2014版挑战中考数学压轴题详解(115页).doc
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1、1目目 录录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.11.1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题 例 2 2012 年苏州市中考第 29 题 例 3 2012 年黄冈市中考第 25 题 例 4 2010 年义乌市中考第 24 题 例 5 2009 年临沂市中考第 26 题 例 6 2008 年苏州市中考第 29 题1.21.2 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年扬州市中考第 27 题 例 3 2012 年临沂市中考第 26 题 例 4 201
2、1 年湖州市中考第 24 题 例 5 2011 年盐城市中考第 28 题 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 例 7 2009 年江西省中考第 25 题1.31.3 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 例 1 2013 年山西省中考第 26 题 例 2 2012 年广州市中考第 24 题 例 3 2012 年杭州市中考第 22 题 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 例 7 2008 年河南省中考第 23 题1.41.4 因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题
3、 例 1 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题 例 2 2012 年福州市中考第 21 题 例 3 2012 年烟台市中考第 26 题 例 4 2011 年上海市中考第 24 题 例 5 2011 年江西省中考第 24 题 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 例 7 2009 年江西省中考第 24 题 1.51.5 因动点产生的梯形问题因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题2例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 例 7 2009 年广州市中考第 25
4、题 1.61.6 因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例 1 2013 年苏州市中考第 29 题 例 2 2012 年菏泽市中考第 21 题 例 3 2012 年河南省中考第 23 题 例 4 2011 年南通市中考第 28 题 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 1.71.7 因动点产生的相切问题因动点产生的相切问题 例 1 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年河北省中考第 25 题 例 3 2012 年无锡市中考第 28 题 1.81.8 因动点产生的线段和差
5、问题因动点产生的线段和差问题 例 1 2013 年天津市中考第 25 题 例 2 2012 年滨州市中考第 24 题 例 3 2012 年山西省中考第 26 题第二部分 图形运动中的函数关系问题2.12.1 由比例线段产生的函数关系问题由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2013 年宁波市中考第 26 题 例 2 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 3 2012 年连云港市中考第 26 题 例 4 2010 年上海市中考第 25 题2.22.2 由面积公式产生的函数关系问题由面积公式产生的函数关系问题 例 1 2013 年菏泽市中考第 21 题 例 2 2012 年广东省中考第
6、 22 题 例 3 2012 年河北省中考第 26 题 例 4 2011 年淮安市中考第 28 题 例 5 2011 年山西省中考第 26 题 例 6 2011 年重庆市中考第 26 题第三部分图形运动中的计算说理问题3.13.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2013 年南京市中考第 26 题 例 2 2013 年南昌市中考第 25 题 3.23.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 例 2 2013 年江西省中考第 24 题3第一部分 函数图象中点的存在
7、性问题1.11.1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例 1 1 20132013 年上海市中考第年上海市中考第 2424 题题 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 M 的抛物线 yax2bx(a0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B,AOBO2,AOB120 (1)求这条抛物线的表达式; (2)连结 OM,求AOM 的大小; (3)如果点 C 在 x 轴上,且ABC 与AOM 相似,求点 C 的坐标图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“13 上海 24” ,拖动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在 点 B 的右侧,有两种情况,ABC
8、与AOM 相似 请打开超级画板文件名“13 上海 24” ,拖动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在 点 B 的右侧,有两种情况,ABC 与AOM 相似点击按钮的左部和中部,可到达相似 的准确位置。思路点拨思路点拨1第(2)题把求AOM 的大小,转化为求BOM 的大小 2因为BOMABO30,因此点 C 在点 B 的右侧时,恰好有 ABCAOM 3根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论ABC 与AOM 相似 满分解答满分解答(1)如图 2,过点 A 作 AHy 轴,垂足为 H 在 RtAOH 中,AO2,AOH30,所以 AH1,OH3所以 A( 1, 3) 因为抛物线与 x 轴
9、交于 O、B(2,0)两点,设 yax(x2),代入点 A( 1, 3),可得3 3a 图 2所以抛物线的表达式为2332 3(2)333yx xxx(2)由2232 333(1)3333yxxx,得抛物线的顶点 M 的坐标为3(1,)3所以3tan3BOM所以BOM30所以AOM150(3)由 A( 1, 3)、B(2,0)、M3(1,)3,4得3tan3ABO,2 3AB ,2 3 3OM 所以ABO30,3OA OM因此当点 C 在点 B 右侧时,ABCAOM150 ABC 与AOM 相似,存在两种情况:如图 3,当3BAOA BCOM时,2 3233BABC 此时 C(4,0)如图 4
10、,当3BCOA BAOM时,332 36BCBA此时 C(8,0)图 3 图 4考点伸展考点伸展在本题情境下,如果ABC 与BOM 相似,求点 C 的坐标 如图 5,因为BOM 是 30底角的等腰三角形,ABO30,因此ABC 也是底角 为 30的等腰三角形,ABAC,根据对称性,点 C 的坐标为(4,0)图 55例例 2 2 20122012 年苏州市中考第年苏州市中考第 2929 题题如图 1,已知抛物线211(1)444byxbx(b 是实数且 b2)与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B(点 A 位于点 B 是左侧) ,与 y 轴的正半轴交于点 C (1)点 B 的坐标为_,点 C 的坐
11、标为_(用含 b 的代数式表示) ; (2)请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形 PCOB 的面积等于 2b,且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在, 请说明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q,使得QCO、QOA 和QAB 中 的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点 Q 的坐标; 如果不存在,请说明理由图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ,拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动,可以体验到, 点 P 到两坐标轴的距离相等,存在四边形 PCOB 的面积等于
12、 2b 的时刻双击按钮“第 (3)题” ,拖动点 B,可以体验到,存在OQAB 的时刻,也存在OQAB 的时 刻思路点拨思路点拨1第(2)题中,等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等 2联结 OP,把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含 b 的式子 表示 3第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上 满分解答满分解答(1)B 的坐标为(b, 0),点 C 的坐标为(0, 4b)(2)如图 2,过点 P 作 PDx 轴,PEy 轴,垂足分别为 D、E,那么PDB PEC 因
13、此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3,联结 OP所以 S四边形 PCOBSPCOSPBO115 2428bxb xbx 2b解得16 5x 所以点 P 的坐标为(16 16,55)6图 2 图 3(3)由2111(1)(1)()4444byxbxxxb,得 A(1, 0),OA1如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么OQCQOA当BAQA QAOA,即2QABA OA时,BQAQOA所以2( )14bb解得84 3b 所以符合题意的点 Q 为(1,23)如图 5,以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q,那么OQC90。 因此OCQQOA当BAQA QAO
14、A时,BQAQOA此时OQB90所以 C、Q、B 三点共线因此BOQA COOA,即 1 4bQA b解得4QA 此时 Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展考点伸展第(3)题的思路是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而 QOA 与QOC 是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样,先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来,再根据两直角边对应成 比例确定点 B 的位置 如图中,圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢? 如果符合题意的话,那么点 B 的位置距离点 A 很近,这与 OB4OC 矛盾7例例 3 3 201220
15、12 年黄冈市中考模拟第年黄冈市中考模拟第 2525 题题如图 1,已知抛物线的方程 C1:1(2)()yxxmm (m0)与 x 轴交于点 B、C,与y 轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧 (1)若抛物线 C1 过点 M(2, 2),求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求BCE 的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BHEH 最小,求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“1
16、2 黄冈 25” ,拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动,观察左图,可 以体验到,EC 与 BF 保持平行,但是BFC 在无限远处也不等于 45观察右图,可以 体验到,CBF 保持 45,存在BFCBCE 的时刻思路点拨思路点拨1第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当 H 落在线段 EC 上时,BHEH 最小 2第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线 BF,作CBFEBC45,或 者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列 关于 m 的方程 满分解答满分解答(1)将 M(2, 2)代入1(2)()yxxmm ,得124(2)mm 解得 m4(2)当
17、m4 时,2111(2)(4)2442yxxxx 所以 C(4, 0),E(0, 2)所以 SBCE116 2622BC OE (3)如图 2,抛物线的对称轴是直线 x1,当 H 落在线段 EC 上时,BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么HPEO CPCO因此2 34HP解得3 2HP 所以点 H 的坐标为3(1, )2(4)如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC,所以当CEBC CBBF,即2BCCE BF时,BCEFBC设点 F 的坐标为1( ,(2)()xxxmm,由 FFEO BFCO,得1(2)()2 2xx
18、mm xm 解得 xm2所以 F(m2, 0)8由COBF CEBF,得 244mm BFm 所以2(4)4mmBFm由2BCCE BF,得2 22(4)4(2)4mmmmm整理,得 016此方程无解图 2 图 3 图 4 如图 4,作CBF45交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F,由于EBCCBF,所以BEBC BCBF,即2BCBE BF时,BCEBFC在 RtBFF中,由 FFBF,得1(2)()2xxmxm解得 x2m所以 F(2 ,0)m所以 BF2m2,2(22)BFm由2BCBE BF,得2(2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、,符合题意的 m 为22 2 考
19、点伸展考点伸展第(4)题也可以这样求 BF 的长:在求得点 F、F 的坐标后,根据两点间的距离公式 求 BF 的长9例例 4 4 20102010 年义乌市中考第年义乌市中考第 2424 题题如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O(0,0) 、A(2,0) 、B(6,3) (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标; (2)将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平 移,分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、
20、(x2,y2)用含 S 的代数式表示 x2x1,并求 出当 S=36 时点 A1的坐标; (3)在图 1 中,设点 D 的坐标为(1,3),动点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度 的速度沿着线段 BC 运动,动点 Q 从点 D 出发,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运 动P、Q 两点同时出发,当点 Q 到达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的 运动时间为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请 说明理由图 1 图 2 动感体验动感体
21、验请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ,拖动点 I 上下运动,观察图形和图象,可以体 验到,x2x1随 S 的增大而减小双击按钮“第(3)题” ,拖动点 Q 在 DM 上运动,可以 体验到,如果GAFGQE,那么GAF 与GQE 相似思路点拨思路点拨1第(2)题用含 S 的代数式表示 x2x1,我们反其道而行之,用 x1,x2表示 S再注 意平移过程中梯形的高保持不变,即 y2y13通过代数变形就可以了 2第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的 位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证 3第(3)题的示意图,不变的关系是:直线 AB 与 x
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