2015考研数一真题及解析.pdf
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1、1 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合只有一个选项符合题目要求的题目要求的,请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. (1)设函数( )f x在, 内连续,其中二阶导数( )fx的图形如图所示,则曲线( )yf x的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xy
2、aybyce的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1 abc (B) 3,2,1 abc (C) 3,2,1 abc (D) 3,2,1abc (3) 若级数1nna条件收敛,则 3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 (4) 设D是第一象限由曲线21xy ,41xy 与直线yx,3yx围成的平面区域,函数,f x y在D上连续,则,Dfx y dxdy ( ) 2 (A) 13sin2142sin2cos , sindf rrrdr (B)1sin23142sin2cos , si
3、ndf rrrdr (C) 13sin2142sin2cos , sindf rrdr (D) 1sin23142sin2cos , sindf rrdr (5) 设矩阵21111214Aaa,21bdd,若集合1,2 ,则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) ,ad (B) ,ad (C) ,ad (D) ,ad (6)设二次型123,f x x x 在正交变换为xPy 下的标准形为2221232yyy ,其中123,Pe e e ,若132,Qee e ,则123,f x x x在正交变换xQy下的标准形为 ( ) (A) 2221232yyy (B) 2221232
4、yyy (C) 2221232yyy (D) 2221232yyy (7) 若 A,B 为任意两个随机事件, 则 ( ) (A) P ABP A P B (B) P ABP A P B (C) 2P A P BP AB (D) 2P A P BP AB 3 (8)设随机变量,X Y不相关, 且2,1,3EXEYDX, 则2 E X XY ( ) (A) 3 (B) 3 (C) 5 (D) 5 二、填空题:二、填空题:914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. (9) 20lncoslim_.xxx (10) 22sin
5、()d_.1cosxxxx (11)若函数( , )zz x y由方程cos2xexyzxx确定,则(0,1)d_.z (12)设是由平面1xyz与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则(23 )_.xyz dxdydz (13) n阶行列式20021202_.00220012 (14)设二维随机变量( , )x y服从正态分布(1,0;1,1,0)N,则0_.P XYY 三、解答题:三、解答题:1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10
6、分) 设函数 ln(1)sinf xxaxbxx,3( ) g xkx,若 fx与 g x在0 x是等价无穷小,求, ,a b k的值. 4 (16)(本题满分 10 分) 设函数 fx在定义域 I 上的导数大于零,若对任意的0 xI,由线 =y f x在点00,xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为 4,且 02f,求 fx的表达式. (17)(本题满分 10 分) 已知函数,fx yxyxy,曲线 C:223xyxy,求,f x y在曲线 C 上的最大方向导数. (18)(本题满分 10 分) (I)设函数( )( )u x ,v x可导,利用导数定义证明u x v xu
7、 x v xu x v x ( )( )( )( )( ) ( ) (II)设函数( )( )( )12nu x ,u x ,u x可导,nf xu x u xu x12( )( ) ( )( ),写出( )f x的求导公式. (19)(本题满分 10 分) 已知曲线 L 的方程为222,zxyzx起点为0,2,0A,终点为0,2,0B,计算曲线积分2222dd()dLIyzxzxyyxyz. (20) (本题满 11 分) 设向量组1,23, 内3R的一个基,113=2+2k,22=2,313=+1k. (I)证明向量组123为3R的一个基; 5 (II)当 k 为何值时,存在非 0 向量在
8、基1,23, 与基123下的坐标相同,并求所有的. (21) (本题满分 11 分) 设矩阵02313312a A相似于矩阵12000031bB =. (I) 求, a b的值; (II)求可逆矩阵P,使1P AP为对角矩阵. (22) (本题满分 11 分) 设随机变量X的概率密度为 2ln2,0,0,0.xxfxx 对X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y为观测次数. (I)求Y的概率分布; (II)求EY (23) (本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为: xf x1,1,( , )10,其他. 其中为未知参数,12nx , x , x为来自该总体
9、的简单随机样本. (I)求的矩估计量. (II)求的最大似然估计量. 6 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合只有一个选项符合题目要求的题目要求的,请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. (1)设函数( )f x在, 内连续,其中二阶导数( )fx的图形如图所示,则曲线( )yf x的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2
10、 (D) 3 【答案】 (C) 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由( )fx的图形可得,曲线( )yf x存在两个拐点.故选(C). (2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1 abc (B) 3,2,1 abc (C) 3,2,1 abc (D) 3,2,1abc 【答案】 (A) 【分析】 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一
11、种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解,所以 2,1 为特征方程20rarb的根,从而(12)3a ,1 22b ,从而原方程变为32xyyyce,再将特解xyxe代入得1c.故选(A) 7 (3) 若级数1nna条件收敛,则 3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】 (B) 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质. 【解析】因为1nna条件收敛,即2
12、x为幂级数1(1)nnnax的条件收敛点,所以1(1)nnnax的收敛半径为 1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故1(1)nnnnax的收敛区间还是(0,2).因而3x 与3x 依次为幂级数1(1)nnnnax的收敛点,发散点.故选(B). (4) 设D是第一象限由曲线21xy ,41xy 与直线yx,3yx围成的平面区域,函数,f x y在D上连续,则,Dfx y dxdy ( ) (A) 13sin2142sin2cos , sindf rrrdr (B)1sin23142sin2cos , sindf rrrdr (C) 13sin2142sin2cos , si
13、ndf rrdr (D) 1sin23142sin2cos , sindf rrdr 【答案】 (B) 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出 D 的图形, xyo8 所以( , )Df x y dxdy 1sin23142sin2( cos , sin )df rrrdr,故选(B) (5) 设矩阵21111214Aaa,21bdd, 若集合1,2 , 则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) ,ad (B) ,ad (C) ,ad (D) ,ad 【答案】D 【解析】2211111111( , )1201111400(1)(2)(1)(2)A
14、 badadadaadd, 由( )( , )3r Ar A b,故1a或2a,同时1d 或2d 。故选(D) (6)设二次型123,f x x x 在正交变换为xPy 下的标准形为2221232yyy ,其中123,Pe e e ,若132,Qee e ,则123,f x x x在正交变换xQy下的标准形为 ( ) (A) 2221232yyy (B) 2221232yyy (C) 2221232yyy (D) 2221232yyy 【答案】(A) 【解析】由xPy,故222123()2TTTfx AxyP AP yyyy.且 9 200010001TP AP. 100001010QPPC
15、200()010001TTTQ AQCP AP C 所以222123()2TTTfx AxyQ AQ yyyy。选(A) (7) 若 A,B 为任意两个随机事件, 则 ( ) (A) P ABP A P B (B) P ABP A P B (C) 2P A P BP AB (D) 2P A P BP AB 【答案】(C) 【解析】由于,ABA ABB,按概率的基本性质,我们有()( )P ABP A且()( )P ABP B,从而( )( )()2P AP BP AB,选(C) . (8)设随机变量,X Y不相关, 且2,1,3EXEYDX, 则2 E X XY ( ) (A) 3 (B) 3
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