高数第九章(8)多元函数的极值及其求法ppt课件.ppt
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1、 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动
2、目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1)
3、当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy06
4、32yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回
5、结束 求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤:极值的一般步骤:第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解,得驻点求出实数解,得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx,求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号,再判定是否是极值的符号,再判定是否是极值.例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(
6、yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定
7、义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(
8、2 xD为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例:某人有引例:某人有200元钱,他决定用来购买两种急需元钱,他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买物品:计算机磁盘和录音磁带,
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