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1、 辽宁省大连市辽宁省大连市 2013 年中考数学试卷年中考数学试卷一、选择题(本题一、选择题(本题 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项正确)选项正确)1 (3 分) (2013大连)2 的相反数是( )A 2BCD 2考点: 相反数分析:一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号解答:解:2 的相反数是 2故选 D点评:本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0 的相反数是 02 (3 分) (2013大连)如图所示的几何体
2、是由四个完全相同的正方体组成的,这个几何 体的俯视图是( )A BCD 考点: 简单组合体的三视图分析: 找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中解答: 解:从上面看易得三个横向排列的正方形 故选 A 点评: 本题考查了三视图的知识,要求同学们掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图3 (3 分) (2013大连)计算(x2)3的结果是( )A xB3x2Cx5D x6考点: 幂的乘方与积的乘方分析: 根据幂的乘方法则进行解答即可解答: 解:(x2)3=x6, 故选:D 点评: 本题考查的是幂的乘方法则,即幂的乘方法则:底数不变,指数相乘4 (3 分) (2013大连)一
3、个不透明的袋子中有 3 个红球和 2 个黄球,这些球除颜色外完 全相同从袋子中随机摸出一个球,它是黄球的概率为( )A BCD 考点: 概率公式分析: 根据概率的求法,找准两点:全部情况的总数;符合条件的情况数目;二者的 比值就是其发生的概率 解答: 解;袋子中球的总数为:2+3=5,取到黄球的概率为: 故选:B 点评: 此题主要考查了概率的求法,如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= 5 (3 分) (2013大连)如图,点 O 在直线 AB 上,射线 OC 平分DOB若COB=35, 则AOD 等于( )A 3
4、5B70C110D145考点: 角平分线的定义分析: 首先根据角平分线定义可得BOD=2BOC=70,再根据邻补角的性质可得AOD 的 度数 解答: 解:射线 OC 平分DOB BOD=2BOC, COB=35, DOB=70,AOD=18070=110,故选:C 点评: 此题主要考查了角平分线定义,关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分6 (3 分) (2013大连)若关于 x 的方程 x24x+m=0 没有实数根,则实数 m 的取值范围是( )A m4Bm4Cm4D m4考点: 根的判别式专题: 计算题分析: 由方程没有实数根,得到根的判别式的值小于 0,列出关于 m 的不等式,求出不等
5、式的解集即可得到 m 的范围 解答:解:=(4)24m=164m0,m4 故选 D 点评: 此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键7 (3 分) (2013大连)在一次“爱心互助”捐款活动中,某班第一小组 8 名同学捐款的金 额(单位:元)如下表所示: 金额/元56710 人数2321 这 8 名同学捐款的平均金额为( )A 3.5 元B6 元C6.5 元D 7 元考点: 加权平均数分析: 根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以 8 即可得出答案解答: 解:根据题意得: (52+63+72+101)8=6.59(元) ; 故选 C 点评: 此题考查了加权平均数,掌握加
6、权平均数的计算公式是解题的关键,属于基础题8 (3 分) (2013大连)P 是AOB 内一点,分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点P1、P2,连接 OP1、OP2,则下列结论正确的是( )A OP1OP2BOP1=OP2COP1OP2且 OP1=OP2D OP1OP2考点: 轴对称的性质分析: 作出图形,根据轴对称的性质求出 OP1、OP2的数量与夹角即可得解解答: 解:如图,点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2,OP1=OP2=OP, AOP=AOP1,BOP=BOP2, P1OP2=AOP+AOP1+BOP+BOP2, =2(AOP+BOP) , =2AOB, AO
7、B 度数任意,OP1OP2不一定成立 故选 B点评: 本题考查了轴对称的性质,是基础题,熟练掌握性质是解题的关键,作出图形更形 象直观二、填空题(本题二、填空题(本题 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分)分)9 (3 分) (2013大连)因式分解:x2+x= x(x+1) 考点: 因式分解-提公因式法分析: 根据观察可知原式公因式为 x,直接提取可得解答: 解:x2+x=x(x+1) 点评: 本题考查了提公因式法分解因式,通过观察可直接得出公因式,结合观察法是解此 类题目的常用的方法10 (3 分) (2013大连)在平面直角坐标系中,点(2,4)在第 四 象限考点:
8、点的坐标分析: 根据各象限内点的坐标特征解答解答:解:点(2,4)在第四象限故答案为:四 点评: 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+) ;第二象限(,+) ;第三象限(,) ;第四象限(+,) 11 (3 分) (2013大连)把 16000 000 用科学记数法表示为 1.6107 考点: 科学记数法表示较大的数分析: 科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时,
9、n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数 解答: 解:将 16 000 000 用科学记数法表示为:1.6107故答案为:1.6107 点评: 此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12 (3 分) (2013大连)某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如下 表所示: 移植总数(n)400750150035007000900014000 成活数(m)369662133532036335807312628成活的频率0.9230.8830.8900.9150.9050.89
10、70.902根据表中数据,估计这种幼树移植成活率的概率为 0.9 (精确到 0.1) 考点: 利用频率估计概率分析: 对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大,为了减少误差,我们经常采用 多批次计算求平均数的方法 解答: 解: =(0.923+0.883+0.890+0.915+0.905+0.897+0.902)70.9, 这种幼树移植成活率的概率约为 0.9 故本题答案为:0.9 点评: 此题主要考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知 识点为:频率=所求情况数与总情况数之比13 (3 分) (2013大连)化简:x+1= 考点: 分式的加减法专题: 计算题分析:
11、 先通分,再把分子相加减即可解答:解:原式=故答案为:点评: 本题考查的是分式的加减法,异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相 同的分式,再把分子相加减即可14 (3 分) (2013大连)用一个圆心角为 90半径为 32cm 的扇形作为一个圆锥的侧面 (接缝处不重叠) ,则这个圆锥的底面圆的半径为 8 cm考点: 圆锥的计算分析:半径为 32cm,圆心角为 90的扇形的弧长是=16,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,因而圆锥的底面周长是 16,设圆锥的底面半径是 r,则得 到 2r=16,求出 r 的值即可 解答:解:=16,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长, 圆锥的底面
12、周长是 16cm, 设圆锥的底面半径是 r, 则得到 2r=16, 解得:r=8(cm) 故答案为:8 点评: 本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两 者之间的两个对应关系: (1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展 开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键15 (3 分) (2013大连)如图,为了测量河的宽度 AB,测量人员在高 21m 的建筑物 CD 的顶端 D 处测得河岸 B 处的俯角为 45,测得河对岸 A 处的俯角为 30(A、B、C 在同一 条直线上) ,则河的宽度 AB 约为 15.3 m(精确到 0.1
13、m) (参考数据:1.41,1.73)考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析: 在 RtACD 中求出 AC,在 RtBCD 中求出 BC,继而可得出 AB解答: 解:在 RtACD 中,CD=21m,DAC=30, 则 AC=CD36.3m; 在 RtBCD 中,DBC=45, 则 BC=CD=21m,故 AB=ACBC=15.3m故答案为:15.3 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题关键是构造直角三角形,理解俯角的定 义,能利用三角函数表示线段的长度16 (3 分) (2013大连)如图,抛物线 y=x2+bx+ 与 y 轴相交于点 A,与过点 A 平行于 x轴的直线相交
14、于点 B(点 B 在第一象限) 抛物线的顶点 C 在直线 OB 上,对称轴与 x 轴相交于点 D平移抛物线,使其经过点 A、D,则平移后的抛物线的解析式为 y=x2 x+ 考点: 二次函数图象与几何变换分析: 先求出点 A 的坐标,再根据抛物线的对称性可得顶点 C 的纵坐标,然后利用顶点坐 标公式列式求出 b 的值,再求出点 D 的坐标,根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n,把点 A、D 的坐标代入进行计算即可得解 解答:解:令 x=0,则 y= ,点 A(0, ) ,根据题意,点 A、B 关于对称轴对称,顶点 C 的纵坐标为 = ,即= ,解得 b1=3,b2=3,由
15、图可知,0,b0,b=3,对称轴为直线 x= ,点 D 的坐标为( ,0) ,设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n,则,解得,所以,y=x2 x+ 故答案为:y=x2 x+ 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,根据二次函数图象的对称性确定出顶点 C 的 纵坐标是解题的关键,根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变 也很重要三、解答题(本题共三、解答题(本题共 4 小题,其中小题,其中 17、18、19 题各题各 9 分,分,20 题题 12 分,共分,共 39 分)分)17 (9 分) (2013大连)计算:( )1+(1+) (1)考点: 二次根式的混合运算;负整
16、数指数幂分析: 分别进行负整数指数幂、平方差公式、二次根式的化简等运算,然后合并即可解答:解:原式=5+132=32点评: 本题考查了二次根式的混合运算,涉及了负整数指数幂、平方差公式、二次根式的 化简等知识,属于基础题,解题的关键是掌握各知识点的运算法则18 (9 分) (2013大连)解不等式组:考点: 解一元一次不等式组专题: 计算题分析: 先分别求出各不等式的解集,再求其公共解集即可解答: 解:解不等式得:x2 解不等式得:x4 在数轴上分别表示的解集为: 不等式的解集为:x4点评: 求不等式的解集应遵循“同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不 了”的原则19 (9 分)
17、 (2013大连)如图,ABCD 中,点 E、F 分别在 AD、BC 上,且 AE=CF求 证:BE=DF考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质专题: 证明题分析: 根据平行四边形性质得出 ADBC,AD=BC,求出 DE=BF,DEBF,得出四边形 DEBF 是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可 解答: 证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,AD=BC, AE=CF,DE=BF,DEBF, 四边形 DEBF 是平行四边形, BE=DF 点评: 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用,注意:平行四边形的对边平行且相 等20 (12 分) (2013大连)以下是根据2
18、012 年大连市环境状况公报中有关海水浴场环 境质量和市区空气质量级别的数据制作的统计图表的一部分(2012 年共 366 天) 大连市 2012 年海水浴场环境质量监测结果统计表,监测时段:2012 年 7 月至 9 月 浴场名称优(%)良(%)差(%) 浴场 125750 浴场 230700 浴场 330700 浴场 440600 浴场 550500 浴场 630700 浴场 710900 浴场 8105040 根据以上信息,解答下列问题: (1)2012 年 7 月至 9 月被监测的 8 个海水浴场环境质量最好的是 浴场 5 (填浴场名称) ,海水浴场环境质量为优的数据的众数为 30 %
19、,海水浴场环境质量为良的数据的中位 数为 70 %; (2)2012 年大连市区空气质量达到优的天数为 129 天,占全年(366)天的百分比约 为 35.2% (精确到 0.1%) ; (3)求 2012 年大连市区空气质量为良的天数(按四舍五入,精确到个位) 考点: 条形统计图;用样本估计总体;统计表;中位数;众数分析: (1)根据优所占的百分比越大,良的百分比越小,即可得出 8 个海水浴场环境质量 最好的浴场;再根据众数的定义和中位数的定义即可得出答案;众数是一组数据中 出现次数最多的数;中位数是中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)
20、 (2)根据图形所给的数可直接得出 2012 年大连市区空气质量达到优的天数,总用 得出的天数除以 366,即可得出所占的百分比; (3)根据污染的天数所占的百分比求出污染的天数,再用总天数减去优的天数和污 染的天数,即可得出良的天数 解答: 解:(1)2012 年 7 月至 9 月被监测的 8 个海水浴场环境质量最好的是浴场 5, 海水浴场环境质量为优的数据 30 出现了 3 次,出现的次数最多, 则海水浴场环境质量为优的数据的众数为 30; 把海水浴场环境质量为良的数据从小到大排列为: 50,50,60,70,70,70,75,90, 海水浴场环境质量为良的数据的中位数为(70+70)2=
21、70; 故答案为:浴场 5,30,70;(2)从条形图中可以看出 2012 年大连市区空气质量达到优的天数为 129 天,所占的百分比是100%=35.2%;故答案为:129,35.2%;(3)污染的天数是:3663.8%14(天) ,良的天数是 36612914=223(天) ,答:2012 年大连市区空气质量为良的天数是 223 天 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键;条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据; 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小;众数是一组数据中出现次数最多的 数;中位数是中位数是将一组数
22、据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的 那个数(或最中间两个数的平均数四、解答题(本题共四、解答题(本题共 3 小题,其中小题,其中 21、22 题各题各 9 分,分,23 题题 10 分,共分,共 28 分)分) 21 (9 分) (2013大连)某超市购进 A、B 两种糖果,A 种糖果用了 480 元,B 种糖果用 了 1260 元,A、B 两种糖果的重量比是 1:3,A 种糖果每千克的进价比 B 种糖果每千克的 进价多 2 元A、B 两种糖果各购进多少千克?考点: 分式方程的应用分析: 先设 A 种糖果购进 x 千克,则 B 种糖果购进 3x 千克,根据 A、B 两种糖果的重量比
23、是 1:3,A 种糖果每千克的进价比 B 种糖果每千克的进价多 2 元,列出不等式,求 出 x 的值,再进行检验即可得出答案 解答: 解:设 A 种糖果购进 x 千克,则 B 种糖果购进 3x 千克,根据题意得:=2,解得:x=30, 经检验 x=30 是原方程的解, 则 B 购进的糖果是:303=90(千克) ,答:A 种糖果购进 30 千克,B 种糖果购进 90 千克 点评: 此题考查了分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键,等量关系为:价格=22 (9 分) (2013大连)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象
24、相交于点 A(m,1) 、B(1,n) ,与 x 轴相交于点 C(2,0) ,且AC=OC(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)直接写出不等式 ax+b 的解集考点: 反比例函数与一次函数的交点问题专题: 计算题分析: (1)过 A 作 AD 垂直于 x 轴,如图所示,由 C 的坐标求出 OC 的长,根据AC=OC 求出 AC 的长,由 A 的纵坐标为 1,得到 AD=1,利用勾股定理求出 CD的长,有 OC+CD 求出 OD 的长,确定出 m 的值,将 A 于与 C 坐标代入一次函数解 析式求出 a 于 b 的值,即可得出一次函数解析式;将 A 坐标代入反比例函数解析式 求出 k 的
25、值,即可确定出反比例解析式; (2)将 B 坐标代入反比例解析式中求出 n 的值,确定出 B 坐标,利用图形即可得 出所求不等式的解集 解答: 解:(1)过 A 作 ADx 轴,可得 AD=1, C(2,0) ,即 OC=2,OA=OC=,在 RtACD 中,根据勾股定理得:CD=1, OD=OC+CD=2+1=3, A(3,1) ,将 A 与 C 坐标代入一次函数解析式得:,解得:a=1,b=2,一次函数解析式为 y=x2;将 A(3,1)代入反比例解析式得:k=3,则反比例解析式为 y= ;(2)将 B(1,n)代入反比例解析式得:n=3,即 B(1,3) ,根据图形得:不等式 ax+b
26、的解集为1x0 或 x3点评: 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:坐标与图形性质, 待定系数法求函数解析式,利用啦数形结合的思想,熟练掌握待定系数法是解本题 的关键23 (10 分) (2013大连)如图,AB 是O 的直径,CD 与O 相切于点 C,DAAB,DO 及 DO 的延长线与O 分别相交于点 E、F,EB 与 CF 相交于点 G (1)求证:DA=DC; (2)O 的半径为 3,DC=4,求 CG 的长考点: 切线的判定;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质分析: (1)连接 OC,DAO=DCO=90,根据 HL 证 RtDAORtDCO,根据全等三角
27、 形的性质推出即可; (2)连接 BF、CE、AC,由切线长定理求出 DC=DA=4,求出 DO=5,CM、AM 的长,由勾股定理求出 BC 长,根据BGCEGF 求出= ,则 CG= CF;利用勾股定理求出 CF 的长,则 CG 的长度可求得 解答: (1)证明:连接 OC, DC 是O 切线, OCDC, OADA, DAO=DCO=90, 在 RtDAO 和 RtDCO 中RtDAORtDCO(HL) , DA=DC(2)解:连接 BF、CE、AC, 由切线长定理得:DC=DA=4,DOAC, DO 平分 AC, 在 RtDAO 中,AO=3,AD=4,由勾股定理得:DO=5,由三角形面
28、积公式得: DAAO= DOAM,则 AM=,同理 CM=AM=,AC=AB 是直径, ACB=90,由勾股定理得:BC=GCB=GEF,GFE=GBC, (圆周角定理) BGCEGF,= ,在 RtOMC 中,CM=,OC=3,由勾股定理得:OM= ,在 RtEMC 中,CM=,ME=OEOM=3 = ,由勾股定理得:CE=,在 RtCEF 中,EF=6,CE=,由勾股定理得:CF=CF=CG+GF,= ,CG= CF= =点评: 本题考查了切线的判定和性质,切线长定理,勾股定理,全等三角形的性质和判定, 相似三角形的性质和判定,圆周角定理等知识点的应用,主要考查学生综合运用定 理进行推理和
29、计算的能力,综合性比较强,难度偏大五、解答题(本题共五、解答题(本题共 3 小题,其中小题,其中 24 题题 11 分,分,25、26 题各题各 12 分,共分,共 35 分)分)24 (11 分) (2013大连)如图,一次函数 y= x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点A、BP 是射线 BO 上的一个动点(点 P 不与点 B 重合) ,过点 P 作 PCAB,垂足为 C, 在射线 CA 上截取 CD=CP,连接 PD设 BP=t (1)t 为何值时,点 D 恰好与点 A 重合? (2)设PCD 与AOB 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并直接写出 t 的取 值范
30、围考点: 一次函数综合题分析: (1)首先求出点 A、B 的坐标,然后在 RtBCP 中,解直角三角形求出 BC,CP 的 长度;进而利用关系式 AB=BC+CD,列方程求出 t 的值; (2)点 P 运动的过程中,分为四个阶段,需要分类讨论:当 0t时,如题图所示,重合部分为PCD;当t4 时,如答图 1 所示,重合部分为四边形 ACPE;当 4t时,如答图 2 所示,重合部分为ACE;当 t时,无重合部分解答:解:(1)在一次函数解析式 y= x+4 中,令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=3,A(3,0) ,B(0,4) 在 RtAOB 中,OA=3,OB=4,由勾股定理得:AB
31、=5在 RtBCP 中,CP=PBsinABO= t,BC=PBcosABO= t,CD=CP= t若点 D 恰好与点 A 重合,则 BC+CD=AB,即 t+ t=5,解得:t=,当 t=时,点 D 恰好与点 A 重合(2)当点 P 与点 O 重合时,t=4;当点 C 与点 A 重合时,由 BC=BA,即 t=5,得 t=点 P 在射线 BO 上运动的过程中:当 0t时,如题图所示:此时 S=SPCD= CPCD= t t=t2;当t4 时,如答图 1 所示,设 PC 与 x 轴交于点 EBD=BC+CD= t+ t= t,过点 D 作 DNy 轴于点 N,则ND=BDsinABO= t =
32、t,BN=BDcosABO= t =tPN=BNBP=tt=t,ON=BNOB=t4NDx 轴,即,得:OE=287tAE=OAOE=3(287t)=7t25故 S=SPCDSADE= CPCD AEON=t2 (7t25) (t4)=t2+28t50;当 4t时,如答图 2 所示,设 PC 与 x 轴交于点 EAC=ABBC=5 t,tanOAB= ,CE=ACtanOAB=(5 t) =t故 S=SACE= ACCE= (5 t)(t)=t2t+;当 t时,无重合部分,故 S=0综上所述,S 与 t 的函数关系式为:S=点评: 本题考查了典型的运动型综合题,且计算量较大,有一定的难度解题关
33、键在于: 一,分析点 P 的运动过程,区分不同的阶段,分类讨论计算,避免漏解;二,善于 利用图形面积的和差关系计算所求图形的面积;三,认真计算,避免计算错误25 (12 分) (2013大连)将ABC 绕点 B 逆时针旋转 得到DBE,DE 的延长线与 AC 相交于点 F,连接 DA、BF (1)如图 1,若ABC=60,BF=AF 求证:DABC;猜想线段 DF、AF 的数量关系,并证明你的猜想;(2)如图 2,若ABC,BF=mAF(m 为常数) ,求的值(用含 m、 的式子表示) 考点: 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;解直角三角 形 分析: (1)由旋转性质
34、证明ABD 为等边三角形,则DAB=ABC=60,所以 DABC; (2)如答图 1 所示,作辅助线(在 DF 上截取 DG=AF,连接 BG) ,构造全等三 角形DBGABF,得到 BG=BF,DBG=ABF;进而证明BGF 为等边三角形, 则 GF=BF=AF;从而 DF=2AF; 与类似,作辅助线,构造全等三角形DBGABF,得到 BG=BF,DBG=ABF,由此可知BGF 为顶角为 的等腰三角形,解直角三角形 求出 GF 的长度,从而得到 DF 长度,问题得解 解答: (1)证明:由旋转性质可知,DBE=ABC=60,BD=AB ABD 为等边三角形,DAB=60, DAB=ABC,
35、DABC 猜想:DF=2AF 证明:如答图 1 所示,在 DF 上截取 DG=AF,连接 BG由旋转性质可知,DB=AB,BDG=BAF 在DBG 与ABF 中,DBGABF(SAS) , BG=BF,DBG=ABF DBG+GBE=60, GBE+ABF=60,即GBF=60, 又BG=BF, BGF 为等边三角形, GF=BF,又 BF=AF, GF=AF DF=DG+GF=AF+AF=2AF(2)解:如答图 2 所示,在 DF 上截取 DG=AF,连接 BG由(1) ,同理可证明DBGABF,BG=BF,GBF= 过点 B 作 BNGF 于点 N,BG=BF,点 N 为 GF 中点,FB
36、N=在 RtBFN 中,NF=BFsinFBN=BFsin=mAFsinGF=2NF=2mAFsinDF=DG+GF=AF+2mAFsin,=1+2msin点评: 本题是几何综合题,考查了旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判 定与性质、解直角三角形等知识点难点在于第(2)问,解题关键是构造全等三角 形得到等腰三角形,同学们往往不能由此突破而陷入迷途26 (12 分) (2013大连)如图,抛物线 y= x2+x4 与 x 轴相交于点 A、B,与 y 轴相交于点 C,抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 MP 是抛物线在 x 轴上方的一个动点(点 P、M、C 不在同一条直线上) 分别过点
37、 A、B 作直线 CP 的垂线,垂足分别为 D、E,连 接点 MD、ME (1)求点 A,B 的坐标(直接写出结果) ,并证明MDE 是等腰三角形; (2)MDE 能否为等腰直角三角形?若能,求此时点 P 的坐标;若不能,说明理由; (3)若将“P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点(点 P、M、C 不在同一条直线上) ”改为“P 是 抛物线在 x 轴下方的一个动点”,其他条件不变,MDE 能否为等腰直角三角形?若能, 求此时点 P 的坐标(直接写出结果) ;若不能,说明理由考点: 二次函数综合题分析: (1)在抛物线解析式中,令 y=0,解一元二次方程,可求得点 A、点 B 的坐标; 如答图
38、1 所示,作辅助线,构造全等三角形AMFBME,得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF 的中点,从而得到 MD=ME,问题得证; (2)首先分析,若MDE 为等腰直角三角形,直角顶点只能是点 M如答图 2 所 示,设直线 PC 与对称轴交于点 N,首先证明ADMNEM,得到 MN=AM,从而 求得点 N 坐标为(3,2) ;其次利用点 N、点 C 坐标,求出直线 PC 的解析式;最后 联立直线 PC 与抛物线的解析式,求出点 P 的坐标 (3)当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时,解题思路与(2)完全相同 解答:解:(1)抛物线解析式为 y= x2+x4,令 y=0,即 x2+x4=
39、0,解得 x=1 或 x=5,A(1,0) ,B(5,0) 如答图 1 所示,分别延长 AD 与 EM,交于点 FADPC,BEPC,ADBE,MAF=MBE 在AMF 与BME 中,AMFBME(ASA) , ME=MF,即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点, MD=ME,即MDE 是等腰三角形(2)答:能抛物线解析式为 y= x2+x4= (x3)2+,对称轴是直线 x=3,M(3,0) ;令 x=0,得 y=4,C(0,4) MDE 为等腰直角三角形,有 3 种可能的情形: 若 DEEM, 由 DEBE,可知点 E、M、B 在一条直线上, 而点 B、M 在 x 轴上,因此点 E
40、必然在 x 轴上, 由 DEBE,可知点 E 只能与点 O 重合,即直线 PC 与 y 轴重合, 不符合题意,故此种情况不存在; 若 DEDM,与同理可知,此种情况不存在; 若 EMDM,如答图 2 所示:设直线 PC 与对称轴交于点 N, EMDM,MNAM,EMN=DMA 在ADM 与NEM 中,ADMNEM(ASA) , MN=MA抛物线解析式为 y= x2+x4= (x3)2+,故对称轴是直线 x=3,M(3,0) ,MN=MA=2, N(3,2) 设直线 PC 解析式为 y=kx+b,点 N(3,2) ,C(0,4)在抛物线上,解得 k=2,b=4,y=2x4将 y=2x4 代入抛物
41、线解析式得:2x4= x2+x4,解得:x=0 或 x= ,当 x=0 时,交点为点 C;当 x= 时,y=2x4=3P( ,3) 综上所述,MDE 能成为等腰直角三角形,此时点 P 坐标为( ,3) (3)答:能 如答题 3 所示,设对称轴与直线 PC 交于点 N 与(2)同理,可知若MDE 为等腰直角三角形,直角顶点只能是点 MMDME,MAMN,DMN=EMB 在DMN 与EMB 中,DMNEMB(ASA) , MN=MBN(3,2) 设直线 PC 解析式为 y=kx+b,点 N(3,2) ,C(0,4)在抛物线上,解得 k= ,b=4,y= x4将 y= x4 代入抛物线解析式得: x4= x2+x4,解得:x=0 或 x=,当 x=0 时,交点为点 C;当 x=时,y= x4=P(,) 综上所述,MDE 能成为等腰直角三角形,此时点 P 坐标为(,) 点评: 本题是二次函数综合题型,考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点,题目难度较大第 (2) (3)问均为存在型问题,且解题思路完全相同,可以互相借鉴印证
限制150内