2000年数学三真题答案解析.pdf
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1、12000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】1221zyyffgxyx【详解】根据复合函数的求导公式,有1221zyfyfgxyx (2)【答案】4e【详解】被积函数的分母中含有2xxee,且当x 时,2xxee ,即被积函数属于无穷限的反常积分,只需先求不定积分,在令其上限趋于无穷.22222211111xxxxxxxxdxdxedxdeeeeeeeeee221111xxdeeee22111xxeedeeee11arctanxeee1()24e4e(3)【答案】24【详解】方法】方法 1:ABAB、有相同的
2、特征值:1 1 1 12 3 4 5.,由矩阵1B是矩阵B的逆矩阵,他们所有特征值具有倒数的关系,得1B有特征值2 3 4 5, , , ,由B特征局矩阵为EB,1BE得特征矩阵为111EBEEB可以看出B与1BE的特征值相差 1 ,所以1BE有特征值1 2 3 4, , , .由矩阵的行列式等于其特征值得乘积,所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和, 知4111 2 3 424iiBE. 方法方法 2 :AB即存在可逆阵P,使得1P APB.两边求逆得111BP A P.又A有四个不同的特征值,存在可逆矩阵Q,使21Q AQ ,其中12131415 上式两边求逆得1112345Q A Q ,1
3、11AQQ从而有1111111112131244151BEP A PEPAE PQQEQE Q(4)【答案】1,3 .【 详 解 】 在 给 定 概 率 密 度 条 件 下 , 有 性 质2112( ).xxP xXxf x dx因 此 ,( )kP Xkf x dx(或11( ).kP XkP Xkf x dx )因为0,1x时,1( )3f x ;3,6x时,2( )9f x 都是定值, 因为213P Xk,所以k最可能的取值区间是包含在0,6区间之内的1,3区间,否则是不可能的.当13k时,22( )(63).93kP Xkf x dx(或者,当13k时,11( )(1 0),33kP
4、Xkf x dx1211.33P XkP Xk )所以,答案应该填13k或1,3 .(5)【答案】8.9【详解】由于题中Y是离散型随机变量,其所取值的概率分别为0 ,0P XP X和30P X .又由于X是均匀分布,所以可以直接得出这些概率,从而实现由X的概率计算过渡到Y的概率.0( 1)110;33P YP X 000;P YP X20210.33P YP X因此121( )11,333E Y 2221212()111,3333E Y 所以2218( )()( )1.99D YE YE Y 二、选择题二、选择题(1)【答案】D【详解】用排除法.例 1:设22221( )22xxf xxx,
5、满足条件2222211limlim0222xxxxxxx, 并且22221lim1,122xxxxx,由夹逼准则知,lim( )1xf x,则选项( )A与( )C错误.例 2:设6262442( )11xxxxf xxx, 满足条件626224442limlim0111xxxxxxxxxx,但是由于6224( )1xxf xxx,有lim( )xf x ,极限不存在,故不选( )B,所以选()D.因为最终结论是“()D:不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”,无法给出相应的证明.(2)【答案】B【详解】方法方法 1:排除法,用找反例的方式( )A:2( )f xx,满足(0)
6、0(0)0ff 且,但2( )f xx在0 x 处可导;( )C:( )1f xx,满足(0)10,(0)10ff ,但( )1f xx当1,1x ,在40 x 处可导;(D):( )1f xx ,满足(0)10,(0)10,ff 但( )1f xx当1,1x ,在0 x 处可导;方法方法 2:推理法.由( )B的条件( )0f a , 则( )( )( )( )( )limlimlim,xaxaxaf xf af xf xf axaxaxa所以( )( )( )( )limlim( )xaxaf xf af xf afaxaxa(1)( )( )( )( )limlim( ) .xaxaf
7、xf af xf afaxaxa (2)可见,( )f x在xa处可导的充要条件是( )( )fafa ,所以( )0fa,即( )0fa所以当( )0fa时必不可导,选( )B.(3)【答案】(C)【详解】因为112 3 4T, , ,是非齐次方程组的解向量所以我们有1Ab,故1是AXb的一个特解又 34r A,n(未知量的个数),故AXb的基础解系由一个非零解组成. 即基础解系的个数为 1.因为123220Abbb,故1122024132624835 是对应齐次方程组的基础解系,故AXb的通解为1231213224354cc. (4)【答案】(A)【详解】若是方程组( ):0IAX 的解,
8、即0A,两边左乘TA,得0TA A,即也是方程组():0TIIA AX 的解,即( ) I的解也是()II的解.若是 方 程 组():0TIIA AX 的 解 , 即0TA A, 两 边 左 乘T得50TTTA AAA.A是一个向量,设12TAb ,b ,b,则210nTiiAAb.故有0ib ,1 2i, ,n从而有0A,即也是方程组( ):0IAX 的解.(5)【答案】C【详解】 随机变量(1)(2)(3)(4),TTTT为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值, 事件E表示事件“电炉断电”,即有两个温控器显示的温度不低于0t,此时必定两个显示较高的温度大于等于0t,即(4)(3)0.
9、TTt所以说断电事件就是(3)0Tt三三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程,对于二阶常系数非齐次线性微分方程得求解,首先需要求出对应的齐次微分方程的通解,再求出非齐次方程的特解,再利用线性方程解的解构,从而得到对应方程的通解.本题对应的齐次微分方程为20yy,其特征方程为220rr,特征根为120,2rr. 于是齐次方程的通解为212.xYCC e由于2是特征方程的单根,所以设2xyAxe求得22222;44xxxxyAeAxeyAeAxe代入原方程,得222224424xxxxxAeAxeAeAxee,即222xxAee约去2xe,再比较等式左、右两边,得121,2AA故得特解21
10、2xyxe,非齐次方程的通解为22121.2xxyYyCC exe再由初始条件(0)1y,得:121CC(1)由(0)1y,得22222122200111221222xxxxxxxCCexeCeexeC(2)联立(1)与(2)得1231,44CC则满足初始条件的通解为62311()442xyx e.四四【详解】画出积分区域D. 由被积函数的形式以及积分区域形状, 易见采用极坐标更为方便.将 曲 线22yaax 化 为 :222()()xyaaya , 极 坐 标 方 程 为2 sin (0)ra ,再D区 域是 由曲 线22(0)yaaxa 和 直线yx 围 成的 区域 ,于 是04,极半径0
11、2 sinra ,则22202 sin2222204.44aDxyrIdddraxyar令2 sinrat,有0r 时0t ;2 sinra 时,t .20204sin42 cos2 costIdaatdtat022044sindatdt02042(1 cos2 )dat dt0240sin222tadtdt02412(sin2 )2ad 022412cos224a 221()162a五五【定理】简单极值问题(无条件极值):设( , )zf x y在开区域D内可偏导,又根据实际7问题可知,它在D内有最大值或最小值,于是只需在0,0ffxy的点中找到( , )f x y的最大值点或最小值点【详解
12、】记总利润函数为L,总收益函数为R,则总利润总收益总成本1122(25)LRCpQp QQ1122122()5pQp QQQ112212(182)(12)2()5Q QQ QQQ2211221218212225QQQQQQ221212216105QQQQ 其中,120,0QQ,12QQQ为销售总量.(1)令1212416 0210 0LLQQQQ,解得1245QQ,. 而1118 2PQ,2212,PQ故相应地1210,7.pp在120,0QQ的范围内驻点唯一,且实际问题在120,0QQ范围内必有最大值,故在1245QQ,处L为最大值.22max2 4516 4 10 5552()L 万元.(
13、2) 若两地的销售单价无差别, 即12pp,于是1218212QQ, 得1226QQ,在此约束条件下求L的最值,以下用两个方法:方法方法 1: 若求函数( , )zf x y在条件( , )0 x y的最大值或最小值,用拉格朗日乘数法:先构造辅助函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y,然后解方程组00( , )0FfxxxFfyyyFx y所有满足此方程组的解( , , )x y中的( , )x y是( , )zf x y在条件( , )0 x y的可能极值点,在可能极值点中求得最大值点或最小值点.故用拉格朗日乘数法,其中1212(,)260Q QQQ,构造函数221
14、2121212(, )216105(26),F Q QQQQQQQ 8令112212416202100260FQQFQQFQQ 解 得1254QQ, 在120,0QQ的 范 围 内 驻 点 唯 一 , 且 实 际 问 题 在120,0QQ范围内必有最大值,故在1245QQ,处L为最大值.得22max2 5416 5 10 4549()L 万元.方法方法 2:由1226QQ代入221212216105LQQQQ 消去一个变量得211660101LQQ 这样就变成了简单极值问题(无条件极值),按(1)的做法:令1112600,dLQdQ 得15Q ,为L的唯一驻点.当11050dLQdQ时(说明在
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