2008考研数一真题及解析.pdf
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1、 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:一、选择题:18 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数20( )ln(2)xf xt dt,则( )fx的零点个数( ) A0 B1 C2 D3 (2) 函数( , )arctanxf x yy在点(0,1)处的梯度等于( ) Ai B -i C j D j (3) 在下列微分方程中,以123
2、cos2sin2xyCeCxCx(123,C C C为任意常数)为通解的是( ) A440yyyy. B440yyyy. C440yyyy. D440yyyy. (4) 设函数( )f x在(,) 内单调有界, nx为数列,下列命题正确的是( ) A若 nx收敛,则()nf x收敛. B若 nx单调,则()nf x收敛. C若()nf x收敛,则 nx收敛. D若()nf x单调,则 nx收敛. (5) 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,满足30A ,则( ) AEA不可逆,EA不可逆. BEA不可逆,EA可逆. CEA可逆,EA可逆. DEA可逆,EA不可逆. (6) 设A为 3 阶实对
3、称矩阵, 如果二次曲面方程( , , )1xx y z A yz在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为( ) A0. B1. C2. D3. (7) 设随机变量,X Y独立同分布,且X分布函数为 F x,则max,ZX Y分布函数为( ) A 2Fx. B F x F y. C 211F x. D 11F xF y. (8)设随机变量0,1XN,1,4YN,且相关系数1XY,则( ) A 211P YX . B211P YX. C211P YX . D211P YX. 二、填空题:二、填空题:9-14 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定
4、位置上分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 微分方程0 xyy满足条件 11y的解是y . (10) 曲线sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为. (11) 已知幂级数02nnnax在0 x处收敛,在4x 处发散,则幂级数03nnnax的收敛域为. (12) 设曲面是224zxy的上侧,则2xydydzxdzdxx dxdy. (13) 设A为 2 阶矩阵,12, 为线性无关的 2 维列向量,12120,2AA, 则A的非零特征值为. (14) 设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布,则2P XEX. 0 x y z 三、解答题:三、解答题:1523 小题,共小题,共 94 分分.
5、请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 9 分) 求极限40sinsin sinsinlimxxxxx (16)(本题满分 9 分) 计算曲线积分2sin221Lxdxxydy,其中L是曲线sinyx上从点0,0到点,0的一段. (17)(本题满分 11 分) 已知曲线22220:35xyzCxyz,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点. (18)(本题满分 10 分) 设 fx是连续函数, (I) 利用定义证明函数 0 xF xf t dt可导,且 Fxf x. (II
6、) 当 fx是以2 为周期的周期函数时, 证明函数 2002xG xf t dtxf t dt也是以 2 为周期的周期函数 (19)(本题满分 11 分) 21f xx 0 x展开成(以2为周期的)余弦级数, 并求级数1211nnn的和。 (20)(本题满分 10 分) TTA,, 是三维列向量,T为的转置,T为的转置 (I) 证( )2r A ; (II) 若, 线性相关,则( )2r A . (21)(本题满分 12 分) 设矩阵2221212n naaaAaa, 现矩阵A满足方程AXB, 其中1,TnXxx,1,0,0TB , (I) 求证1nAna (II) a为何值,方程组有唯一解,
7、求1x (III) a为何值,方程组有无穷多解,求通解 (22)(本题满分 11 分) 设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为11,0,13P Xii ,Y的概率密度为 1010Yyfy其它,记ZXY (I) 求102P ZX (II) 求Z的概率密度 (23)(本题满分 11 分) 设12,nXXX是总体为2( ,)N 的简单随机样本.记11niiXXn, 2211()1niiSXXn,221TXSn (I) 证 T是2的无偏估计量. (II) 当0,1时 ,求DT. 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学一一试题试题解析解析 一、选择题一、选择题 (1
8、)【答案】B 【详解】2( )ln(2) 2fxxx,(0)0f ,即0 x是( )fx的一个零点 又2224( )2ln(2)02xfxxx,从而( )fx单调增加((,)x ) 所以( )fx只有一个零点. (2)【答案】A 【详解】因为2211xyfxy ,2221yx yfxy ,所以(0,1)1xf ,(0,1)0yf 所以 (0,1)10f gradiji (3)【答案】D 【详解】由微分方程的通解中含有xe、cos2x、sin2x知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2rri ,所以特征方程为(1)(2 )(2 )0rri ri,即32440rrr. 故以已知函数为通解的微分方程
9、是440yyyy (4)【答案】B 【详解】因为( )f x在(,) 内单调有界,且 nx单调. 所以 ()nf x单调且有界. 故 ()nf x一定存在极限 (5)【答案】C 【详解】23()()EA EAAEAE,23()()EA EAAEAE 故,EA EA均可逆 (6)【答案】B 【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面,其方程为2222221xyzabc,即二次型的标准型 为222222xyzfabc,而标准型的系数即为A的特征值. (7)【答案】A 【详解】 2max,ZFzP ZzPX YzP Xz P YzF z F zFz (8)【答案】D 【详解】 用排除法. 设YaXb, 由1
10、XY, 知道,X Y正相关, 得0a, 排除 A、 C 由(0,1),(1,4)XNYN,得0,1,EXEY 所以 ( )()E YE aXbaEXb01,ab 所以1b. 排除 B. 故选择D 二、填空题二、填空题 (9) 【答案】1 x 【详解】由dyydxx,两端积分得1lnlnyxC,所以1C xy,又(1)1y,所以1yx. (10) 【答案】1yx 【详解】设( , )sin()ln()F x yxyyxx,则1cos()11cos()xyyxyFdyyxdxFxxyyx , 将(0)1y代入得01xdydx,所以切线方程为10yx ,即1yx (11)【答案】(1,5 【详解】幂
11、级数0(2)nnnax的收敛区间以2x 为中心,因为该级数在0 x处收敛,在4x 处发散,所以其收敛半径为 2,收敛域为( 4,0,即222x 时级数收敛, 亦即0nnna t的收敛半径为 2,收敛域为( 2,2. 则0(3)nnnax的收敛半径为 2,由232x 得15x,即幂级数0(3)nnnax的收敛域为(1,5 (12)【答案】4 【详解】加221:0(4)zxy的下侧,记与1所围空间区域为,则 2xydydzxdzdxx dxdy 1122xydydzxdzdxx dxdyxydydzxdzdxx dxdy 2222222441()0()2xyxyydxdydzx dxdyxy dx
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