2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编:25 矩形菱形与正方形.doc
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1、1矩形菱形与正方形矩形菱形与正方形一、选择题一、选择题1. ( 2014安徽省,第 10 题 4 分)如图,正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2,若直线 l满足:点 D 到直线 l 的距离为;A、C 两点到直线 l 的距离相等则符合题意的直线 l 的条数为( )A1B2C3D4考点:正方形的性质分析:连接 AC 与 BD 相交于 O,根据正方形的性质求出 OD=,然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答解答:解:如图,连接 AC 与 BD 相交于 O,正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2,OD=,直线 lAC 并且到 D 的距离为,同理,在点 D 的另一侧还有一条直线满足条件
2、,故共有 2 条直线 l故选 B点评:本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线互相垂直平分,点 D 到 O的距离小于是本题的关键22. ( 2014福建泉州,第 5 题 3 分)正方形的对称轴的条数为( )A1B2C3D4考点: 轴对称的性质分析: 根据正方形的对称性解答解答: 解:正方形有 4 条对称轴故选 D点评: 本题考查了轴对称的性质,熟记正方形的对称性是解题的关键3. (2014珠海,第 2 题 3 分)边长为 3cm 的菱形的周长是( )A6cmB9cmC12cmD15cm考点: 菱形的性质分析: 利用菱形的各边长相等,进而求出周长即可解答: 解:菱形的各边长相等,边长为
3、3cm 的菱形的周长是:34=12(cm) 故选:C点评: 此题主要考查了菱形的性质,利用菱形各边长相等得出是解题关键4.(2014广西玉林市、防城港市,第 6 题 3 分)下列命题是假命题的是( )3A四个角相等的四边形是矩形B对角线相等的平行四边形是矩形C对角线垂直的四边形是菱形D对角线垂直的平行四边形是菱形考点: 命题与定理分析: 根据矩形的判定对 A、B 进行判断;根据菱形的判定方法对 C、D 进行判断解答: 解:A、四个角相等的四边形是矩形,所以 A 选项为真命题;B、对角线相等的平行四边形是矩形,所以 B 选项为真命题;C、对角线垂直的平行四边形是菱形,所以 C 选项为假命题;D、
4、对角线垂直的平行四边形是菱形,所以 D 选项为真命题故选 C点评: 本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理5.(2014毕节地区,第 8 题 3 分)如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BC 相交于点 O,H为 AD 边中点,菱形 ABCD 的周长为 28,则 OH 的长等于( )A3.5B4C7D14考点:菱形的性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理分析:根据菱形的四条边都相等求出 AB,菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出 OH 是ABD 的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第
5、三边的一半可得 OH= AB4解答:解:菱形 ABCD 的周长为 28,AB=284=7,OB=OD,H 为 AD 边中点,OH 是ABD 的中位线,OH= AB= 7=3.5故选 A点评:本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记性质与定理是解题的关键6.(2014襄阳,第 12 题 3 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,且AE= AB,将矩形沿直线 EF 折叠,点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处,连接 BP 交 EF 于点Q,对于下列结论:EF=2BE;PF=2PE;FQ=4EQ;PBF 是等边三角形
6、其中正确的是( )ABCD考点: 翻折变换(折叠问题) ;矩形的性质分析: 求出 BE=2AE,根据翻折的性质可得 PE=BE,再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30,然后求出AEP=60,再根据翻折的性质求出BEF=60,根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30,然后根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 EF=2BE,判断出正确;利用 30角的正切值求出 PF=PE,判断出错误;求出 BE=2EQ,EF=2BE,然后求出 FQ=3EQ,判断出错误;求出PBF=PFB=60,然后得到PBF 是等边三角形,判断出正确5解答:解:AE= AB,BE=2A
7、E,由翻折的性质得,PE=BE,APE=30,AEP=9030=60,BEF= (180AEP)= (18060)=60,EFB=9060=30,EF=2BE,故正确;BE=PE,EF=2PE,EFPF,PF2PE,故错误;由翻折可知 EFPB,EBQ=EFB=30,BE=2EQ,EF=2BE,FQ=3EQ,故错误;由翻折的性质,EFB=BFP=30,BFP=30+30=60,PBF=90EBQ=9030=60,PBF=PFB=60,PBF 是等边三角形,故正确;综上所述,结论正确的是故选 D点评: 本题考查了翻折变换的性质,直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,直角三角形两锐角
8、互余的性质,等边三角形的判定,熟记各性质并准确识图是解题的关键67.(2014孝感,第 9 题 3 分)如图,正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点 D(5,3)在边 AB 上,以 C 为中心,把CDB 旋转 90,则旋转后点 D 的对应点 D的坐标是( )A(2,10)B(2,0)C(2,10)或(2,0)D(10,2)或(2,0)考点: 坐标与图形变化-旋转分析: 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可解答: 解:点 D(5,3)在边 AB 上,BC=5,BD=53=2,若顺时针旋转,则点 D在 x 轴上,OD=2,所以,D(2,0) ,若逆时针旋转,则点
9、 D到 x 轴的距离为 10,到 y 轴的距离为 2,所以,D(2,10) ,综上所述,点 D的坐标为(2,10)或(2,0) 故选 C点评: 本题考查了坐标与图形变化旋转,正方形的性质,难点在于分情况讨论8 (2014台湾,第 12 题 3 分)如图,D 为ABC 内部一点,E、F 两点分别在 AB、BC 上,且四边形 DEBF 为矩形,直线 CD 交 AB 于 G 点若 CF6,BF9,AG8,则ADC的面积为何?( )7A16B24C36D54分析:由于ADCAGCADG,根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解解:ADCAGCADG AGBC AGBF1212 8(69) 8960
10、36241212故选:B点评:考查了三角形的面积和矩形的性质,本题关键是活用三角形面积公式进行计算9 (2014台湾,第 27 题 3 分)如图,矩形 ABCD 中,AD3AB,O 为 AD 中点,是半圆甲、乙两人想在上取一点 P,使得PBC 的面积等于矩形 ABCD 的面积其作法如下:(甲) 延长 BO 交于 P 点,则 P 即为所求;(乙) 以 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交于 P 点,则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?( )A两人皆正确B两人皆错误 C甲正确,乙错误 D甲错误,乙正确分析:利用三角形的面积公式进而得出需 P甲HP乙K2AB,即可得出答案解:要使得
11、PBC 的面积等于矩形 ABCD 的面积,需 P甲HP乙K2AB故两人皆错误故选:B8点评:此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质,利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键10 (2014浙江宁波,第 6 题 4 分)菱形的两条对角线长分别是 6 和 8,则此菱形的边长是( )A10B8C6D5考点:菱形的性质;勾股定理分析:根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长解答:解:四边形 ABCD 是菱形,AC=8,BD=6,OB=OD=3,OA=OC=4,ACBD,在 RtAOB 中,由勾股定理得:AB=5,即菱形 ABCD 的边长 AB=BC=CD=AD=5,故选 D点评:本题考查了菱形的
12、性质和勾股定理,关键是求出 OA、OB 的长,注意:菱形的对角线互相平分且垂直911 (2014浙江宁波,第 11 题 4 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG上,BC=1,CE=3,H 是 AF 的中点,那么 CH 的长是( )A2.5BCD2考点:直角三角形斜边上的中线;勾股定理;勾股定理的逆定理分析:连接 AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,ACD=GCF=45,再求出ACF=90,然后利用勾股定理列式求出 AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可解答:解:如图,连接 AC、CF,正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,BC=1,C
13、E=3,AC=,CF=3,ACD=GCF=45,ACF=90,由勾股定理得,AF=2,H 是 AF 的中点,CH= AF= 2=故选 B10点评:本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,正方形的性质,勾股定理,熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键11.(2014呼和浩特,第 9 题 3 分)已知矩形 ABCD 的周长为 20cm,两条对角线 AC,BD相交于点 O,过点 O 作 AC 的垂线 EF,分别交两边 AD,BC 于 E,F(不与顶点重合) ,则以下关于CDE 与ABF 判断完全正确的一项为( )ACDE 与ABF 的周长都等于 10cm,但面积不一定相等BC
14、DE 与ABF 全等,且周长都为 10cmCCDE 与ABF 全等,且周长都为 5cmDCDE 与ABF 全等,但它们的周长和面积都不能确定考点: 矩形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质分析: 根据矩形的性质,AO=CO,由 EFAC,得 EA=EC,则CDE 的周长是矩形周长的一半,再根据全等三角形的判定方法可求出CDE 与ABF 全等,进而得到问题答案解答: 解:AO=CO,EFAC,EF 是 AC 的垂直平分线,EA=EC,CDE 的周长=CD+DE+CE=CD+AD= 矩形 ABCD 的周长=10cm,同理可求出ABF 的周长为 10cm,根据全等三角形的判定方法可知
15、:CDE 与ABF 全等,故选 B11点评: 本题考查了矩形的对角线互相平分的性质,还考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定方法,题目的难度不大12. (2014湘潭,第 7 题,3 分)以下四个命题正确的是( )A任意三点可以确定一个圆B菱形对角线相等C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D平行四边形的四条边相等考点: 命题与定理分析: 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案解答: 解:A、不在同一直线上的三点确定一个圆,故错误;B、菱形的对角线垂直但不一定相等,故错误;C、正确;D、平行四边形的四条边不一定相等故选 C点评:
16、 本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质,难度一般13. (2014株洲,第 7 题,3 分)已知四边形 ABCD 是平行四边形,再从AB=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD 四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形 ABCD 是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )A选B选C选D选考点: 正方形的判定;平行四边形的性质分析: 要判定是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形12解答: 解:A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以平行四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选
17、项不符合题意;B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形 ABCD 是正方形,错误,故本选项符合题意;C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意;D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意故选 B点评: 本题考查了正方形的判定方法:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角还可以先判定四边形是平
18、行四边形,再用 1 或 2 进行判定14. (2014 年江苏南京,第 6 题,2 分)如图,在矩形 AOBC 中,点 A 的坐标是(2,1) ,点 C 的纵坐标是 4,则 B、C 两点的坐标分别是( )(第 3 题图)A ( ,3) 、 ( ,4)B( ,3) 、 ( ,4)C ( , ) 、 ( ,4)D ( , ) 、 ( ,4)考点:矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。分析:首先过点 A 作 ADx 轴于点 D,过点 B 作 BEx 轴于点 E,过点 C 作 CFy轴,过点 A 作 AFx 轴,交点为 F,易得CAFBOE,AODOBE,然后由相似三角形的对应
19、边成比例,求得答案13解答:过点 A 作 ADx 轴于点 D,过点 B 作 BEx 轴于点 E,过点 C 作 CFy 轴,过点 A 作 AFx 轴,交点为 F,四边形 AOBC 是矩形,ACOB,AC=OB,CAF=BOE,在ACF 和OBE 中,CAFBOE(AAS) ,BE=CF=41=3,AOD+BOE=BOE+OBE=90,AOD=OBE,ADO=OEB=90,AODOBE,即,OE= ,即点 B( ,3) ,AF=OE= ,点 C 的横坐标为:(2 )= ,点 D( ,4) 故选 B点评:此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中,注意掌握辅助
20、线的作法,注意掌握数形结合思想的应用二二.填空题填空题1. ( 2014福建泉州,第 14 题 4 分)如图,RtABC 中,ACB=90,D 为斜边 AB 的中点,AB=10cm,则 CD 的长为 5 cm考点: 直角三角形斜边上的中线分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD= AB解答: 解:ACB=90,D 为斜边 AB 的中点,CD= AB= 10=5cm故答案为:5点评: 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关14键2(2014 年四川资阳,第 15 题 3 分)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E 是 AB 边上的一点,且
21、 AE=3,点 Q 为对角线 AC 上的动点,则BEQ 周长的最小值为 考点:轴对称-最短路线问题;正方形的性质分析:连接 BD,DE,根据正方形的性质可知点 B 与点 D 关于直线 AC 对称,故 DE 的长即为 BQ+QE 的最小值,进而可得出结论解答:解:连接 BD,DE,四边形 ABCD 是正方形,点 B 与点 D 关于直线 AC 对称,DE 的长即为 BQ+QE 的最小值,DE=BQ+QE=5,BEQ 周长的最小值=DE+BE=5+1=6故答案为:6点评:本题考查的是轴对称最短路线问题,熟知轴对称的性质是解答此题的关键3.(2014孝感,第 16 题 3 分)如图,已知矩形 ABCD
22、,把矩形沿直线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处,连接 DE、BE,若ABE 是等边三角形,则= 15考点: 翻折变换(折叠问题) 分析: 过 E 作 EMAB 于 M,交 DC 于 N,根据矩形的性质得出DC=AB,DCAB,ABC=90,设 AB=AE=BE=2a,则 BC=a,即 MN=a,求出 EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案解答:解: 过 E 作 EMAB 于 M,交 DC 于 N,四边形 ABCD 是矩形,DC=AB,DCAB,ABC=90,MN=BC,ENDC,延 AC 折叠 B 和 E 重合,AEB 是等边三角形,EAC=BAC=30,设 AB=AE
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