2001年数学三真题答案解析.pdf
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1、12001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】【使用概念】设 yf x在x处可导,且 0f x ,则函数y关于x的弹性在x处的值为 EyxxyfxExyf x【详解】由QAL K,当1Q 时,即1AL K,有1,KAL于是K关于L的弹性为:EKELLKK11dALLdLAL111ALLAL (2)【答案】11.22tW【详解】tW表示第t年的工资总额,则1tW表示第1t 年的工资总额,再根据每年的工资总额比上一年增加20的基础上再追加2百万,所以由差分的定义可得tW满足的差分方程是:11(120)21.22tt
2、tWWW(3)【答案】-3【详解】方法方法1:由初等变换(既可作初等行变换,也可作初等列变换).不改变矩阵的秩,故对A进行初等变换111111111111kkAkk11111001( 1)2,3,410101001kkkkkkk 行分别加到行2311101002,3,400100001kkkk 列分别加到1列可见只有当k =3时,r(A)=3.故k =3.方法方法2:由题设r(A)=3,故应有四阶矩阵行列式0A .由111111111111kkAkk11111001( 1)2,3,410101001kkkkkkk 行分别加到行311101002,3,400100001kkkk列分别加到1列3(
3、3)(1)0,kk解得k =1或k = 3.当k =1时,1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A111100001( 1)2 3 400000000 行分别加到 , ,行可知,此时r(A)=1,不符合题意,因此一定有k =3.(4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为:2()()D XP XE X期望和方差的性质:()E XYEXEY;()2cov(, )D XYDXX YDY【详解】 把XY看成是一个新的随机变量,则需要求出其期望和方差.故()220E XYEXEY 又相关系数的定义:cov(, )(, )X YX YDXDY则cov(, )(, )( 0.5)
4、141X YX YDXDY ()2cov(, )12 ( 1)43D XYDXX YDY 所以由切比雪夫不等式:32()316()663612D XYP XYP XYE XY(5)【答案】F;(10,5)【所用概念】1.F分布的定义:12XnFYn其中21()Xn22()Yn2.2分布的定义: 若1,nZZ相互独立, 且都服从标准正态分布(0,1)N, 则221( )niiZn3. 正态分布标准化的定义:若2( ,)ZN u,则(0,1)ZuN【详解】因为2(0,2 )1,2,15iXNi ,将其标准化有0(0,1)22iiXXN,从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5
5、),2222XXXX由样本的独立性可知,2210122XX与22151122XX相互独立.故,根据F分布的定义22101221102222111515112210(10,5).2225XXXXYFXXXX故Y服从第一个自由度为10,第二个自由度为5的F分布.二、选择题二、选择题(1)【答案】 B【详解】方法方法1:由( )lim1,xafxxa 知lim( )xafx( )limxafxxaxa( )limlimxaxafxxaxa1 0 0又函数( )f x的导数在xa处连续,根据函数在某点连续的定义,左极限等于右极限等于函数在这一点的值,所以( )0fa,于是有4( )( )( )( )l
6、imlim1,xaxafxfafxfaxaxa 即( )0fa,( )10fa ,根据判定极值的第二充分条件:设函数( )f x在0 x处具有二阶导数且0()0fx,0()0fx,当0()0fx时,函数( )f x在0 x处取得极大值. 知xa是( )f x的极大值点,因此,正确选项为(B).方法方法2:由( )lim1,xafxxa 及极限保号性定理:如果 0limxxf xA,且0A (或0A),那么存在常数0,使得当00 xx时,有 0f x (或 0f x ),知存在xa的去心邻域,在此去心邻域内( )0fxxa.于是推知,在此去心邻域内当xa时( )0fx; 当xa时( )0.fx又
7、由条件知( )f x在xa处连续, 由判定极值的第一充分条件:设函数( )f x在0 x处连续,且在0 x的某去心领域内可导,若00,xxx时,( )0fx,而00,xxx时,( )0fx,则( )f x在0 x处取得极大值,知( )f a为( )f x的极大值. 因此,选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g(x)的表达式.当01x时,21( )(1)2f xx,有( )g x 0 xf u du201(1)2xudu3001162xxuu311,62xx当12x时,1( )(1)3f xx,有0( )( )xg xf u du101( )( )xf u duf u du12011
8、1(1)(1)23xuduudu1132010111116263xxuuuu221136x即3211,0162( )211,1236xxxg xxx因为311112lim( )lim623xxg xxx,211212lim( )lim1363xxg xx,5且2212(1)1 1363g,所以由函数连续的定义,知( )g x在点1x 处连续,所以( )g x在区间0,2内连续,选(D).同样,可以验证(A)、(B)不正确,01x时,321111( )06222g xxxx,单调增, 所以(B)递减错; 同理可以验证当12x时,2211( )110363g xxx,单调增,所以 02gg xg,
9、即 506g x与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】(C)【详解】由所给矩阵,A B观察,将A的2,3列互换,再将A的1,4列互换,可得B. 根据初等矩阵变换的性质,知将A的2,3列互换相当于在矩阵A的右侧乘以23E,将A的1,4列互换相当于在矩阵A的右侧乘以14E,即2314AE EB,其中231000001001000001E,140001010000101000E由题设条件知114223,PEPE,因此21BAP P.由于对初等矩阵ijE有,1ijijEE,故111122,PP PP.因此,由21BAP P,及逆矩阵的运算规律,有111111211212BAP PP P APP A.(4
10、)【答案】()D【详解】由题设,A是n阶矩阵,是n维列向量,即T是一维行向量,可知0TA是1n阶矩阵. 显然有秩0TA秩( )A1,nn即系数矩阵0TA非列满秩, 由齐次线性方程组有非零解的充要条件:系数矩阵非列或行满秩,可知齐次线性方程组600TAXy必有非零解.(5) 【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上,所以XYn,从而YnX,故()DYD nXDX由方差的定义:22()DXEXEX, 所以22()()()DYD nXE nXE nX222(2)()E nnXXnEX222222()nnEXEXnnEXEX22()EXEXDX)由协方差的性质:cov(, )0X c (
11、c为常数);cov(,)cov(, )aX bYabX Y1212cov(, )cov(, )cov(, )XXYX YXY)所以cov(, )cov(,)cov(, )cov(,)0X YX nXX nX XDXDX 由相关系数的定义,得cov(, )(, )1X YDXX YDXDYDXDX 三【变限积分求导公式】( )( ) ( )( )f xxag t dtg f xfx【详解】 根据复合函数求导公式,有.duff dyf dzdxxy dxz dx(*)在2xyexy两边分别对x求导,得()()0,xydydyeyxyxdxdx即.dyydxx 在0sinx zxtedtt两边分别对
12、x求导,得sin()(1),xxzdzexzdx即()1.sin()xdzexzdxxz 将其代入(*)式,得dudxff dyf dzxy dxz dx()1.sin()xfy fexzfxxyxzz7四 【详解】因为1lim(1)xxexlim()xxxcxc2lim()xxxccxc (把xc写成2xcc )222lim()x ccxc x cxxccxc (把x写成22x ccxcx c)222lim (1)cxx cx ccxcxc(利用幂函数的性质()mnmnaa)222ln (1)limcxx cx cccx cxe(利用对数性质ln( )( )f xef x)222ln (1)
13、limx cccxcx cx cxe(利用对数性质( )ln( )( )ln( )g xf xg xf x)222limln (1)x ccxcxcx cx ce(利用xye函数的连续性,lim( )( )limxf xf xxee)222limlim ln (1)x ccxxcxcx cx ce(当各部分极限均存在时,lim( )( )lim( ) lim ( )xxxf xg xf xg x)222limln lim (1)x ccxxcxcx cx ce(利用lnyx函数的连续性,limln ( )lnlim ( )xxf xf x)2 lncee(利用1lim(1)xxex)2ce(l
14、n1e )又因为( )f x在, 内可导,故在闭区间1, xx上连续,在开区间(1, )xx内可导,那么又由拉格朗日中值定理,有( )(1)( )(1)( ),1f xf xfxxfxx 左右两边同时求极限,于是lim ( )(1)lim( )xxf xf xfe,因为1xx ,x趋于无穷大时,也趋向于无穷大由题意,lim()lim ( )(1),xxxxcf xf xxc从而2cee,故12c 8五 【详解】 积分区域如图所示,可以写成11,1yyx 222211()()221,xyxyDDDyxedxdyydxdyxyedxdy其中,111112(1);3yDydxdydyydxyy dy
15、 221()2xyDxyedxdy22111()21xyyydyxedx22111()2211()2xyyydyedx22111()22211 ()2xyyydyedxy2211(1)21()yyeedy2211(1)2211()2yyeedy22111(1)222111122yyedye dy22111(1)2221111 (1)22yyedye dy22111(1)21112yyee0于是221()2213xyDyxedxdy 六【详解】方法方法1:依题意知,抛物线如图所示,令2()0ypxqxx pxq,求得它与x轴交点的横坐标为:120,.qxxp 根据定积分的定义,面积S为32322
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