2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编:28 锐角三角函数与特殊角.doc
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1、1锐角三角函数与特殊角锐角三角函数与特殊角一、选择题一、选择题1.(2014 年广东汕尾,第 7 题 4 分)在 RtABC 中,C=90,若 sinA= ,则 cosB 的值是( )ABCD分析:根据互余两角的三角函数关系进行解答解:C=90,A+B=90,cosB=sinA,sinA= ,cosB= 故选 B点评:本题考查了互余两角的三角函数关系,熟记关系式是解题的关键2.(2014毕节地区,第 15 题 3 分)如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O,点 C 恰好在半圆上,过 C 作 CDAB 交 AB 于 D已知 cosACD= ,BC=4,则 AC 的长为( )A1BC3D考点
2、:圆周角定理;解直角三角形分析:由以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O,点 C 恰好在半圆上,过C 作 CDAB 交 AB 于 D易得ACD=B,又由cosACD= ,BC=4,即可求得答案解答:解:AB 为直径,ACB=90,ACD+BCD=90,CDAB,BCD+B=90,B=ACD,2cosACD= ,cosB= ,tanB= ,BC=4,tanB= ,AC=故选 D点评:此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用3(2014 年天津市,第 2 题 3 分)cos60的值等于( )ABCD考点:特殊角的三角函数值分析:根据特殊角的三角函数值解题即可解
3、答:解:cos60= 故选 A点评:本题考查特殊角的三角函数值,准确掌握特殊角的函数值是解题关键4 (2014四川自贡,第 10 题 4 分)如图,在半径为 1 的O 中,AOB=45,则 sinC 的值为( )ABCD3考点: 圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义专题: 压轴题分析: 首先过点 A 作 ADOB 于点 D,由在 RtAOD 中,AOB=45,可求得 AD 与 OD的长,继而可得 BD 的长,然后由勾股定理求得 AB 的长,继而可求得 sinC 的值解答: 解:过点 A 作 ADOB 于点 D,在 RtAOD 中,AOB=45,OD=AD=OAcos45=1=,BD=OBO
4、D=1,AB=,AC 是O 的直径,ABC=90,AC=2,sinC=故选 B点评: 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用5 (2014浙江湖州,第 6 题 3 分)如图,已知 RtABC 中,C=90,AC=4,tanA= ,则 BC 的长是( )A2B8C2D4分析:根据锐角三角函数定义得出 tanA=,代入求出即可4解:tanA= =,AC=4,BC=2,故选 A点评:本题考查了锐角三角函数定义的应用,注意:在 RtACB 中,C=90,sinA=,cosA=,tanA=6 (2014浙江金华,第 6 题 4 分)如图,点
5、A(t,3)在第一象限,OA 与 x 轴所夹的锐角为3,tan2,则 t 的值是【 】A1 B1.5 C2 D3【答案】C【解析】7.(2014滨州,第 11 题 3 分)在 RtACB 中,C=90,AB=10,sinA= ,cosA= ,tanA= ,则 BC 的长为( )A6B7.5C8D12.55考点:解直角三角形分析:根据三角函数的定义来解决,由 sinA= ,得到 BC=解答:解:C=90AB=10,sinA=,BC=AB =10 =6故选 A点评:本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用,注意:在 RtACB 中,C=90,则 sinA=,cosA=,tanA=8.(2014扬州,
6、第 7 题,3 分)如图,已知AOB=60,点 P 在边 OA 上,OP=12,点M,N 在边 OB 上,PM=PN,若 MN=2,则 OM=( )A3B4C5D6(第 1 题图)考点: 含 30 度角的直角三角形;等腰三角形的性质分析: 过 P 作 PDOB,交 OB 于点 D,在直角三角形 POD 中,利用锐角三角函数定义求出 OD 的长,再由 PM=PN,利用三线合一得到 D 为 MN 中点,根据 MN 求出 MD 的长,由 ODMD 即可求出 OM 的长6解答: 解:过 P 作 PDOB,交 OB 于点 D,在 RtOPD 中,cos60= ,OP=12,OD=6,PM=PN,PDMN
7、,MN=2,MD=ND= MN=1,OM=ODMD=61=5故选 C点评: 此题考查了含 30 度直角三角形的性质,等腰三角形的性质,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键二二.填空题填空题1. ( 2014广西贺州,第 18 题 3 分)网格中的每个小正方形的边长都是 1,ABC 每个顶点都在网格的交点处,则 sinA= 考点: 锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理分析: 根据正弦是角的对边比斜边,可得答案解答: 解:如图,作 ADBC 于 D,CEAB 于 E,由勾股定理得 AB=AC=2,BC=2,AD=3,由 BCAD=ABCE,7即 CE=,sinA=,故答案为:点评: 本题考
8、查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边2. ( 2014广西玉林市、防城港市,第 16 题 3 分)如图,直线 MN 与O 相切于点M,ME=EF 且 EFMN,则 cosE= 考点: 切线的性质;等边三角形的判定与性质;特殊角的三角函数值专题: 计算题分析: 连结 OM,OM 的反向延长线交 EF 与 C,由直线 MN 与O 相切于点 M,根据切线的性质得 OMMF,而 EFMN,根据平行线的性质得到 MCEF,于是根据垂径定理有 CE=CF,再利用等腰三角形的判定得到 ME=MF,易证得MEF 为等边三角形,所以E=60,然后
9、根据特殊角的三角函数值求解解答: 解:连结 OM,OM 的反向延长线交 EF 与 C,如图,直线 MN 与O 相切于点 M,OMMF,EFMN,8MCEF,CE=CF,ME=MF,而 ME=EF,ME=EF=MF,MEF 为等边三角形,E=60,cosE=cos60= 故答案为 点评: 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值3 (2014温州,第 14 题 5 分)如图,在ABC 中,C=90,AC=2,BC=1,则 tanA 的值是 考点: 锐角三角函数的定义分析:根据锐角三角函数的定义(tanA=)求出即可解答:解:t
10、anA= ,故答案为: 点评: 本题考查了锐角三角函数定义的应用,注意:在 RtACB 中,C=90,sinA=9,cosA=,tanA=4. (2014株洲,第 13 题,3 分)孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处,看塔顶的仰角为 20(不考虑身高因素) ,则此塔高约为 182 米(结果保留整数,参考数据:sin200.3420,sin700.9397,tan200.3640,tan702.7475) (第 1 题图)考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析: 作出图形,可得 AB=500 米,A=20,在 RtABC 中,利用三角函数即可求得 BC的长度解答: 解:在 Rt
11、ABC 中,AB=500 米,BAC=20,=tan20,BC=ACtan20=5000.3640=182(米) 故答案为:182点评: 本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解三三.解答题解答题1. (2014湘潭,第 25 题) ABC 为等边三角形,边长为 a,DFAB,EFAC,(1)求证:BDFCEF;(2)若 a=4,设 BF=m,四边形 ADFE 面积为 S,求出 S 与 m 之间的函数关系,并探究当m 为何值时 S 取最大值;(3)已知 A、D、F、E 四点共圆,已知 tanEDF=,求此圆直径10(第 1 题图)考点: 相似形综合题;二次函
12、数的最值;等边三角形的性质;圆周角定理;解直角三角形分析: (1)只需找到两组对应角相等即可(2)四边形 ADFE 面积 S 可以看成ADF 与AEF 的面积之和,借助三角函数用 m 表示出 AD、DF、AE、EF 的长,进而可以用含 m 的代数式表示 S,然后通过配方,转化为二次函数的最值问题,就可以解决问题(3)易知 AF 就是圆的直径,利用圆周角定理将EDF 转化为EAF在AFC 中,知道 tanEAF、C、AC,通过解直角三角形就可求出 AF 长解答: 解:(1)DFAB,EFAC,BDF=CEF=90ABC 为等边三角形,B=C=60BDF=CEF,B=C,BDFCEF(2)BDF=
13、90,B=60,sin60=,cos60=BF=m,DF=m,BD=AB=4,AD=4SADF=ADDF=(4)m=m2+m同理:SAEF=AEEF=(4)(4m)12=m2+2S=SADF+SAEF=m2+m+2=(m24m8)=(m2)2+3其中 0m40,024,当 m=2 时,S 取最大值,最大值为 3S 与 m 之间的函数关系为:S(m2)2+3(其中 0m4) 当 m=2 时,S 取到最大值,最大值为 3(3)如图 2,A、D、F、E 四点共圆,EDF=EAFADF=AEF=90,AF 是此圆的直径tanEDF=,tanEAF=C=60,=tan60=设 EC=x,则 EF=x,E
14、A=2xAC=a,2x+x=Ax=EF=,AE=AEF=90,AF=13此圆直径长为点评: 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识,综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键2. (2014益阳,第 18 题,8 分) “中国益阳”网上消息,益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图,新大桥的两端位于 A、B 两点,小张为了测量 A、B 之间的河宽,在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据:BAD=76.1,BCA=68.2,CD=82 米求 AB 的
15、长(精确到 0.1 米) 参考数据:sin76.10.97,cos76.10.24,tan76.14.0;sin68.20.93,cos68.20.37,tan68.22.5(第 2 题图)考点: 解直角三角形的应用分析: 设 AD=x 米,则 AC=(x+82)米在 RtABC 中,根据三角函数得到AB=2.5(x+82) ,在 RtABD 中,根据三角函数得到 AB=4x,依此得到关于 x 的方程,进一步即可求解14解答: 解:设 AD=x 米,则 AC=(x+82)米在 RtABC 中,tanBCA=,AB=ACtanBCA=2.5(x+82) 在 RtABD 中,tanBDA=,AB=
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