2000考研数一真题及解析.pdf
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1、 2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题数学一试题 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,满分分,满分 15 分,把答案填在题中横线上分,把答案填在题中横线上) (1) 1202xx dx (2) 曲面2222321xyz在点1, -2, 2的法线方程为 (3) 微分方程 3 0 xyy的通解为 (4) 已知方程组12312112323120 xaxax 无解,则a (5) 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19 , A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则( )P A = 二二、选择题、选择题(本题共
2、本题共 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 15 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设( ), ( )f x g x是恒大于零的可导函数,且( ) ( )( ) ( )0,fx g xf x g x则当axb 时,有 ( ) (A)( ) ( )( ) ( )f x g bf b g x (B) ( ) ( )( ) ( )f x g af a g x (C)( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b (D) ( ) (
3、)( ) ( )f x g xf a g a (2) 设22221:(0),S xyza zS为S在第一卦限中的部分,则有 ( ) (A)14SSxdSxdS (B)14SSydSxdS (C)14SSzdSxdS (D)14SSxyzdSxyzdS (3) 设级数1nnu收敛,则必收敛的级数为 ( ) (A)11.nnnun (B)21.nnu (C)2121().nnnuu (D)11().nnnuu (4) 设n维列向量组1,()mmn线性无关, 则n维列向量组1,m线性无关的充分必要条件为 ( ) (A) 向量组1,m可由向量组1,m线性表示. (B) 向量组1,m可由向量组1,m线性
4、表示. (C) 向量组1,m与向量组1,m等价. (D) 矩阵1,mA与矩阵1,mB等价. (5) 设二维随机变量 ,X Y服从二维正态分布,则随机变量XY与XY不相关的充分必要条件为 ( ) (A) ()( ).E XE Y (B) 2222()()()( ) .E XE XE YE Y (C) 22()().E XE Y (D) 2222()()()( ) .E XE XE YE Y 三、三、(本题满分本题满分5分分) 求1402sinlim.1xxxexxe 四、四、(本题满分本题满分6分分) 设,xxzfxygyy其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数, 求2.zx y 五、五、
5、(本题满分本题满分6分分) 计算曲线积分22,4LxdyydxIxy其中L是以点1,0为中心, R为半径的圆周R 1,取逆时针方向. 六、六、(本题满分本题满分7分分) 设对于半空间0 x内任意的光滑有向封闭曲面S, 都有2( )( )0,xSxf x dydzxyf x dzdxe zdxdy 其中函数( )f x在(0, + )内具有连续的一阶导数,且0lim( )1,xf x= 求( )f x. 七、七、(本题满分本题满分6分分) 求幂级数113( 2)nnnnxn 的收敛区域,并讨论该区间端点处的收敛性. 八、八、(本题满分本题满分7分分) 设有一半径为R的球体,0P是此球的表面上的一
6、个定点,球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比(比例常数0k ),求球体的重心位置. 九、九、(本题满分本题满分6分分) 设函数( )f x在0,上连续,且00( )0,( )cos0,f x dxf xxdx试证:在(0, )内至少存在两个不同的点12, 使12( )()0.ff 十、十、(本题满分本题满分6 分分) 设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A且113 ,ABABAE其中E为4 阶单位矩阵,求矩阵B. 十一、十一、(本题满分本题满分8分分) 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练
7、工补齐,新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为,nxny记成向量nnxy. (1) 求11nnxy与nnxy的关系式并写成矩阵形式:11;nnnnxxAyy (2) 验证1241,11 是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值; (3) 当111212xy 时,求11.nnxy 十二、十二、(本题满分本题满分8分分) 某流水生产线上每个产品不合格的概率为01pp,各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X , 求X的数学期望 XE和方差 XD. 十三、十三、(
8、本题满分本题满分8分分) 设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2,( ; )0, xexf xx 其中0为未知参数,又设12,nx xx是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值. 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】4 【详解】11220021 (1)Ixx dxxdx 解解法法 1: 用换元积分法: 设1 sinxt , 当0 x时,sin1t , 所以下限取2; 当1x时,sin0t ,所以上限取0. 所以 1 sin02cosxtIcosttdt 由于在区间,02,函数cost非负,则
9、 022202coscos4Itdtt 解法解法 2:由于曲线2221 (1)yxxx是以点(1,0)为圆心,以 1 为半径的上半圆周,它与直线1x和0y 所围图形的面积为圆面积的14,故答案是4 (2)【答案】122.146xyz 【详解】曲面方程( , , )0F x y z 在点),(000zyx的法矢量为: 000000000(,),(,),(,)xyznF x y zF x y zF x y z 令222( , , )2321,F x y zxyz 则有 1, -2, 21, -2, 21, -2, 2 1, -2, 22 |2, 1, -2, 24 |8, 1, -2, 26 |1
10、2.xyzFxFyFz 所以曲面在点(1, 2,2)处的法线方程为:122.2812xyz 即 122.146xyz (3)【答案】122CyCx 【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程,属于( ,)yf x y型的微分方程. 【详解】令py,有dpydx.原方程化为:30dpxpdx,30dppdxx 分离变量: 3dpdxpx 两端积分: 13ln3lndpdxpxCpx 从而 111133ln3ln31x CxCCCpee eexex 因120CCe记是大于零的任意常数,上式可写成 23Cpx ; 记32CC ,33Cpx,便得方程的通解33pC x, 即 3333dyC xdyC x d
11、xdx,其中3C是任意常数 对上式再积分,得: 3235334452,22CCCyC x dxxCCCx 所以原方程的通解为: 122CyCx (4)【答案】1. 【详解】化增广矩阵为阶梯形,有 1211121123230111200231aaaa 121101100(3)(1)3aaaa 当a = 1时,系数矩阵的秩为2,而增广矩阵的秩为3,根据方程组解的判定,其系数矩阵与增广矩阵的秩不同,因此方程组无解. 当a = 3时,系数矩阵和增光矩阵的秩均为2,由方程组解的判定,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,而且小于未知量的个数,所以方程组有无穷多解. (5)【答案】2 3(由,A B独立的定义:(
12、)( ) ( )P ABP A P B) 【详解】由题设,有1(), ()()9P ABP ABP AB 因为A和B相互独立,所以A与B,A与B也相互独立. 于是由 ()(),P A BP AB 有( ) ( )( ) ( )P A P BP A P B 即有 ( ) 1( )1( )( )P AP BP A P B, 可得 ( )( )P AP B,( )( )P AP B 从而 221()( ) ( )( )1( ),9P ABP A P BP AP A 解得 2( ).3P A 二、选择题二、选择题 (1)【答案】A 【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数. 题
13、设中已知( ) ( )( ) ( )0,fx g xf x g x 想到设函数为相除的形式( )( )f xg x. 【详解】 设( )( )( )f xF xg x,则2( ) ( )( ) ( )( )0,( )fx g xf x g xF xgx 则( )F x在axb时单调递减,所以对axb ,( )( )( )F aF xF b,即 ( )( )( )( )( )( )f af xf bg ag xg b 得 ( ) ( )( ) ( ),f x g bf b g xaxb,( )A为正确选项. (2)【答案】C 【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有: 性质性质 1:设(
14、 , , )f x y z在分块光滑曲面S上连续,S关于yoz平面对称,则 10( , , )( , , )2( , , )( , , )SSf x y zxf x y z dSf x y z dSf x y zx若关于 为奇函数若关于 为偶函数 其中10SSx. 性质性质 2:设( , , )f x y z在分块光滑曲面S上连续,S关于xoz平面对称,则 10( , , )( , , )2( , , )( , , )SSf x y zyf x y z dSf x y z dSf x y zy若关于 为奇函数若关于 为偶函数 其中10SSy. 性质性质 3:设( , , )f x y z在分块
15、光滑曲面S上连续,S关于xoy平面对称,则 10( , , )( , , )2( , , )( , , )SSf x y zzf x y z dSf x y z dSf x y zz若关于 为奇函数若关于 为偶函数 其中10SSz. 【详解】 方法方法 1:直接法: 本题中S在xoy平面上方, 关于yoz平面和xoz平面均对称, 而( , , )f x y zz对, x y均为偶函数,则 112024SSxSzdSzdSzdS性质性质 又因为在1S上将x换为y,y换为z,z换为x,1S不变(称积分区域1S关于, ,x y z轮换对称),从而将被积函数也作此轮换变换后,其积分的值不变,即有 11
16、1444SSSzdSxdSydS. 选项( )C正确. 方法方法 2:间接法(排除法) 曲面S关于yoz平面对称,x为x的奇函数, 所以0SxdS ,而1SxdS中0 x 且仅在yoz面上0 x ,从而10SxdS ,( )A不成立. 曲面S关于zox平面对称,y为y的奇函数,所以0SydS ,而10SxdS ,所以( )B不成立. 曲面S关于zox平面对称,xyz为y的奇函数, 所以0SxyzdS , 而10Sx y z d S,所以()D不成立. (3)设级数1nnu收敛,则必收敛的级数为 ( ) (A)11.nnnun (B)21.nnu (C)2121().nnnuu (D)11().
17、nnnuu 【答案】D 【详解】 方法方法 1:直接法. 由1nnu收敛,所以11nnu也收敛.由收敛级数的性质(如果级数1nnu、1nnv分别收敛于s、,则级数1nnnuv也收敛,且其和为s). 知11111nnnnnnnuuuu. 选项()D成立. 方法方法 2:间接法. 找反例: ( )A:取1( 1)ln(1)nnun ,级数1nnu收敛,但111( 1)( 1)ln(1)nnnnnunnn是发散的; (关于上述结束的敛散,有下述结果: 111(1)ln (1)1pnpnnp收敛当当发散) ( )B:取( 1)nnun,级数1nnu收敛,2111nnnun发散; ( )C:取1( 1)
18、nnun,级数1nnu收敛,但 212114112122 (21)nnnuunnnnn 由比较审敛法的极限形式知,级数2121()nnnuu发散. (4)【答案】(D) 【详解】用排除法. (A)为充分但非必要条件:若向量组1,m可由向量组1,m线性表示,则一定可推导1,m线性无关, 因为若1,m线性相关, 则1,mrm于是1,m必线性相关,矛盾. 但反过来不成立,如当m =1时,11(1,0) ,(0,1)TT均为单个非零向量是线性相关的,但1并不能用1线性表示. (B)为既非充分又非必要条件:如当m = 1时,考虑11(1,0) ,(0,1)TT均线性无关,但并不能由1线性表示,必要性不成
19、立;又如11(1,0) ,(0,0) ,TT可由1线性表示, 但1并不线性无关,充分性也不成立. (C)为充分但非必要条件:若向量组1,m与向量组1,m等价,由1,m线性无关知,11,mmrrm 因此1,m线性无关,充分性成立;当m = 1时,考虑11(1,0) ,(0,1)TT均线性无关,但1与1并不是等价的,必要性不成立. (D) 剩下(D)为正确选项. 事实上, 矩阵1,mA与矩阵1,mB等价 r A=r B11,mmrrm 因此是向量组1,m线性无关的充要条件. (5)【答案】B. 【详解】和不相关的充分必要条件是它们的相关系数 ,0CovDD ,0Cov 由协方差的性质:cov(,)
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