2004年数学三真题答案解析.pdf
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1、- 1 -2004 年考研数学(三)真题解析年考研数学(三)真题解析一、填空题填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)(1) 若5)(cossinlim0bxaexxx,则 a =1,b =4.【分析分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解详解】因为5)(cossinlim0bxaexxx,且0)(cossinlim0bxxx,所以0)(lim0aexx,得 a = 1. 极限化为51)(coslim)(cossinlim00bbxxxbxaexxxx,得 b = 4.因此,a = 1,b = 4.【评注评注】一般地,已知)()(limxgxf A
2、,(1) 若 g(x) 0,则 f (x) 0;(2) 若 f (x) 0,且 A 0,则 g(x) 0.(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f xg(y) , y = x + g(y)确定,其中函数 g(y)可微,且 g(y) 0,则)()(22vgvgvuf.【分析分析】令 u = xg(y),v = y,可得到 f (u , v)的表达式,再求偏导数即可.【详解详解】令 u = xg(y),v = y,则 f (u , v) =)()(vgvgu,所以,)(1vguf,)()(22vgvgvuf.(3) 设21,12121,)(2xxxexfx,则21) 1(221dxxf.【分
3、析分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解详解】令 x 1 = t,121121221)()() 1(dtxfdttfdxxf21)21(0) 1(12121212dxdxxex.- 2 -【评注评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf的秩为2.【分析分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一详解一】因为213232221321)()()(),(xxxxxxxxx
4、f323121232221222222xxxxxxxxx于是二次型的矩阵为211121112A,由初等变换得000330211330330211A,从而2)(Ar,即二次型的秩为 2.【详解二详解二】因为213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf323121232221222222xxxxxxxxx2322321)(23)2121(2xxxxx2221232yy,其中,21213211xxxy322xxy.所以二次型的秩为 2.(5) 设随机变量X服从参数为的指数分布, 则DXXPe1.【分析分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解详解】 由于21DX ,
5、X的分布函数为. 0, 0, 0,1)(xxexFx故DXXP1DXXP11XP)1(1Fe1.【评注评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X服从正态分布),(21N, 总体Y服从正态分布),(22N,- 3 -1,21nXXX和2,21nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则22121212)()(21nnYYXXEnjjnii.【分析分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解详解】因为2121)(111XXnEnii,2122)(112YYnEnjj,故应填2.【评注评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题二、选择题(本
6、题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7) 函数2)2)(1()2sin(|)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界.(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).A【分析分析】如 f (x)在(a , b)内连续,且极限)(limxfax与)(limxfbx存在,则函数 f (x)在(a , b)内有界.【详解详解】当 x 0 , 1 , 2 时,f (x)连续,而183sin)(lim1xfx,42sin)(lim0 xfx,42sin)(lim0
7、xfx,)(lim1xfx,)(lim2xfx,所以,函数 f (x)在(1 , 0)内有界,故选(A).【评注评注】一般地,如函数 f (x)在闭区间a , b上连续,则 f (x)在闭区间a , b上有界;如函数 f (x)在开区间(a ,b)内连续,且极限)(limxfax与)(limxfbx存在,则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界.(8) 设 f (x)在( , +)内有定义,且axfx)(lim,0,00, )1()(xxxfxg,则(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.(C) x = 0 必是 g(x)的连续
8、点.(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关.D【分析分析】考查极限)(lim0 xgx是否存在,如存在,是否等于 g(0)即可,通过换元xu1,- 4 -可将极限)(lim0 xgx转化为)(limxfx.【详解详解】因为)(lim)1(lim)(lim00ufxfxguxx= a(令xu1),又 g(0) = 0,所以,当 a = 0 时,)0()(lim0gxgx,即 g(x)在点 x = 0 处连续,当 a 0 时,)0()(lim0gxgx,即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关,故选(D).【评
9、注评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设 f (x) = |x(1 x)|,则(A) x = 0 是 f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点.(B) x = 0 不是 f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(C) x = 0 是 f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(D) x = 0 不是 f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点.C【分析分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,考查 f (
10、x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.【详解详解】设 0 0,而 f (0) = 0,所以 x = 0 是 f (x)的极小值点.显然,x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时,f (x) = x(1 x),02)( xf,当 x (0 , )时,f (x) = x(1 x),02)( xf,所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.故选(C).【评注评注】对于极值情况,也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题:(1) 若1212)(nnnuu收敛,则1nnu收敛.(2) 若1nn
11、u收敛,则11000nnu收敛.(3) 若1lim1nnnuu,则1nnu发散.(4) 若1)(nnnvu收敛,则1nnu,1nnv都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).B【分析分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.【详解详解】(1)是错误的,如令nnu) 1(,显然,1nnu分散,而1212)(nnnuu收敛.- 5 -(2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性.(3)是正确的,因为由1lim1nnnuu可得到nu不趋向于零(n ),所以1nnu发散.(4)是
12、错误的,如令nvnunn1,1,显然,1nnu,1nnv都发散,而1)(nnnvu收敛. 故选(B).【评注评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型.(11) 设)(xf 在a , b上连续,且0)(, 0)(bfaf,则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0bax ,使得)(0 xf f (a).(B) 至少存在一点),(0bax ,使得)(0 xf f (b).(C) 至少存在一点),(0bax ,使得0)(0 xf.(D) 至少存在一点),(0bax ,使得)(0 xf= 0.D【分析分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项.
13、【详解详解】首先,由已知)(xf 在a , b上连续,且0)(, 0)(bfaf,则由介值定理,至少存在一点),(0bax ,使得0)(0 xf;另外,0)()(lim)(axafxfafax,由极限的保号性,至少存在一点),(0bax 使得0)()(00axafxf,即)()(0afxf. 同理,至少存在一点),(0bax 使得)()(0bfxf. 所以,(A) (B) (C)都正确,故选(D).【评注评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度.(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有(A) 当)0(|aaA时,aB |.(B) 当)0(|aaA时,aB |.(C) 当0|A
14、时,0|B.(D) 当0|A时,0|B.D【分析分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件:)()(BrAr立即可得.【详解详解】因为当0|A时,nAr)(, 又A与B等价, 故nBr)(,即0|B, 故选(D).- 6 -【评注评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 0*A若4321,是非齐次线性方程组bAx 的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量.(D) 含有三个线性无关的解向量.B【分析分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数
15、矩阵的秩.【详解详解】 因为基础解系含向量的个数=)(Arn , 而且. 1)(, 0, 1)(, 1,)(,)(*nArnArnArnAr根据已知条件, 0*A于是)(Ar等于n或1n. 又bAx 有互不相等的解,即解不惟一, 故1)( nAr. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注评注】 本题是对矩阵A与其伴随矩阵*A的秩之间的关系、 线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X服从正态分布) 1 , 0(N, 对给定的) 1 , 0(, 数u满足uXP,若xXP |, 则x等于(A)2u.(B)21u.(C)21 u.(D)u1.C【分析分析】 利用标准正
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- 2004 数学 三真题 答案 解析
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