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1、人教版 八年级上册,14.2 完全平方公式,导入新课,平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,(1)(3+2a)(-3+2a),(2)(b2+2a3)(2a3-b2),(3)(-4a-1)(4a-1),=4a2-9,=4a6-b4,=1-16a2,计算下列各式,你能发现什么规律?(p+1)2 =(p+1)(p+1) = _ _;(m+2)2= _ _;(p-1)2 = (p-1)(p-1)=_ _;(m-2)2 = _ _.,新课学习,完全平方公式,P2+2p+1,m2+4m+4,P2-2p+1,m2-4m+4,解: (a+b)2= (a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2 =a
2、2+2ab+b2,新课学习,计算: (a+b)2, (a- b)2,(a-b)2= (a-b) (a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2,新课学习,完全平方公式:,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.,文字叙述:,新课学习,公式的特点:,1.积为二次三项式;,2.其中两项为两数的平方和;,3.另一项是两数积的2倍,且与左边乘式中间的符号相同.,前平方,后平方,积的2倍在中央,积的符号看前方,新课学习,b,b,a,a,ab,ab,a2,b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,整个图形为边长为(a+b)的正方形,面积为(a+b)2,正方形可以
3、看作由两个小正方形和两个小长方形组成,由面积和计算得:a2+2ab+b2,你能用图形的面积说明完全平方公式吗?,新课学习,牛刀小试,1.下面各式的计算结果是否正确?如果不正确,应当怎样改正?,(x +y)2 =x2+2xy +y2,(x -y)2 =x2 -2xy +y2,(x -y)2 =x2 -2xy +y2,(x +y)2 =x2+2xy +y2,(x+y)2=x2 +y2,(2)(x -y)2 =x2 -y2,(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2,(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2,新课学习,例4 运用完全平方公式计算:(1) 1022 ; (2) 992 .,温馨
4、提示:关键是把已知数的底数拆成两数和或两数差的平方的形式。,典题精讲,1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=7,求ab的值,分析:首先利用完全平方公式进行计算,然后将两式相减,从而可求得ab的值。,解:(a+b)2=7,(a-b)2=7,a2+2ab+b2=7,a2-2ab+b2=7,-得:4ab=0。ab=0。,典题精讲,2、若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b2.,分析:把所求的代数式通过添项配成完全平方的形式,代入计算即可。,解:a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab=52-2 (-6)=37.a2-ab+b2=a2+2ab+b2-2ab-ab=
5、(a+b)2-3ab=52-3 (-6)=43.,知识巩固,1.已知(x-2015)2+(x-2017)2=34,则(x-2016)2的值是()A4 B8C12D16,D,分析:先把(x-2015)2+(x-2017)2=34变形为(x-2016+1)2+(x-2016-1)2=34,把(x-2016)看作一个整体,根据完全平方公式展开,得到关于(x-2016)2的方程,解方程即可求解,知识巩固,解析:(x-2015)2+(x-2017)2=34,(x-2016+1)2+(x-2016-1)2=34,(x-2016)2+2(x-2016)+1+(x-2016)2-2(x-2016)+1=34,
6、2(x-2016)2+2=34,2(x-2016)2=32,(x-2016)2=16故选:D,知识巩固,2.已知:(a+b)2=25,(a-b)2=9,求:(1)a2+b2;(2)ab;(3)a2-b2,知识巩固,新课学习,添括号法则,a+b-c,去括号,(1)a+(b-c)= ;,(2)a-(-b+c)= ;,a+b-c,(3)a+(-b-c)= ;,a-b-c,(4)a-(b-c)= ;,a-b+c,将上述式子反过来,我们就得到了添括号法则。,新课学习,a+b-c=a+(b-c),a+b-c=a-(-b+c),添上“+( )”,括号里的各项都不变符号,添上“-( )”,括号里的各项都改变符
7、号,新课学习,添括号其实就是把去括号反过来,所以添括号法则是: 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号 也是:遇“加”不变,遇“减”都变,添括号法则:,新课学习,例5 运用乘法公式计算:(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.,解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = x+ (2y 3 ) x- (2y-3) = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.,(a + b +c ) 2 = (a+b) +c
8、2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.,有些整式相乘需要先适当变形,然后再用公式。,知识巩固,3.用乘法公式计算:(x-2y+3z)2,解:(x-2y+3z)2=(x-2y)2+6z(x-2y)+9z2=x2-4xy+4y2+6xz-12yz+9z2,知识巩固,4.用乘法公式计算:(3b-a-2c)(2c-3b-a),分析:先变形为-a+(3b-2c)-a-(3b-2c),再根据平方差公式和完全平方公式即可求解,解:(3b-a-2c)(2c-3b-a)=-a+(3b-2c)-a-
9、(3b-2c)=a2-(3b-2c)2=a2-9b2+12bc-4c2,课堂小结,1、完全平方公式:,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.,2、添括号法则,拓展提升,1.计算:(1)(m-2n+4)2 (2)99.82,解:(1)原式=(m-2n)+42=(m-2n)2-8(m-2n)+42=m2-4mn+4n2+8m-16n+16,解:(2)99.82=(100-0.2)2=1002-21000.2+0.22=10000-40+0.04=9960.04,拓展提升,2.已知a-b=5,ab=3,求(a+b)2与3(a2+b2)的值,解析:解:a-b=5,ab=3,a2+b2=(a-b)2+2ab=52+23=31,3(a2+b2)=331=93,(a+b)2=a2+b2+2ab=31+23=37,拓展提升,3.已知a、b、c是三角形的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,试说明三角形ABC是等边三角形。,解析: a2+c2=2ab+2bc-2b2,(a-b)2+(c-b)2=0, a=b,且b=c,即a=b=c,三角形ABC是等边三角形。,拓展提升,4.已知a+10=b+12=c+15,则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少?,拓展提升,
限制150内