2006年数学三真题答案解析.pdf
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1、一、填空题一、填空题(1)【答案】1【详解】题目考察数列的极限,由于数列中有( 1)n,故求此数列的极限,分为奇数列和偶数列两个部分进行。记( 1)1()nnnun,则22121( 1)limlim ()lim ()1222nnnunnnnnn21221( 1)limlim ()lim ()121212nnnunnnnnn所以lim1unn.(2)【答案】32e【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便可得出。由( )( )fxfxe,有( )( )2 ( )( )()( )f xf xf xfxeefxe所以2 ( )2 ( )2 ( )3 ( )( )
2、()(2 ( )2( )2f xf xf xf xfxeef xefxe以2x 代入,得3 (2)3(2) 22ffee.(3) 【答案】42dxdy【详解】题目求复合函数在某点处的全微分,可有两种方法:方法方法 1:由微分形式不变性,有222222(4) (4)(4)(82)dzfxydxyfxyxdxydy(1,2)(0)(84)4-2dzfdxdydxdy方法方法 2:求偏导数,22(4) 8 ,zfxyxx22(4)( 2 )yzfxyy.以11,2,(0)2xyf ,代入zzdzdxdyxy便得如上结果.2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试
3、数学三试题解析(4)【答案】2【详解】由已知条件2BABE变形得,2BAEB()2B AEE, 两边取行列式, 得()244B AEEE其中,211011212011 1A E,222 E4E 因此,2422EBAE.(5)【答案】1 9【详解】根据独立性原理:若事件1,nAA独立,则 1212nnP AAAP A P AP A事件 max, 11,111X YXYXY,而随机变量X与Y均服从区间0,3上的均匀分布,有1011133P Xdx和1011133P Ydy. 又随机变量X与Y相互独立,所以,max( , )11,111Px yP xYP xP Y113319(6)【答案】2.【详解
4、】样本方差是总体方差的无偏估计量2()()E SD X,故只要计算()D X即可.X概率密度函数( )f x是偶函数,则( )xf x为奇函数,所以()( )0E Xxf x dx所以2222()()() ()()E SD XE XE XE X220( )2( )x f x dxx f x dx20 xx e dx20 xx de 2200|xxx ee dx 200|2xxx exde 2000|2|2xxxx exee dx 002 0( 1) 2.二、选择题二、选择题(7)【答案】A【详解】方法方法 1: 图示法.因为( )0,fx则( )f x严格单调增加;因为( )0,fx则( )f
5、 x是凹函数,又0 x ,画2( )f xx的图形结合图形分析,就可以明显得出结论:0dyy.方法方法 2:用两次拉格朗日中值定理000()()()ydyf xxf xfxx(前两项用拉氏定理)0( )()fxfxx(再用一次拉氏定理)0( )()fxx ,其中000,xxx x由于( )0fx,从而0ydy. 又由于0()0dyfxx,故选 A方法方法 3:用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式:000( )( )( )()f xf xf xxx( )20000()()()()2!nnnfxfxxxxxRn,其中(1)00()()(1)!nnnfxRxxn. 此时n取 1 代入,可得2000
6、1()()()( )()02ydyf xxf xfxxfx 又由0()0dyfxx ,选( )A.(8) 【答案】C【详解】题目考察该抽象函数在 0 点处的函数值,及 0 点处的左右导数,计算如下:换元令2xh,由题设可得2200()( )limlim1hxf hf xhx.于是00( )lim( )lim1 00 xxf xf xxx 因为函数( )f x在点0 x 处连续,故0(0)lim( )0 xff x,进而有Ox0 x0+xxyy=f(x)ydy00( )( )(0)1limlim(0)0 xxf xf xffxx.这表明(0)0f且(0)f存在. 故应选( )C.(9) 【答案】
7、D【详解】方法方法 1:数列收敛的性质:收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1nna收敛,所以11nna也收敛,所以11()nnna a收敛,从而112nnnaa也收敛.选 D.方法方法 2:记( 1)nnan,则1nna收敛. 但111nnnan,(p级数,12p 级数发散);11111nnnna an n(p级数,1p 级数发散)均发散。由排除法可知,应选 D.(10) 【答案】B【详解】线性方程解的性质与结构:1.由非齐次线性微分方程的两个特解,求该方程的通解;2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.因为12( )( )y xyx,所以12( )( )y x
8、yx是齐次微分方程的一个非零解,C是任意常数,所以12( )( )C y xyx是对应的齐次微分方程的通解. 再加上原非齐次方程的一个特解,便得原非齐次方程的通解,B.(11) 【答案】D【详解】方法方法 1: 化条件极值问题为一元函数极值问题。已知00(,)0 xy,由( , )0 x y,在00,)xy(邻域,可确定隐函数( )yy x,满足00()y xy,dyxydx 。00,)xy(是( , )f x y在 条 件( , )0 x y下 的 一 个 极 值 点0 xx是( , ( )zf x y x的极值点。它的必要条件是000000(,)(,)x xx xf xyf xydzdyd
9、xxydx000000000(,)0(,)(,)(,)xyx xxyxyxyf x yfx y若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy,或00(,)0 xxy,因此不选( )A,( )B.若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy(否则00 x xdzdx). 因此选()D方法方法 2:用拉格朗日乘子法. 引入函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y,有( , )( , )0(1)( , )( , )0(2)( , )0 xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y因为00(,)0yxy,所以0000(,)(,)yyfxyxy ,代入(1)得000
10、00000(,)(,)(,)(,)yxxyfxyxyfxyxy 若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy,选()D(12)【答案】A【详解】方法方法 1:若12,s 线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0的数12s,k kk使得11220sskkk为了得到12,sAAA的形式,用A左乘等式两边, 得11220ssk Ak Ak A于是存在不全为0的数12s,k kk使得成立,所以12,sAAA线性相关.方法方法2:如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:1.12,s 线性相关12(,)srs ;2.()( )r ABr B.矩阵1212(,)(,)ssAAAA
11、 , 设12sB(,) , 则由()( )r ABr B得1212(,)(,)ssr AAArs . 所以答案应该为(A).(13) 【答案】B【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出将A的第 2 行加到第 1 行得B,即110010001BA记 PA将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C,即110010001CB记 BQ因为PQ 110010001110010001E,故1QP E1P.从而11CBQBPPAP,故选(B).(14) 【答案】A.【详解】由于X与Y的分布不同,不能直接判断1| 1PX和2| 1P Y的大小与参数关系
12、. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。随机变量标准化,有11X(0,1)N,且其概率密度函数是偶函数. 所以11111(1)()XP XP11111111202 ()(0) 2 () 1XP .同理有,221(1)2 () 1P Y 因 为( ) x是 单 调 递 增 函 数 , 当12| 1| 1PXP Y时 ,112 () 1 212 () 1,即1211,所以12,故选(A).三、解答题三、解答题(15)【详解】题目考察二元函数的极限,求( )g x时,可以将y视为常数(I)( )lim( , )lim 1sin1arctang xf x yyyxyyyxyx,由于0 x ,所以l
13、imsinlim,yyxxyyxyy11limlim,11yyyxyxxy所以11( )arctanxg xxx.(II)222000011arctanarctanlim ( )lim()limlimarctanarctanxxxxxxxxxxxg xxxxxx 2220011 2221limlim22(1)xxxxxxxx (16)【详解】题目考察二重积分的计算,画出积分区域,化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下:积分区域D如下图所示.( , ) 01,0Dx yyxy,故12200yDyxydxdydyyxydx31202()03yy yxdy 12023y dy29.(17)【详解
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