角都是 。一根密度均匀的绳子放在木板上,绳子与木板之间的摩擦系数为 1 。整个系统左右对称。没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少?此时 是多少度?用一些非常初等的方法可以得到,答案是 (2 - 1)2 0.172 ,此时 = 22.5 。具体解答可以见 http:/star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf 。一个长、宽、高分别为 a 、 b 、 c 的长方体物块,斜靠在一个墙角。由于墙壁和地面都是完全光滑的,因此物块将会开始下滑。什么时候,物块会脱离墙壁?为了解决这个问题,首先需要把物块和地面的夹角记作 ,物块下滑过程中的各
2、种物理量都可以用 来表示。然后,解决这个问题的关键就在于,当物块脱离墙壁时,物块向右的加速度就消失了,这个临界点就由等量关系 dvx / d = 0 给出。不过,由此产生的方程非常复杂,我们只能用数值的方式去解它。有一个半圆柱体横放在水平桌面上,截面的半径为 R 。我们在半圆柱体上放一块木板,试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄,那么这块木板很容易放稳,即使有些小动静,木板也会自动恢复平衡。但考虑另外一个极端,假如这是一块非常厚非常厚的木板(甚至是大楼一般的形状),它显然不能稳放在这个半圆上。那么,这中间一定会有一个临界点。这个临界点在哪里?换句话说,这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板
3、?把半圆的半径记作 R ,把木板的厚度记作 t 。如果把木板平放在半圆上,其重心的高度就是 R + t/2 。假如这块木板倾斜了一个微小的角度 ,那么图中 MT 的长度等于弧 MT 的长度,即 2R(/2) = R 。此时,木板的重心 G 的高度变为了 (t/2)cos + (R)sin + Rcos。为了让木板保持平衡,不会自动往下滑,我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度,即 (t/2)cos + (R)sin + Rcos R + t/2。解出不等式,再令 0 ,即可得到 t 2R。也就是说,一旦木板的厚度超过半圆的直径,木板就无法放稳了。假如你面向东边,站在冰面上,鞋底与冰面完全没有
4、摩擦。你能否做出一系列动作,使得自己最后能面向西边站立?可以。只需要重复“伸臂挥臂屈臂”的动作,你的身体便会向反方向转动一点。期待实验党。用过多年的插座(尤其是插过大功率电器的插座),右边的孔(火线)往往会有过热的迹象。如果是劣质插座,加上经常插拔插头的话,右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。明明是通过相同大小的电流,为什么右边的孔会被烧得更厉害呢?目前,这个问题没有一个所谓的标准答案。当然,这个现象本身是否存在也是存疑的。大家不妨来说说自己家里插座的情况。呼拉圈是怎么转起来的?人应该做一个什么样的运动?呼拉圈的转动频率是由什么决定的?和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗?是否存在一个最优的频率?
5、我有几件事情死活搞不明白,吹泡泡是怎么吹出来的,小舌颤音是怎么发出来的,骑车不动把手是怎么实现拐弯的当然,还有呼拉圈是怎么转起来的。和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。如果你真的把它当成一回事仔细分析,你会发现这不是一般的困难。2004 年, Biological Cybernetics 上发表了一篇长达 15 页的论文,论文题目是 Coordination Modes in the Multi-Segmental Dynamics of Hula-Hooping 。这篇论文终于不负众望,成功地摘得了诺贝尔奖当然,是搞笑版的。投一枚硬币,如果是正面,我就去打球,如果是反面,我就去打游戏,如果
6、立起来,我就去学习。不知道大家第一次看到这个笑话时,有没有想过,如果一枚硬币真的有 1/3 的概率正面朝上,有 1/3 的概率反面朝上,有 1/3 的概率立起来,那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系?这枚硬币必须满足,把它立起来后,即使倾斜 30 度仍然不倒。这样,硬币直立的“势力范围”才会达到 120 度。因此,硬币的直径应该是厚度的 3 倍。考虑某颗星球,它由某种密度均匀的物质组成,其质量为 M ,体积为 V 。如果这颗星球是一个球体,那么它的半径 R = (3V) / (4)1/3,星球表面上的重力加速度则为 g = GM / R2 = GM(4) / (3V)2/3,其中 G 是万
7、有引力常数。考虑这颗星球所有可能的形状,怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大?最大值是多少?下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体,整个图形是一个以 z 方向为轴的旋转体,顶端的 m 点即是重力加速度最大的点,它的重力加速度为 g = (4/5)(15/4)1/32/3M / V2/3,只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。这是又一个经典的例子圆形似乎并不是那么完美。这个问题的解法非常漂亮。首先,假设我们想要让星体表面上的某个点 m 的重力加速度最大,并且所受重力方向在 z 轴上,那么这个星体必然是沿 z 轴方向对称的。否则,取出不对
8、称的一层,把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘,这将会让 m 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿 z 轴完全对称,显然就得到了一个更优的形状。接下来的步骤就真的神了。现在,在星体上取一个非常细的圆环,假设它的质量是 dM 。那么,这个圆环所贡献的重力加速度大小就是 GdMcos /r2 。如果把这个圆环从星体中挖掉,放到其它的位置上,那么新的圆环将会有新的 r 值和 值。当整个形状达到最优时,这个形状将位于“极值点”的位置,也就是说它的“微分”为 0 ,任何微小的变动都不会改变 m 的加速度。这就意味着, cos / r2 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状
9、。Fermat 光程最短原理指出,光从 A 点到 B 点,总是沿着最快的路径传播。这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。不过,后来我们知道了,更一般的描述应该是,光总是沿着光程处于驻点的路径传播。为什么会加上这一条?有没有光程极大的例子呢?这里有一个例子。考虑椭圆内的两个焦点 A 、 B ,和椭圆上的一点 M 。显然,不管 M 取在哪儿, AM + BM 都是相同的。现在,在椭圆内部画一条曲线,这条曲线与椭圆相切于 M 点。然后,擦掉原来的椭圆,把这条曲线视作镜面。显然, AMB 仍然是一条反射光线,但从其它地方反射,光程都会小于 AMB 。 AMB 是一个光程
10、极大的路径。物理量的单位总是由基本单位(质量、长度、时间等)的幂相乘得来的。比如,能量的单位就是 1J = kgm2s-2 。为什么没有什么物理量,它是由基本单位通过更复杂的形式导出的?比如说,为何没有什么物理量,它的单位是 sin(kg)log(m) ?这是一个非常有趣,无疑也是非常深刻的问题。它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题:什么是物理量?什么是物理单位?我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。网站上的标准答案是,只有这种形式的导出单位才能保证,在不同的单位制下,得到的导出单位是等价的。具体地说,物理单位的作用就是用来描述,当各个基本单位的尺度变化以后,这个物理
11、量会发生怎样的变化。比如说,密度单位是质量除以长度的三次方,就表明如果质量扩大到原来的 2 倍(或者说单位量变成了原来的 1/2 ),长度扩大到原来的 4 倍(或者说单位量变成了原来的 1/4 ),那么这个物理量将会变成原来的 2/43 = 1/32 。现在,假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。按照国际标准单位制,这个单位是 sin(kg)log(m) 。假如单位换成了 sin(g)log(cm) ,那么这个物理量将会变成原来的 sin(1000)log(100) 3.80792 。再继续换算成 sin(mg)log(mm) ,物理量应该继续变成原来的 sin(1000)log(1
12、0) 1.90396 。但是,如果从 sin(kg)log(m) 直接变到 sin(mg)log(mm) ,物理量应该变成原来的 sin(1 000 000)log(1000) -2.41767 ,这就和前面的结果矛盾了。利用一些微积分知识可以证明,如果一个合成物理单位不会出现这样的问题,它必然是基本单位的幂的乘积的形式。不过,这个解释并不能让我十分满意。大家怎么看呢?有一个无穷大的正方形网格,每条小线段都是 1 的电阻丝。求相邻两点间的等效电阻阻值。这个问题有一个很妙的解法。假设一个大小为 1A 的电流从红点处流入,从各个无穷远处流出。由对称性,有 (1/4)A 的电流将会流过红蓝两点之间的
13、线段。现在,再假设一个大小为 1A 的电流从各个无穷远处流入,从蓝色点流出。由对称性,红蓝两点之间的线段仍然有 (1/4)A 的电流。现在,把两种情况叠加在一起看,大小为 1A 的电流从红点进去从蓝点出来,那么,红蓝两点间的线段就有 (1/2)A 的电流。因而,两点间的电压就是 (1/2)A1 = (1/2)V 。因而两点间的等效电阻就是 (1/2)V / 1A = (1/2)。说到无穷网格电阻的问题,我们有说不完的话题。这个问题本身的扩展非常之多。例如,我们可以把问题扩展到 N 维的情形:N 维无限电阻网格中,相邻两点的等效电阻是多少?利用同样的方法可以得出,答案就是 1/N。回到二维情形,
14、如果我们换一个扩展方向,改问对角两点间的电阻,上述分析方法就不行了。而这个加强版问题的答案也更加玄妙:两点间的阻值为 (/2) 。大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。xkcd 有一个经典漫画,形象地描绘出 nerd 们被数理趣题折磨的感受。当然,这幅画本身也折磨了不少人,网上涌现出大量对这个问题的讨论。还有一种经典的无穷电阻问题:一个向右无穷延伸的梯子形网格,每条线段都是 1 的电阻,求两点间的等效电阻。问题的解法非常漂亮。假设我们要求的答案是 R,则 R 可以看作是三个 1 的电阻串联,然后把一个阻值为 R 的电阻(也就是它本身)与中间那个 1 电阻并联所得。于是得到等量关系 R
15、 = 1 + 1/(1+1/R) + 1,解得 R = 1 + 3。还有一些经典的求电阻问题。其中一个问题是,一个正方体的 12 条棱上各有一个 1 的电阻,求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。 2007 年 10 月份 IBM Ponder This 的题目则是,分别考虑五种正多面体,如果每条棱上各有一个 1 的电阻,则相邻两顶点的等效电阻是多少?巧妙地利用对称性,这几个问题都可以迅速被秒杀。假设有一个圆锥形的冰山,冰山表面绝对光滑。你打算把一个绳圈套在山尖上,然后沿着绳索爬上去。考虑两个极端情况:如果冰山特别尖,顶角特别小,这个计划自然不成问题;但若冰山特别“肥”,顶角特别大,向下拉绳子后
16、,绳圈将会滑出山尖。这中间一定有一个临界点,也就是绳圈掉不出来的最大顶角。这个顶角是多大?这是一个非常有趣的问题。问题的本质就是,绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。容易想到,绳子被拉紧,意味着绳圈从 A 点出发,将沿最短路径绕过山尖一周,再回到 A 点。如果把圆锥的侧面展开成扇形,绳圈其实就像下面这样(图中的 A 点和 A 点在圆锥上是同一个点)。显然,当这个扇形的顶角小于 180 度时,这样的绳圈才可能存在;而当这个扇形的顶角大于 180 度时,拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。据此不难推出,所求的临界情况就是,圆锥的高与母线的夹角为 30 度。n 块相同的木板重叠,最多能够伸出桌
17、面多远?这是一个非常经典的问题。传统的答案是,把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘,把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘,把这三块木板的重心放在第四块木板的右边缘利用杠杆原理可以推出,如果每块木板都是单位长,那么 n 块木板可以伸出桌面 (1 + 1/2 + 1/3 + + 1/n) / 2 个单位的长度。由调和级数的性质,我们立即可以得知,只要木板数量足够多,木块伸出桌面的长度是没有上界的,想伸出去多长就能伸出去多长。但同时,这个增长速度也非常缓慢 20 块木板只能伸出大约 1.79887 个单位的长度, 1000 块木板也只能伸出大约 4.8938 个单位的长度。不过,采用一些其它
18、的方案(比如拿几块木板在后方作为“配重”),我们可以让木板伸出的长度更远。下面是一篇非常经典的论文,总结了目前对这个问题的研究结果: http:/arxiv.org/abs/0707.0093 。上楼时,人克服重力做功,需要耗费很多能量。但是,在平地上行走时,人并没有做功。那么,为什么我们走路时还要耗费能量呢?1999 年 3 月的 Scientific American 上说到,其实在步行时,我们也是要克服重力做功的。这是因为,在步行的过程中,人的重心会一上一下地摆动。当两腿一前一后着地时,人的重心偏低;而单腿着地迈步时,人的重心会升高大约 3cm 。我们走路的能量主要就消耗在了这里。当然,
19、事实上,即使人不走路,光是原地站着,也是要耗费能量的(大约为 80W )。假设人的步行速度是 v ,那么步行所用的能量可以用公式 P = 80W + Kv 大致算出,其中 Kv 就是步行过程中耗费的能量,系数 K 大约为 160N 。教中学物理最怕聪明孩子,一些古怪的问题常常会让老师也支支吾吾答不上来。初中物理中,有几个最不好给学生解释的事情。走路不做功,为什么还要耗费能量?电流从电厂来又回到电厂去,为什么我们还要支付电费?把装满水的水杯不盖纸片直接倒过来,为什么大气压没有把水支撑起来?拳头打在墙上后将会受到墙给拳头的反作用力,但若拳头挥空了,这个力的反作用力是什么?你都打算怎么解释?橄榄油的
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