新高考艺术生数学基础复习讲义 考点18 排列组合(教师版含解析).docx
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1、考点18 排列组合知识理解一计数原理(一)分类加法计数原理1.概念:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2.特征(1)每类方法都能独立完成这件事,它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的(二)分步乘法计数原理1.概念:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2.特征(1)每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,只有各个步骤都完成了才能完成这件事(2
2、)各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏二排列、组合(一)排列组合定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(二)排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn,m,nN*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn,m,nN*)个元素的所有不同组合的个数公式An(n1)(n2)(nm1)C性质An!,0!1C1,CC,CCC考向分析考向一 排列组合数的计数【例1】(1)(2020全国高三专题练习)若,则的值为
3、( )A60B70C120D140(2)(2020全国高三专题练习)已知,则( )A11B12C13D14【答案】(1)D(2)B【解析】(1),解得或(舍去),.故选:D.(2),整理,得,;解得,或 (不合题意,舍去);的值为12.故选:B.【举一反三】1(2020全国高三专题练习)已知,则( )A5B7C10D14【答案】B【解析】,可得,即,解得.故选:.2(2020吉林油田第十一中学高三月考)若,则( )A8B7C6D5【答案】D【解析】因为,所以所以即,即解得故选:D3(2020全国高三专题练习)已知,则()ABC或3D【答案】C【解析】当时成立;当时也成立;故选C.考向二 排队问
4、题【例2】(2020全国高三专题练习)3名女生和5名男生排成一排(1)若女生全排在一起,有多少种排法?(2)若女生都不相邻,有多少种排法?(3)其中甲必须排在乙左边(可不邻),有多少种排法?(4)其中甲不站最左边,乙不站最右边,有多少种排法?【答案】(1)4320;(2)14400;(3)20160;(4)30960.【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同5名男生合在一起有6个元素,排成一排有种排法,而其中每一种排法中,3名女生之间又有种排法,因此,共有种不同排法;(2)(插空法)先排5名男生,有种排法,这5名男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有
5、种排法,因此共有种不同排法;(3)8名学生的所有排列共种,其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占,因此符合要求的排法种数为;(4)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置,法一(特殊元素法):甲在最右边时,其他的可全排,有种不同排法,甲不在最右边时,可从余下6个位置中任选一个,有种,而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上,有种,其余人全排列,共有种不同排法,由分类加法计数原理知,共有种不同排法;法二(特殊位置法):先排最左边,除去甲外,有种排法,余下7个位置全排,有种排法,但应剔除乙在最右边时的排法种,因此共有种排法;法三(间接法):8名学生全排列,共种,其中,不符合条件的有甲在最左边时,有
6、种排法,乙在最右边时,有种排法,其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情形,有种排法,因此共有种排法【方法总结】排列问题常用方法1. 直接法:把符合条件的排列数直接列式计算2. 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置3.捆绑法:相邻问题采取“捆绑法”即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列4.插空法:不相邻问题采取“插空法”即对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中5.定序除法:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列6.间接法:正难则反、等价转化的方法【举一反三】1(2021河北张家口市高三期末)某
7、班优秀学习小组有甲乙丙丁戊共5人,他们排成一排照相,则甲乙二人相邻的排法种数为( )A24B36C48D60【答案】C【解析】先安排甲乙相邻,有种排法,再把甲、乙看作一个元素,与其余三个人全排列,故有排法种数为.故选:C2(2020上海高三专题练习)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A144B120C72D24【答案】D【解析】先排三个空位,形成4个间隔,然后插入3个同学,故有种3(2020全国高三专题练习)甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖,要求甲排在乙前面,丙与丁不相邻且均不排在最后,则抽奖的顺序有( )A72种B144种C360种D720种【答案
8、】B【解析】第一步先排甲、乙、戊、己,甲排在乙前面,则有种,第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中,但注意到丙与丁均不排在最后,故有4个空可选,所以有中插空方法,所以根据分步乘法计数原理有种.故选:B.4(2020江苏南通市高三月考)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程,每周开设一门,连续开设六周若课程“乐”不排在第一周,课程“书”排在第三周或第四周,则所有可能的排法种数为_【答案】192【解析】(1)当“乐”课程排在第2,5,6周时,;(2)当“乐”课程排在第3或4周时,所有可能的排法种数为192.5.有3名男生、4名女
9、生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻【答案】(1)2520种 (2)5040种 (3)3600种(4)576种(5)1440种【解析】(1)从7人中选5人排列,有A765432 520(种)(2)分两步完成,先选3人站前排,有A种方法,余下4人站后排,有A种方法,共有AA5 040(种)(3)法一:(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有A种排列方法,共有5A3 600(种)法二:(特殊位置优先法)首尾位置可
10、安排另6人中的两人,有A种排法,其他有A种排法,共有AA3 600(种)(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A种方法,再将女生全排列,有A种方法,共有AA576(种)(5)(插空法)先排女生,有A种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A种方法,共有AA1 440(种)考向三 排数问题【例3】(2020全国高三专题练习)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.(1)可以组成多少个无重复数字的三位数?(2)组成无重复数字的三位数中,315是从小到大排列的第几个数?(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数?(4)选出一个偶数和三个奇数,组成无
11、重复数字的四位数,这样的四位数共有多少个?(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列,则称此正整数为“渐减数”, 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个?【答案】(1)648;(2)156;(3)2296;(4)1140;(5)1013【解析】(1)由题意,无重复的三位数共有个;(2)当百位为1时,共有个数;当百位为2时,共有个数;当百位为3时,共有个数,所以315是第个数;(3)无重复的四位偶数,所以个位必须为0,2,4,6,8,千位上不能为0,当个位上为0时,共有个数;当个位上是2,4,6,8中的一个时,共有个数,所以无重复的四位偶数共有个数;(4)当选出的偶数为
12、0时,共有个数,当选出的偶数不为0时,共有个数,所以这样的四位数共有个数;(5)当挑出两个数时,渐减数共有个,当挑出三个数时,渐减数共有个,当挑出十个数时,渐减数共有个,所以这样的数共有个.【举一反三】1(2021湖南株洲市高三一模)由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数是( )A24B12C10D6【答案】C【解析】当个位数是0时,有个,当个位数是5时,有个,所以能被5整除的个数是10,故选:C2(2020全国高三专题练习)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( )A144个B120个C96个D72个【答案】B【解析】
13、根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;分两种情况讨论:首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有种情况,此时有324=72个;首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有种情况,此时有224=48个.共有72+48=120个故选:B3(2020龙港市第二高级中学高三开学考试)用1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数,三个奇数中仅有两个相邻的五位数有_.【答案】72【解析】用1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数,共有个;三个奇数中仅有两个相邻;
14、其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻;当三个奇数都相邻时,把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有个;三个奇数都不相邻时,把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有个;故符合条件的有;故答案为:4(2020浙江金华市高三其他模拟)用1,2,3,4,5,0组成数字不重复的六位数,满足1和2不相邻,5和0不相邻,则这样的六位数的个数为_.【答案】【解析】1,2,3,4,5,0组成数字不重复的六位数的个数共有个其中1,2相邻的六位数的个数共有个5,0相邻的六位数的个数共有个1和2相邻且5和0相邻的六位数的个数共有个即满足1和2不相邻,5和0不相邻,则这样的六位数的个数为故答案为:考向四 染色问题
15、【例4】(2020安徽省六安中学)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同,则区域不同涂色的方法种数为( )A360B400C420D480【答案】C【解析】根据题意,5个区域依次为A、B、C、D、E, 如图,分4步进行分析:对于区域A,有5种颜色可选,对于区域B,与A区域相邻,有4种颜色可选;对于区域C,与A、B区域相邻,有3种颜色可选;,对于区域D、E,若D与B颜色相同,E区域有3种颜色可选,若D与B颜色不相同,D区域有2种颜色可选,E区域有2种颜色可选,则区域D、E有种选择,
16、则不同的涂色方案有种;故选:C【举一反三】1(2020江苏高三专题练习)有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有_.【答案】4320【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法,第二个区域有5种不同的涂色方法,第三个区域有4种不同的涂色方法,第四个区域有3种不同的涂色方法,第五个区域有4种不同的涂色方法,第六个区域有3种不同的涂色方法,根据乘法原理.2(2020江苏)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色,要求相邻区域所涂颜色不同,共有_种不同的涂色方法.(用数字回答)【答案】240【解析】从开始涂色,有4种方法,有3种方法,若与涂色相同,则共有种涂色方法
17、;若与涂色不相同,则有2种涂色方法,当涂色相同时,有3种涂色方法;当涂色不相同时,有2种涂法,有2种涂色方法.共有种涂色方法.故答案为:240.3(2020四川省眉山车城中学)西部五省,有五种颜色供选择涂色,要求每省涂一色,相邻省不同色,有_种涂色方法【答案】420【解析】对于新疆有5种涂色的方法,对于青海有4种涂色方法,对于西藏有3种涂色方法,对于四川:若与新疆颜色相同,则有1种涂色方法,此时甘肃有3种涂色方法;若四川与新疆颜色不相同,则四川只有2种涂色方法,此时甘肃有2种涂色方法;根据分步、分类计数原理,则共有543(22+13)420种方法故答案为420.4(2020全国高三专题练习)某
18、城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,则不同的栽种方法有_种.(用数字作答)【答案】120【解析】由题意,6个部分.栽种4种不同颜色的花,必有2组颜色相同的花,若2、5同色,则3、6同色或4、6同色,所以共有种栽种方法;若2、4同色,则3、6同色,所以共有种栽种方法;若3、5同色,则2、4同色或4、6同色,所以共有种栽种方法;所以共有种栽种方法.故答案为:120考向五 分组分配问题【例5】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人
19、得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【答案】(1)60;(2)360;(3)15;(4)90;(5)15;(6)90.【解析】(1)先从6本书中选1本,有种分配方法;再从剩余5本书中选择2本,有种分配方法剩余的就是2本书,有种分配方法所以总共有种分配方法(2)由(1)可知分组后共有60种方法,分别分给甲乙丙后的方法有种(3)从6本书中选择2本书,有种分配方法;再从剩余4本书中选择2本书,有种分配方法;剩余的就是2本书,有种分配方
20、法;所以有种分配方法但是,该过程有重复假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选出的是则所有情况为,所以分配方式共有种(4)由(3)可知,将三种分配方式分别分给甲乙丙三人,则分配方法为种(5)从6本书中选4本书的方法有种从剩余2本书中选1本书有种因为在最后两本书选择中发生重复了 所以总共有种(6)由(5)可知,将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可,即种【方法总结】分组、分配问题1对不同元素的分配问题(1)对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A(n为均分的组数),避免重复计数(2)对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘
21、数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数(3)对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数2对于相同元素的“分配”问题,常用方法是采用“隔板法”【举一反三】1(2020全国高三专题练习)把5张不同的电影票分给4个人,每人至少一张,则不同的分法种数为_【答案】【解析】将这张不同的电影票分成四组,每组至少一张,共有种分组办法,再分给人的不同分法有种故答案为:2(2021全国高三专题练习)在浙江省新高考选考科目报名中,甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目,现要从生物、政
22、治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目,则不同的选报方案有_种(用数字作答);若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的,则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为_.【答案】625 【解析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目,则不同的选报方案有种;若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程,其中一人独自选一科,另外三人选一科,共有不同的选报方案种,其中两人选一科,另外两人选另一科,共有不同的选报方案种,则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为故答案为:3.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训,现有5个培训项目,每位教师
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