2013年中考数学试卷分类汇编 操作与探究.doc
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1、 1操作与探究操作与探究1、(13 年北京 5 分 22)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为)2(aa的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1,当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时,求正方形 MNPQ 的面积。小明发现:分别延长 QE,MF,NG,PH,交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点R,S,T,W,可得RQF,SMG,TNH,WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图2)请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为_;(2)求正方形 MNPQ 的面积。参考小明思考问题的方法,解决问题
2、:如图 3,在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D,E,F 作BC,AC,AB 的垂线,得到等边RPQ,若33RPQS,则 AD 的长为_。解析:2考点:操作与探究(旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形)2、(2013 成都市)如图,ABC,为O上相邻的三个n等分点,弧ABBC,点E在弧BC上,EF为O的直径,将O沿EF折叠,使点A与A重合,连接EB,EC,EA.设EBb,ECc,EAp.先探究, ,b c p三者的数量关系:发现当3n 时, pbc.请继续探究, ,b c p三者的数量关系:当4n 时,p _;当12n 时,p _.(参考数据:62sin15c
3、os754oo,62cos15sin754oo)答案:cb 2; cb213 22或cb 226解析:33、(2013 山西,21,8 分)(本题 8 分)如图,在ABC 中,AB=AC,D 是 BA 延长线上的 一点,点 E 是 AC 的中点。 (1)实践与操作实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不 写作法)。 作DAC 的平分线 AM。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。【解析】解:作图正确,并有痕迹。4连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 (2)猜想与证明猜想与证明:试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由。 【解析】解:AF
4、BC 且 AF=BC 理由如下:AB=AC,ABC=CDAC=ABC+C=2C 由作图可知:DAC=2FACC=FAC.AFBC.E 是 AC 的中点, AE=CE, AEF=CEB AEFCEB AF=BC.4、(13 年山东青岛、23)在前面的学习中,我们通过对同一面积的不同表达和比较,根 据图和图发现并验证了平方差公式和完全平方公式 这种利用面积关系解决问题的方法,使抽象的数量关系因集合直观而形象化。【研究速算】 提出问题:提出问题:4743,5654,7971,是一些十位数字相同,且个位数字之和是 10 的 两个两位数相乘的算式,是否可以找到一种速算方法?几何建模:几何建模: 用矩形的
5、面积表示两个正数的乘积,以 4743 为例: (1)画长为 47,宽为 43 的矩形,如图,将这个 4743 的 矩形从右边切下长 40,宽 3 的一条,拼接到原矩形的上面。 (2)分析:原矩形面积可以有两种不同的表达方式,4743 的矩形面积或(4073)40 的矩形与右上角 37 的矩形 面积之和,即 4743(4010)403754100 372021用文字表述 4743 的速算方法是:十位数字 4 加 1 的和与 4 相乘, 再乘以 100,加上个位数字 3 与 7 的积,构成运算结果bbaaabba第 23 题图第 23 题图4043473740第 23 题图5归纳提炼:归纳提炼:
6、两个十位数字相同,并且个位数字之和是两个十位数字相同,并且个位数字之和是 1010 的两位数相乘的速算方法是(用文字表述)的两位数相乘的速算方法是(用文字表述)_ _【研究方程】提出问题:怎么图解一元二次方程?)0(03522xxx几何建模:(1)变形:35)2(xx(2)画四个长为2x,宽为x的矩形,构造图(3)分析:图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式,2)2( xx或四个长2x,宽x的矩形之和,加上中间边长为 2 的小正方形面积即: 222)2(4)2(xxxx 35)2(xx 222354)2( xx 144)22(2x 0x 5x归纳提炼:归纳提炼:求关于x的一元二次方程)0.
7、 0, 0()(cbxcbxx的解要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并标 注相关线段的长)【研究不等关系】提出问题:提出问题:怎么运用矩形面积表示)3)(2(yy与52 y的大小关系(其中0y)?几何建模:几何建模:(1)画长3y,宽2y的矩形,按图方式分割(2)变形:)3()2(52yyy(3)分析:图中大矩形的面积可以表示为)3)(2(yy;阴影部分面积可以表示为1)3(y,x+2xxx+2xx+2x+2x第 23 题图11y111y第 23 题图6画点部分的面积可表示为2y,由图形的部分与整体的关系可知:)3)(2(yy)3()2(yy,即)3)(
8、2(yy52 y归纳提炼:归纳提炼: 当2a,2b时,表示ab与ba 的大小关系根据题意,设ma 2,)0, 0(2nmnb,要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并标注相关线段的长)解析:5、(2013 年江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下 过程:操作发现:在等腰ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向ABC的外侧作等腰直角三角 形,如图 1 所示,其中DFAB于点F,EGAC于点G,M是BC的中点,连接MD和7ME,则下列结论正确的是 (填序号即可)AF=AG=21AB;MD=ME;整个图形是轴对称图形;DAB=
9、DMB数学思考:在任意ABC中,分别以AB和AC为斜边,向ABC的外侧作等腰直角三角形,如 图 2 所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系? 请给出证明过程; 类比探索:在任意ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向ABC的内侧作等腰直角三角形, 如图 3 所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断MED的形状答: 【答案答案】 解:操作发现: 数学思考: 答:MD=ME,MDME, 、MD=ME; 如图 2,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,MF,MG,EG, M是BC的中点,MFAC,MF=21AC又EG是等腰 RtAEC斜边上的中线,EGAC且E
10、G=21AC,MF=EG 同理可证DF=MGMFAC, MFABAC=180 同理可得MGA+BAC=180, MFA=MGA 又EGAC,EGA=90 同理可得DFA=90, MFA+DFA=MGA=EGA, 即DFM=MEG,又MF=EG,DF=MG, DFMMGE(SAS), MD=ME 2、MDME;8证法一:MGAB, MFA+FMG=180, 又DFMMGE,MEG=MDF. MFA+FMD+DME+MDF=180, 其中MFA+FMD+MDF=90,DME=90. 即MDME; 证法二:如图 2,MD与AB交于点H, ABMG, DHA=DMG, 又DHA=FDM+DFH, 即D
11、HA=FDM+90, DMG=DME+GME,DME=90 即MDME; 类比探究 答:等腰直角三解形 【考点解剖考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识,能力要求很高 【解题思路解题思路】 (1) 由图形的对称性易知、都正确,DAB=DMB=45也正 确;(2)直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系,一般由全等证线段相等,受图 1 DFMMGE的启发,应想到取中点构造全等来证MD=ME,证MDME就是要证DME=90, 由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四个角相加为 180,FMG可看成三个角的和, 通过变
12、形计算可得DME=90 (3)只要结论,不要过程,在(2)的基础易知为等腰直 角三解形. 【解答过程解答过程】 略. 【方法规律方法规律】 由特殊到一般,形变但本质不变(仍然全等)【关键词关键词】 课题学习 全等 开放探究6、(2013 山西,25,13 分)(本题 13 分)数学活动数学活动求重叠部分的面积。求重叠部分的面积。 问题情境问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题: 如图,将两块全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 叠放在一起,其中ACB=E=90, BC=DE=6,AC=FE=8,顶点 D 与边 AB 的中点重合,DE 经过点 C,DF 交 AC 于点 G。 求重叠部分(DC
13、G)的面积。 (1)独立思考:请解答老师提出的问题。 【解析】解:ACB=90D 是 AB 的中点,DC=DB=DA,B=DCBGEFCBAD(25 题 (1)9又ABCFDE,FDE=BFDE=DCB,DGBCAGD=ACB=90DGAC 又DC=DA,G 是 AC 的中点,CG=1 2AC=1 28=4,DG=1 2BC=1 26=3SDCG=1 2CGDG=1 243=6(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将DEF 绕点 D 旋转,使 DEAB 交 AC 于 点 H,DF 交 AC 于点 G,如图(2),你能求出重叠部分(DGH)的面积吗?请写出解答过程。【解析】解法一:ABCF
14、DE,B=1321GHEFCBADC=90,EDAB,A+B=90, A+2=90, B=2,1=2 GH=GD A+2=90,1+3=90 A=3,AG=GD,AG=GH 点 G 是 AH 的中点, 在 RtABC 中,AB= 10D 是 AB 的中点,AD=1 2AB=5在ADH 与ACB 中,A =A,ADH=ACB=90,ADHACB, AD AC=DH CB,5 8=6DH,DH=15 4,SDGH1 2SADH1 21 2DHAD=1 415 45=75 16(25 题 (2)10解法二:同解法一,G 是 AH 的中点,321GHE FCBAD连接 BH,DEAB,D 是 AB 的
15、中点,AH=BH,设 AH=x 则 CH- 在 RtBCH 中,CH2+BC2=BH2,即(8-x)2+36=x2,解得 x=SABH=AHBC=1 225 46=75 4S=1 2SADH=1 21 2SABH=1 475 4=75 16.32 1NM GHE FCBAD解法三:同解法一,1=2 连接 CD,由(1)知,B=DCB=1,1=2=B=DCB,DGHBDC, 作 DMAC 于点 M,CNAB 于点 N,D 是 AB 的中点,ACB=90CD=AD=BD,点 M 是 AC 的中点,DM=1 2BC=1 26=3在 RtABC 中,AB=222286ACBC=10,1 2ACBC=1
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