圆与椭圆.pdf
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1、椭圆与圆的类比探究椭圆与圆的类比探究我们把平面上到两定点的距离之和是常数的点的轨迹称为椭圆, 这两个定点称为椭圆的焦点。当两个焦点无限接近时,椭圆就趋近于圆。换句话说,圆也可以看成是离心率为零的特殊的椭圆。由此可见,圆与椭圆二者之间有着密不可分的联系。本文通过椭圆与圆的类比探究,帮助我们加深对圆与椭圆的理解与掌握。对于平面上任意一个圆, 按其某条直径进行伸缩变换就可以得到椭圆。 因此,只要我们选择适当的变换形式就可以实现圆与椭圆图形之间的相互转换。如:a0 x2y2圆 C:x y r在矩阵 A=rb对应的伸压变换下变为椭圆221。ab0r证明:设P0 x0,y0为圆 C 上的任意一点,在伸压变
2、换下变为另一点Px,y,则222raax xx x0 x x0 0 00 xar,所以y=rb y y ,即rb y0yy y0 0 0 0rbrx2y2又因为点P0 x0,y0在圆 C 上,故有221。abx2y2即圆 C:x y r在矩阵 A 对应的伸压变换下变为椭圆221。ab r0 x2y2222反之椭圆221在 A 的逆矩阵 ar 对应的伸压变换下可变为圆x y r。ab 0b 222由上可知, 通过矩阵变换就可以实现圆与椭圆图形之间的相互转换。 圆与椭圆的你中有我,我中有你的紧密联系也体现在实际操作问题中, 苏教版实验课本选修 2-1 的 P29 有如下一道探究拓展的操作题:准备一
3、张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心的一点 F, 将纸片折起, 使圆周过点 F (如图 1) ,然后将纸片展开,就得到一条折痕l(为了看清楚,可把直线l画出来) 。这样继续折下去, 得到若干折痕。折许多条折痕就围成了如图 2 的一个椭圆。换个角度也可以由椭圆折出圆,如图 3,F1,F2为椭圆的两个焦点,M 是椭圆上一点,现将 MF2折起使点 F2与 F1M 延长线上的 P 点重合,则 P 的轨迹是以 F1为圆心,长轴长为半径的圆,设折痕l与 P F2的交点为 N,则 N 的轨迹是以 O 为圆心,半长轴长为半径的圆,由此可以抽象出一个圆的轨迹命题:点M 是以 F1,F2为焦点的椭圆上一点,过焦点做F
4、1MF2外角平分线的垂线,垂足为N,则点 N 的轨迹是以椭圆中心为圆心,半长轴长为半径的圆。圆与椭圆不仅仅在图形上存在着联系,事实上,圆的某些重要的性质推广到椭圆中仍然有类似的结论。性性质质 1 1:“圆x y r上一点P(x0, y0)处的切线方程为222x2y2x0y y0y r” ,类比也有结论: “椭圆221(a b 0)上一点P(x0, y0)处的切ab2线方程为x0 xy0y21” 。2ab y kxm证明:当l的斜率存在时,设l的直线方程为y kxm,x2y2消去y得221abb2a2k2x22a2k mxa2m2b2 0, 因 为l是 椭 圆 的 切 线 , 所 以4a2b2a
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