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1、 1正方形正方形1、 (2013昆明)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是 AB 上一动点(不与 A,B 重合) ,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 P 分别作 AC,BD 的垂线,分别交 AC,BD 于点 E,F,交 AD,BC 于点 M,N下列结论: APEAME;PM+PN=AC;PE2+PF2=PO2;POFBNF;当PMNAMP 时, 点 P 是 AB 的中点 其中正确的结论有( )A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质分析: 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM 和BPN
2、 以及 APE、BPF 都是等腰直角三角形,四边形 PEOF 是矩形,从而作出判断 解答: 解:四边形 ABCD 是正方形, BAC=DAC=45 在APE 和AME 中,APEAME,故正确;PE=EM= PM,同理,FP=FN= NP正方形 ABCD 中 ACBD, 又PEAC,PFBD, PEO=EOF=PFO=90,且APE 中 AE=PE 四边形 PEOF 是矩形 PF=OE, PE+PF=OA,又PE=EM= PM,FP=FN= NP,OA= AC,PM+PN=AC,故正确; 四边形 PEOF 是矩形, PE=OF, 在直角OPF 中,OF2+PF2=PO2,2O48816t(s)
3、S(2cm)(A)O48816t(s)S(2cm)(B)O48816t(s)S(2cm)(C)O48816t(s)S(2cm)(D)PE2+PF2=PO2,故正确 BNF 是等腰直角三角形,而POF 不一定是,故错误; AMP 是等腰直角三角形,当PMNAMP 时,PMN 是等腰直角三角形 PM=PN, 又AMP 和BPN 都是等腰直角三角形, AP=BP,即 P 时 AB 的中点故正确 故选 B 点评: 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用,认识APM 和BPN 以及 APE、BPF 都是等腰直角三角形,四边形 PEOF 是矩形是关键2、(2013 年临沂)如图,正方形 ABC
4、D 中,AB=8cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别从 B,C 两点同时出发,以 1cm/s 的速度沿 BC,CD 运动,到点 C,D时停止运动,设运动时间为 t(s),OE 的面积为 s(2cm),则 s(2cm)与 t(s)的函数关系可用图像表示为答案:B解析:经过 t 秒后,BECFt,CEDF8t,1422BECStt ,211(8)422ECFStttt ,1(8) 41622ODFStt,3F(第 12 题图)ABCDOE所以,2211322(4)(162 )41622OEFStttttt,是以(4,8)为顶点,开口向上的抛物线,故选 B。3、 (8-3 矩形、
5、菱形、正方形2013 东营中考)如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AEBF;(3)AO=OE;(4)AOBDEOFSS四边形中正确的有( )A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个12.B.解析:在正方形 ABCD 中,因为 CE=DF,所以 AF=DE,又因为AB=AD,所以ABFDAE ,所以 AE=BF,AFBDEA ,DAEABF ,因为90DAEDEA,所以90DAEABF,即90AOF,所以 AEBF,因为AOBAOFAOFSSSS四边形 DEOF,所以AOBS S四边形 DEOF,故
6、(1),(2),(4)正确.4、 (2013 凉山州)如图,菱形 ABCD 中,B=60,AB=4,则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为( )A14B15C16D17 考点:菱形的性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质 分析:根据菱形得出 AB=BC,得出等边三角形 ABC,求出 AC,长,根据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4,求出即可 解答:解:四边形 ABCD 是菱形, AB=BC, B=60, ABC 是等边三角形, AC=AB=4, 正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=44=16, 故选 C 点评:本题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性
7、质和判定的应用,关键是求出 AC 的长 5、 (2013资阳)如图,点 E 在正方形 ABCD 内,满足AEB=90,AE=6,BE=8,则阴影部 分的面积是( )4A 48B 60C 76D 80考点: 勾股定理;正方形的性质分析: 由已知得ABE 为直角三角形,用勾股定理求正方形的边长 AB,用 S阴影部分=S正方形ABCDSABE求面积 解答: 解:AEB=90,AE=6,BE=8, 在 RtABE 中,AB2=AE2+BE2=100,S阴影部分=S正方形 ABCDSABE=AB2 AEBE=100 68=76 故选 C 点评: 本题考查了勾股定理的运用,正方形的性质关键是判断ABE 为
8、直角三角形,运用 勾股定理及面积公式求解6、 (2013雅安)如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上,AEF 是等边三角形, 连接 AC 交 EF 于 G,下列结论:BE=DF,DAF=15,AC 垂直平分 EF,BE+DF=EF,SCEF=2SABE其中正确结论有( )个A 2B 3C 4D 5考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质分析: 通过条件可以得出ABEADF 而得出BAE=DAF,BE=DF,由正方形的性质就可 以得出 EC=FC,就可以得出 AC 垂直平分 EF,设 EC=x,BE=y,由勾股定理就可以得出 x 与 y 的关系,表示
9、出 BE 与 EF,利用三角形的面积公式分别表示出 SCEF和 2SABE 再通过比较大小就可以得出结论 解答: 解:四边形 ABCD 是正方形, AB=BC=CD=AD,B=BCD=D=BAD=905AEF 等边三角形, AE=EF=AF,EAF=60 BAE+DAF=30 在 RtABE 和 RtADF 中,RtABERtADF(HL) , BE=DF,正确 BAE=DAF, DAF+DAF=30, 即DAF=15正确, BC=CD, BCBE=CDDF, 及 CE=CF, AE=AF, AC 垂直平分 EF正确 设 EC=x,由勾股定理,得EF=x,CG=x,AG=x,AC=,AB=,B
10、E=x=,BE+DF=xxx,错误,SCEF=,SABE=,2SABE=SCEF,正确综上所述,正确的有 4 个,故选 C点评: 本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运 用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定 理的性质解题时关键67、 (2013 菏泽)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分 别为 S1,S2,则 S1+S2的值为( )A16B17C18D19 考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质 专题:计算题 分析:由图可得,S1的边长为 3,由 AC=BC,BC=CE=CD,可得 AC=
11、2CD,CD=2,EC= ;然后,分别算出 S1、S2的面积,即可解答 解答:解:如图,设正方形 S2的边长为 x, 根据等腰直角三角形的性质知,AC=x,x=CD, AC=2CD,CD=2, EC2=22+22,即 EC=; S2的面积为 EC2=8; S1的边长为 3,S1的面积为 33=9, S1+S2=8+9=17 故选 B点评:本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力 8、 (2013咸宁)如图,正方形 ABCD 是一块绿化带,其中阴影部分 EOFB,GHMN 都是正方形 的花圃已知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为( )A B
12、1 2C D 考点: 相似三角形的应用;正方形的性质;几何概率7分析: 求得阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率;解答: 解:设正方形的 ABCD 的边长为 a, 则 BF=BC=,AN=NM=MC=a,阴影部分的面积为()2+(a)2=a2,小鸟在花圃上的概率为=故选 C 点评: 本题考查了正方形的性质及几何概率,关键是表示出大正方形的边长,从而表示出 两个阴影正方形的边长,最后表示出面积9、(2013 台湾、30)如图,四边形 ABCD、AEFG 均为正方形,其中 E 在 BC 上,且 B、E 两 点不重合,并连接 BG根据图中标示的角判断下列1、2、3、
13、4 的大小关系何者正 确?( )A12 B12 C34 D34 考点:正方形的性质 分析:根据正方形的每一个角都是直角求出BAD=EAG=90,然后根据同角的余角相等 可得1=2,根据直角三角形斜边大于直角边可得 AEAB,从而得到 AGAB,再根据三 角形中长边所对的角大于短边所对的角求出34 解答:解:四边形 ABCD、AEFG 均为正方形, BAD=EAG=90, BAD=1+DAE=90, EAG=2+DAE=90, 1=2, 在 RtABE 中,AEAB, 四边形 AEFG 是正方形, AE=AG, AGAB, 34 故选 D 点评:本题考查了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的
14、性质,同角的余角相等的 性质,要注意在同一个三角形中,较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用 810、 (2013 台湾、23)附图为正三角形 ABC 与正方形 DEFG 的重迭情形,其中 D、E 两点分 别在 AB、BC 上,且 BD=BE若 AC=18,GF=6,则 F 点到 AC 的距离为何?( )A2B3C124D66 考点:正方形的性质;等边三角形的性质 分析:过点 B 作 BHAC 于 H,交 GF 于 K,根据等边三角形的性质求出A=ABC=60,然 后判定BDE 是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出BDE=60,然后根据同位角 相等,两直线平行求出 ACDE,再根据正方
15、形的对边平行得到 DEGF,从而求出 ACDEGF,再根据等边三角形的边的与高的关系表示出 KH,然后根据平行线间的距离相 等即可得解 解答:解:如图,过点 B 作 BHAC 于 H,交 GF 于 K, ABC 是等边三角形, A=ABC=60, BD=BE, BDE 是等边三角形, BDE=60, A=BDE, ACDE, 四边形 DEFG 是正方形,GF=6, DEGF, ACDEGF,KH=1866=936=66,F 点到 AC 的距离为 66 故选 D点评:本题考查了正方形的对边平行,四条边都相等的性质,等边三角形的判定与性质,等边三角形的高线等于边长的倍,以及平行线间的距离相等的性质
16、,综合题,但难度不大,熟记各图形的性质是解题的关键 911、(2013 年南京)已知如图所示的图形的面积为 24,根据图中的条件,可列出方程: 。 答案:本题答案不唯一,如(x1)2=25; 解析:把缺口补回去,得到一个面积 25 的正方形,边长为 x1。12、 (2013苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,顶点 A、C 分别在 x,y 轴的正半轴上点 Q 在对角线 OB 上,且 QO=OC,连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P则点 P 的坐标为 (2,42) 考点: 相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;正方形的性质分析: 根据正方形的对角线
17、等于边长的倍求出 OB,再求出 BQ,然后求出BPQ 和OCQ 相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出 BP 的长,再求出 AP,即可得到点 P 的 坐标 解答: 解:四边形 OABC 是边长为 2 的正方形, OA=OC=2,OB=2, QO=OC,BQ=OBOQ=22, 正方形 OABC 的边 ABOC, BPQOCQ,=,即=,解得 BP=22, AP=ABBP=2(22)=42, 点 P 的坐标为(2,42) 故答案为:(2,42) 10点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的对角线等于边长的倍的性质,以 及坐标与图形的性质,比较简单,利用相似三角形的对应边成比例求出 BP
18、 的长是解 题的关键13、 (2013嘉兴)如图,正方形 ABCD 的边长为 3,点 E,F 分别在边 AB,BC 上, AE=BF=1,小球 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射 角等于入射角当小球 P 第一次碰到点 E 时,小球 P 与正方形的边碰撞的次数为 6 ,小 球 P 所经过的路程为 6 考点: 正方形的性质;轴对称的性质分析: 根据已知中的点 E,F 的位置,可知入射角的正切值为,通过相似三角形,来确定反 射后的点的位置,从而可得反射的次数再由勾股定理就可以求出小球经过的路径 的总长度 解答: 解:根据已知中的点 E,F 的位置,可知入射角
19、的正切值为,第一次碰撞点为 F,在 反射的过程中,根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞 点为 G,在 DA 上,且 DG=DA,第三次碰撞点为 H,在 DC 上,且 DH=DC,第四次碰撞 点为 M,在 CB 上,且 CM=BC,第五次碰撞点为 N,在 DA 上,且 AN=AD,第六次回到 E 点,AE=AB 由勾股定理可以得出 EF=,FG=,GH=,HM=,MN=,NE=, 故小球经过的路程为:+=6, 故答案为:6,6点评: 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用通过相似三角形,来确定反射 后的点的位置,从而可得反射的次数,由勾股定理来确定小球经过的路程,是一
20、道 学科综合试题,属于难题14、 (2013钦州)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P 是 AC 上一 动点,则 PB+PE 的最小值是 10 11考点: 轴对称-最短路线问题;正方形的性质 分析: 由正方形性质的得出 B、D 关于 AC 对称,根据两点之间线段最短可知,连接 DE,交 AC 于 P,连接 BP,则此时 PB+PE 的值最小,进而利用勾股定理求出即可 解答: 解:如图,连接 DE,交 AC 于 P,连接 BP,则此时 PB+PE 的值最小 四边形 ABCD 是正方形, B、D 关于 AC 对称, PB=PD, PB+PE=PD+PE=D
21、E BE=2,AE=3BE, AE=6,AB=8,DE=10,故 PB+PE 的最小值是 10 故答案为:10点评: 本题考查了轴对称最短路线问题,正方形的性质,解此题通常是利用两点之间, 线段最短的性质得出15、 (2013包头)如图,点 E 是正方形 ABCD 内的一点,连接 AE、BE、CE,将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到CBE的位置若 AE=1,BE=2,CE=3,则BEC= 135 度考点: 勾股定理的逆定理;正方形的性质;旋转的性质分析: 首先根据旋转的性质得出EBE=90,BE=BE=2,AE=EC=1,进而根据勾股定 理的逆定理求出EEC 是直角三角形,进而得出答案 解
22、答: 解:连接 EE,12将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到CBE的位置,AE=1,BE=2,CE=3, EBE=90,BE=BE=2,AE=EC=1,EE=2,BEE=45, EE2+EC2=8+1=9, EC2=9, EE2+EC2=EC2, EEC 是直角三角形, EEC=90, BEC=135 故答案为:135点评: 此题主要考查了勾股定理以及逆定理,根据已知得出EEC 是直角三角形是解题关 键16、 (2013 德州)如图,在正方形 ABCD 中,边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别 在 BC 和 CD 上,下列结论: CE=CF;AEB=75;BE+DF=EF
23、;S正方形 ABCD=2+ 其中正确的序号是 (把你认为正确的都填上) 考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质分析: 根据三角形的全等的知识可以判断的正误;根据角角之间的数量关系,以及三角 形内角和为 180判断的正误;根据线段垂直平分线的知识可以判断的正确,利 用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误解答: 解:四边形 ABCD 是正方形, AB=AD, AEF 是等边三角形, AE=AF, 在 RtABE 和 RtADF 中,13RtABERtADF(HL) , BE=DF, BC=DC, BCBE=CDDF, CE=CF, 说法正确; CE=CF, ECF 是
24、等腰直角三角形, CEF=45, AEF=60, AEB=75, 说法正确; 如图,连接 AC,交 EF 于 G 点, ACEF,且 AC 平分 EF, CADDAF, DFFG, BE+DFEF, 说法错误; EF=2,CE=CF=, 设正方形的边长为 a, 在 RtADF 中, a2+(a)2=4,解得 a=,则 a2=2+, S正方形 ABCD=2+, 说法正确, 故答案为点评: 本题主要考查正方形的性质的知识点,解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证 明以及辅助线的正确作法,此题难度不大,但是有一点麻烦17、 (2013烟台)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在 BC 上,
25、四边形 EFGB 也是正方形,以 B 为圆心,BA 长为半径画,连结 AF,CF,则图中阴影部分面积为 4 14考点: 正方形的性质;整式的混合运算分析: 设正方形 EFGB 的边长为 a,表示出 CE、AG,然后根据阴影部分的面积=S扇形 ABC+S正方形 EFGB+SCEFSAGF,列式计算即可得解 解答: 解:设正方形 EFGB 的边长为 a,则 CE=4a,AG=4+a, 阴影部分的面积=S扇形 ABC+S正方形 EFGB+SCEFSAGF=+a2+a(4a)a(4+a)=4+a2+2aa22aa2 =4 故答案为:4 点评: 本题考查了正方形的性质,整式的混合运算,扇形的面积计算,引
26、入小正方形的边 长这一中间量是解题的关键18、(2013 四川南充,14,3 分)如图,正方形ABCD 的边长为 22,过点 A 作 AEAC,AE=1,连接BE,则tanE=_.答案:32解析:1519、(2013 年武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AEDF连接CF 交BD于G,连接BE交AG于点H若正方形的边长为 2,则线段DH长度的最小值是 答案:15 解析:20、(绵阳市 2013 年)对正方形ABCD进行分割,如图 1,其中E、F分别是BC、CD的中 点,M、N、G分别是OB、OD、EF的中点,沿分化线可以剪出一副“七巧板”,用这些部件 可以拼出很多图案,图
27、 2 就是用其中 6 块拼出的“飞机”。若GOM的面积为 1,则“飞机” 的面积为 14 。七 16七 七HGFEDCBA16解析连接 AC,四边形 ABCD 是正方形, ACBD,E、F 分别 BC、CD 的中 点,EF/BD,ACEF,CF=CE,EFC 是等 腰直角三角形,直线 AC 是EFC 底边上的 高所在直线,根据等腰三角形“三线合一” ,AC 必过 EF 的中点 G,点 A、O、G 和 C 在 同一条直线上,OC=OB=OD,OCOB,FG 是DCO 的中位线,OG=CG= OC, M、N 分别1 2是 OB、OD 的中点,OM=BM= OB,ON=DN= OD,OG=OM=BM
28、=ON=DN= BD,等腰直角三角形1 21 21 4GOM 的面积为 1, OMOG= OM2=1,OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,图 2 中飞机面1 21 222积图 1 中多边形 ABEFD 的面积,飞机面积=正方形 ABCD 面积-三角形 CEF 面积=16-2=14。21、(2013 年南京) 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ABC,P是BD上一点,过点P作PMAD,PNCD,垂足分别为M、N。(1) 求证:ADB=CDB;(2) 若ADC=90,求证:四边形MPND是正方形。 解析:证明:(1) BD平分ABC,ABD=CBD。又
29、BA=BC,BD=BD,ABD CBD。ADB=CDB。 (4 分)(2) PMAD,PNCD,PMD=PND=90。又ADC=90,四边形MPND是矩形。ADB=CDB,PMAD,PNCD,PM=PN。四边形MPND是正方形。 (8 分)22、 (2013鄂州)如图正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别为 DC、BC 中点 (1)求证:ADEABF (2)求AEF 的面积考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质分析: (1)由四边形 ABCD 为正方形,得到 AB=AD,B=D=90,DC=CB,由 E、F 分别为 DC、BC 中点,得出 DE=BF,进而证明出两三角形全等;ABC
30、DNMP七 七 七 2七 七 七 七 1NMFEGODCBA17(2)首先求出 DE 和 CE 的长度,再根据 SAEF=S正方形 ABCDSADESABFSCEF得出 结果 解答: (1)证明:四边形 ABCD 为正方形, AB=AD,=90,DC=CB, E、F 为 DC、BC 中点,DE= DC,BF= BC,DE=BF, 在ADE 和ABF 中,ADEABF(SAS) ;(2)解:由题知ABF、ADE、CEF 均为直角三角形,且 AB=AD=4,DE=BF= 4=2,CE=CF= 4=2,SAEF=S正方形 ABCDSADESABFSCEF=44 42 42 22=6 点评: 本题主要
31、考查正方形的性质和全等三角形的证明,解答本题的关键是熟练掌握正方 形的性质以及全等三角形的判定定理,此题难度不大23、(2013毕节地区)四边形 ABCD 是正方形,E、F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点,且 DE=BF,连接 AE、AF、EF (1)求证:ADEABF; (2)填空:ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点,按顺时针方向旋转 90 度得到; (3)若 BC=8,DE=6,求AEF 的面积考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质 专题:证明题 分析:(1)根据正方形的性质得 AD=AB,D=ABC=90,然后利用“SAS”易证得 ADEABF; (2)由于
32、ADEABF 得BAF=DAE,则BAF+EBF=90,即FAE=90,根 据旋转的定义可得到ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点,按顺时针方向旋转 90 度 得到; (3)先利用勾股定理可计算出 AE=10,在根据ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点,18按顺时针方向旋转 90 度得到 AE=AF,EAF=90,然后根据直角三角形的面积公式 计算即可 解答:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, AD=AB,D=ABC=90, 而 F 是 DCB 的延长线上的点, ABF=90, 在ADE 和ABF 中,ADEABF(SAS) ;(2)解:ADEABF, BAF=DAE, 而DAE
33、+EBF=90, BAF+EBF=90,即FAE=90, ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点,按顺时针方向旋转 90 度得到; 故答案为 A、90;(3)解:BC=8, AD=8, 在 RtADE 中,DE=6,AD=8,AE=10,ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点,按顺时针方向旋转 90 度得到, AE=AF,EAF=90, AEF 的面积=AE2=100=50(平方单位) 点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对 应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了全等三角形的判定与性质以 及勾股定理24、 (2013黔东南州)如图,在正方形
34、ABCD 中,点 M 是对角线 BD 上的一点,过点 M 作 MECD 交 BC 于点 E,作 MFBC 交 CD 于点 F求证:AM=EF考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定与性质19专题: 证明题分析: 过 M 点作 MQAD,垂足为 Q,作 MP 垂足 AB,垂足为 P,根据题干条件证明出 AP=MF,PM=ME,进而证明APMFME,即可证明出 AM=EF 解答: 证明:过 M 点作 MQAD,垂足为 Q,作 MP 垂足 AB,垂足为 P, 四边形 ABCD 是正方形, 四边形 MFDQ 和四边形 PBEM 是正方形,四边形 APMQ 是矩形, AP=QM=DF=M
35、F,PM=PB=ME, 在APM 和FME 中,APMFME(SAS) , AM=EF点评: 本题主要考查正方形的性质等知识点,解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判 定定理以及矩形的性质等知识,此题正确作出辅助线很易解答25、 (2013 鞍山)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE (1)求证:CE=CF; (2)若点 G 在 AD 上,且GCE=45,则 GE=BE+GD 成立吗?为什么?考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质 专题:证明题;探究型 分析:(1)由 DF=BE,四边形 ABCD 为正方形可证CEBCFD,从而证出
36、 CE=CF (2)由(1)得,CE=CF,BCE+ECD=DCF+ECD 即ECF=BCD=90又GCE=45所 以可得GCE=GCF,故可证得ECGFCG,即 EG=FG=GD+DF又因为 DF=BE,所以可证 出 GE=BE+GD 成立 解答:(1)证明:在正方形 ABCD 中, BC=CD,B=CDF,BE=DF, CBECDF(SAS) 20CE=CF (3 分) (2)解:GE=BE+GD 成立 (4 分) 理由是:由(1)得:CBECDF, BCE=DCF, (5 分) BCE+ECD=DCF+ECD,即ECF=BCD=90, (6 分) 又GCE=45,GCF=GCE=45 C
37、E=CF,GCE=GCF,GC=GC, ECGFCG(SAS) GE=GF (7 分) GE=DF+GD=BE+GD (8 分)点评:本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想, 在第二问中也是考查了通过全等找出和 GE 相等的线段,从而证出关系是不是成立 26、 (2013铁岭)如图,ABC 中,AB=AC,AD 是ABC 的角平分线,点 O 为 AB 的中点, 连接 DO 并延长到点 E,使 OE=OD,连接 AE,BE (1)求证:四边形 AEBD 是矩形; (2)当ABC 满足什么条件时,矩形 AEBD 是正方形,并说明理由考点: 矩形的判定;正方形的判定分
38、析: (1)利用平行四边形的判定首先得出四边形 AEBD 是平行四边形,进而理由等腰三 角形的性质得出ADB=90,即可得出答案; (2)利用等腰直角三角形的性质得出 AD=BD=CD,进而利用正方形的判定得出即可 解答: (1)证明:点 O 为 AB 的中点,连接 DO 并延长到点 E,使 OE=OD, 四边形 AEBD 是平行四边形, AB=AC,AD 是ABC 的角平分线, ADBC, ADB=90, 平行四边形 AEBD 是矩形;(2)当BAC=90时, 理由:BAC=90,AB=AC,AD 是ABC 的角平分线, AD=BD=CD,21由(1)得四边形 AEBD 是矩形, 矩形 AE
39、BD 是正方形 点评: 此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识,熟 练掌握正方形和矩形的判定是解题关键27、 (2013包头)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是 BC 上的 一个动点,连接 DE,交 AC 于点 F(1)如图,当时,求的值;(2)如图当 DE 平分CDB 时,求证:AF=OA;(3)如图,当点 E 是 BC 的中点时,过点 F 作 FGBC 于点 G,求证:CG= BG考点: 相似形综合题分析: (1)利用相似三角形的性质求得 EF 于 DF 的比值,依据CEF 和CDF 同高,则面 积的比就是 EF 与
40、 DF 的比值,据此即可求解; (2)利用三角形的外角和定理证得ADF=AFD,可以证得 AD=AF,在直角AOD 中, 利用勾股定理可以证得; (3)连接 OE,易证 OE 是BCD 的中位线,然后根据FGC 是等腰直角三角形,易证 EGFECD,利用相似三角形的对应边的比相等即可证得 解答:(1)解:= ,= 四边形 ABCD 是正方形, ADBC,AD=BC, CEFADF,=,= ,= ;22(2)证明:DE 平分CDB,ODF=CDF, 又AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线 ADO=FCD=45,AOD=90,OA=OD,而 ADF=ADO+ODF,AFD=FCD+CDF, A
41、DF=AFD,AD=AF,在直角AOD 中,根据勾股定理得:AD=OA,AF=OA(3)证明:连接 OE 点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点 点 O 是 BD 的中点 又点 E 是 BC 的中点, OE 是BCD 的中位线,OECD,OE= CD,OFECFD= ,= 又FGBC,CDBC, FGCD, EGFECD,= 在直角FGC 中,GCF=45 CG=GF, 又CD=BC,= ,= CG= BG点评: 本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用,23理解正方形的性质是关键28、 (2013曲靖)如图,点 E 在正方形 ABCD 的边
42、AB 上,连接 DE,过点 C 作 CFDE 于 F, 过点 A 作 AGCF 交 DE 于点 G (1)求证:DCFADG (2)若点 E 是 AB 的中点,设DCF=,求 sin 的值考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;解直角三角形分析: (1)根据正方形的性质求出 AD=DC,ADC=90,根据垂直的定义求出 CFD=CFG=90,再根据两直线平行,内错角相等求出AGD=CFG=90,从而 得到AGD=CFD,再根据同角的余角相等求出ADG=DCF,然后利用“角角边” 证明DCF 和ADG 全等即可; (2)设正方形 ABCD 的边长为 2a,表示出 AE,再利用勾股定理列式求
43、出 DE,然后根 据锐角的正弦等于对边比斜边求出ADG 的正弦,即为 的正弦 解答: (1)证明:在正方形 ABCD 中,AD=DC,ADC=90, CFDE, CFD=CFG=90, AGCF, AGD=CFG=90, AGD=CFD, 又ADG+CDE=ADC=90, DCF+CDE=90, ADG=DCF, 在DCF 和ADG 中,DCFADG(AAS) ;(2)设正方形 ABCD 的边长为 2a, 点 E 是 AB 的中点,AE= 2a=a,在 RtADE 中,DE=a,24sinADG=,ADG=DCF=,sin=点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,锐角三角函数,
44、同角的余角 相等的性质,以及勾股定理的应用,熟练掌握各图形的性质并确定出三角形全等的 条件是解题的关键29、 (2013天津)如图,将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A、B、C 均 落在格点上 ()ABC 的面积等于 6 ; ()若四边形 DEFG 是ABC 中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中, 用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明) 取格点 P,连接 PC,过点 A 画 PC 的平行线,与 BC 交于点 Q,连接 PQ 与 AC 相交得点 D,过点 D 画 CB 的平 行线,与 AB 相交得点 E,分别过点 D、E 画 PC 的平行
45、线,与 CB 相交得点 G,F,则四边形 DEFG 即为所求 考点: 作图相似变换;三角形的面积;正方形的性质专题: 计算题分析: ()ABC 以 AB 为底,高为 3 个单位,求出面积即可; ()作出所求的正方形,如图所示,画图方法为:取格点 P,连接 PC,过点 A 画 PC 的平行线,与 BC 交于点 Q,连接 PQ 与 AC 相交得点 D,过点 D 画 CB 的平行线,与 AB 相交得点 E,分别过点 D、E 画 PC 的平行线,与 CB 相交得点 G,F,则四边形 DEFG 即为所求 解答:解:()ABC 的面积为: 43=6;()如图,取格点 P,连接 PC,过点 A 画 PC 的平行线,与 BC 交于点 Q,连接 PQ 与 AC 相交得点 D,过点 D 画 CB 的平行线, 与 AB 相交得点 E,分别过点 D、E 画 PC 的平行线,与 CB 相交得点 G,F, 则四边形 DEFG 即为所求 故答案为:()6;()取格点 P,连接 PC,过点 A 画 PC 的平行线,与 BC 交于 点 Q,连接 PQ 与 AC 相交得点 D,过点 D 画 CB 的平行线,与 AB 相交得点 E,分别过 点 D、E 画 PC 的
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