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1、12014 年湖南省长沙市中考数学一模试卷年湖南省长沙市中考数学一模试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题(共一、选择题(共 10 题,题,30 分)分) 1 (3 分)下列各组数中,互为相反数的是( )A2 与 2B2 与 2C3 与D 3 与|3|分析:利用绝对值的性质,以及只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判 断后利用排除法求解解答:解:A、2 与 2,互为相反数,故本选项正确;B、2 与 2,不是互为相反数,故本选项错误;C、3 与 不是互为相反数,故本选项错误;D、3 与|3|,不是互为相反数,故本选项错误故选:A 点评:本题考查了相反数的定义,绝对值的性质,
2、是基础题,熟记概念是解题的关键2 (3 分)下列事件属于必然事件的是( )A 明天一定下雨B 购买 1 张彩票,中奖C 一个袋中装有 5 个红球,从中摸出一个是红球D 随意翻到一本书的某页,这页的页码是偶数考点:随机事件 分析:根据必然事件的概念(必然事件指在一定条件下一定发生的事件)可判断正确答 案 解答:解:A、明天一定下雨说法错误,因为明天下不下雨,属于可能性中的不确定事 件,在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件,故此选项错误; B、购买一张彩票可能中奖;是随机事件,故此选项错误; C、一个袋中装有 5 个红球,从中摸出一个是红球,是必然事件,故此选项正确; D、随意翻到一本书的某页
3、,这页的页码既可以是偶数也可以是奇数,是随机事件,故此 选项错误 故选:C 点评:此题主要考查了随机事件,必然事件、不可能事件的概念用到的知识点为:确 定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件 是指在一定条件下,一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能 发生也可能不发生的事件3 (3 分)如图,与1 是内错角的是( )2A2 B3 C4 D5考点:同位角、内错角、同旁内角 分析:根据内错角的定义找出即可 解答:解:根据内错角的定义,1 的内错角是3 故选 B 点评:本题考查了“三线八角”问题,确定三线八角的关键是从截线入手对平面几何中 概念
4、的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言 的表达要注意理解它们所包含的意义4 (3 分)下列运算正确的是( )A=2B2+=2Ca2a3=a6D (a2)2=a4考点:幂的乘方与积的乘方;实数的运算;同底数幂的乘法 分析:分别进行二次根式的化简、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算,然后选择正确答 案 解答:解:A、=2,原式错误,故本选项错误; B、2 和不是同类项,不等合并,故本选项错误;C、a2a3=a5,原式计算错误,故本选项错误; D、 (a2)2=a4,计算正确,故本选项正确 故选 D 点评:本题考查了幂的乘方和积的乘方、二次根式的化简、同底数幂的乘法等
5、运算,掌 握运算法则是解答本题的关键5 (3 分)化简的结果是( )ABCD 2x+2考点:分式的乘除法 专题:计算题 分析:原式利用除法法则变形,约分即可得到结果解答:解:原式=(x1)=故选 C 点评:此题考查了分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键36 (3 分)如图,直角三角形绕直线 l 旋转一周,得到的立体图形是( )ABCD考点:点、线、面、体 分析:根据题意作出图形,即可进行判断 解答:解:将如图所示的直角三角形绕直线 l 旋转一周,可得到圆锥,故选:C 点评:此题考查了点、线、面、体,重在体现面动成体:考查学生立体图形的空间想象 能力及分析问题,解决问题的能力7 (3 分
6、)若一个多边形的内角和等于 720,则这个多边形的边数是( )A5B6C7D8考点:多边形内角与外角 专题:压轴题 分析:利用多边形的内角和公式即可求解解答:解:因为多边形的内角和公式为(n2)180,所以(n2)180=720,解得 n=6, 所以这个多边形的边数是 6 故选 B 点评:本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题内角和 公式可能部分学生会忘记,但是这并不是重点,如果我们在学习这个知识的时候能真正理4解,在考试时即使忘记了公式,推导一下这个公式也不会花多少时间,所以,学习数学, 理解比记忆更重要8 (3 分)如图,要使平行四边形 ABCD 成为矩形,需添加的
7、条件是( )AAB=BCBACBDCABC=90 D1=2考点:矩形的判定;平行四边形的性质 分析:根据一个角是 90 度的平行四边形是矩形进行选择即可 解答:解:A、是邻边相等,可判定平行四边形 ABCD 是菱形; B、是对角线互相垂直,可判定平行四边形 ABCD 是菱形; C、是一内角等于 90,可判断平行四边形 ABCD 成为矩形; D、是对角线平分对角,可判定平行四边形 ABCD 是菱形 故选 C 点评:本题主要应用的知识点为:矩形的判定 对角线相等且相互平分的四边形为 矩形一个角是 90 度的平行四边形是矩形9 (3 分) (RtABC 中,C=90,AC=8,BC=6,两等圆A,B
8、 外切,那么图中两个 扇形(即阴影部分)的面积之和为( )ABC D考点:扇形面积的计算;相切两圆的性质 专题:压轴题 分析:已知 RtABC 中,ACB=90,AC=8,BC=6,则根据勾股定理可知 AB=10,两 个扇形的面积的圆心角之和为 90 度,利用扇形面积公式即可求解 解答:解:RtABC 中,ACB=90,AC=8,BC=6,AB=10,S阴影部分=故选 A 点评:本题主要考查勾股定理的使用及扇形面积公式的灵活运用510 (3 分)关于 x 的一元二次方程 x2+(m2)x+m+1=0 有两个相等的实数根,则 m 的值是( )A0B8C42D 0 或 8考点:根的判别式 专题:计
9、算题分析:根据一元二次方程根的判别式的意义,由程 x2+(m2)x+m+1=0 有两个相等的实数根,则有=0,得到关于 m 的方程,解方程即可解答:解:一元二次方程 x2+(m2)x+m+1=0 有两个相等的实数根,=0,即(m2)241(m+1)=0,整理,得 m28m=0,解得 m1=0,m2=8 故选 D点评:本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b24ac:当0,方程有两个不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当0,方程没有实数 根二、填空题(共二、填空题(共 8 题,题,24 分)分)11 (3 分)比较大小: (填“”“”“=”) 考点:实数大
10、小比较 分析:因为分母相同所以比较分子的大小即可,可以估算的整数部分,然后根据整数 部分即可解决问题解答:解:11, 故填空结果为: 点评:此题主要考查了实数的大小的比较,比较两个实数的大小,可以采用作差法、取 近似值法、比较 n 次方的方法等当分母相同时比较分子的大小即可12 (3 分) (如图,在 RtABC 中,C=90,AB=6,BC=4,则 cosB= 6考点:锐角三角函数的定义分析:利用锐角三角函数的定义,余弦=,解答即可解答:解:在 RtABC 中,cosB=故答案为: 点评:本题考查了要求锐角的三角函数值,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键13 (3 分)若等腰三角形中有一个
11、内角等于 70,则这个等腰三角形的顶角为 70 或 40 度考点:等腰三角形的性质 专题:分类讨论 分析:等腰三角形的一个内角是 70,则该角可能是底角,也可能是顶角,注意分类计 算 解答:解:分两种情况: 当 70的角是底角时,则顶角度数为 40; 当 70的角是顶角时,则顶角为 70 故答案为:70 或 40 点评:考查了等腰三角形的性质,在解决此类问题的时候,要注意将问题的所有可能的 情况找出,分别进行计算14 (3 分)在平面直角坐标系中,若点 P(m+3,m1)在第四象限,则 m 的取值范围为 3m1 考点:点的坐标 分析:点在第四象限的条件是:横坐标是正数,纵坐标是负数解答:解:点
12、 P(m+3,m1)在第四象限,可得,解得:3m1故填:3m17点评:本题主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点15 (3 分)若反比例函数 y=的图象位于第一、三象限,则正整数 k 的值是 1 考点:反比例函数的性质 分析:由反比例函数的性质列出不等式,解出 k 的范围,在这个范围写出 k 的整数解则 可 解答:解:反比例函数的图象在一、三象限,2k0,即 k2又k 是正整数, k 的值是:1 故答案为:1 点评:本题考查了反比例函数的性质:当 k0 时,图象分别位于第一、三象限;当 k0 时,图象分别位于第二、四象限16 (3 分) (如图,O 的半径为 5,弦 AB=8,
13、OCAB 于 C,则 OC 的长等于 3 考点:垂径定理;勾股定理 分析:根据垂径定理可知 AC 的长,再根据勾股定理可将 OC 的长求出 解答:解:连接 OA,AB=8,OCAB,AC= AB=4,在 RtOAC 中,OC=3点评:本题综合考查垂径定理和勾股定理的应用17 (3 分) “莫言荣获 2012 年诺贝尔文学奖”后,全社会掀起了莫言热”某校文学社在九 年级五个班的学生中就“阅读过莫言作品的人数”进行调查,调查结果如下: 班级九(1) 九(2) 九(3) 九(4) 九(5) 阅读过莫言 作品的人数3840354542 则这五个班的学生中阅读过莫言作品的人数的平均数为 40 8考点:算
14、术平均数 分析:根据算术平均数的计算公式列出算式,再进行计算即可 解答:解:这五个班的学生中阅读过莫言作品的人数的平均数为(38+40+35+45+42) 5=40(人) ; 故答案为:40 点评:此题考查了算术平均数,掌握算术平均数的计算公式是本题的关键,是一道基础 题18 (3 分)如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,BD=CD,AD=1,BC=8,BDC=90,则 AB 的长为 5 考点:梯形 分析:作辅助线,先求出 DM 的长,再求出 BN 的长,在 RTANB 中运用勾股定理求 出 AB 即可解答:解:如图,作 DMBC 交 BC 于点 M,作 ANBC 交 BC 于点 N, BD
15、=CD,BC=8,BDC=90, DM=MC=BM=4, ADBC,AD=1, 四边形 ANMD 是矩形, NM=1,AN=DM=4,BN=841=3,AB=5,故答案为:5 点评:本题主要考查了梯形及直角三角形的知识,解题的关键是求出 DM 的长三、解答题(共三、解答题(共 8 题,题,66 分)分)19 (6 分)计算:(3.14)0+( )12sin60考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值 分析:根据零指数幂、乘方、负指数幂和特殊角的三角函数值进行计算即可9解答:解:原式=1+222=1点评:本题考查了实数的运算以及考点有:零指数幂、乘方、负指数幂和特殊角的三角
16、函数值20 (6 分)化简求值:(m+n)2(2m+n) (2mn)+3m(mn) ,其中 m= ,n=2考点:整式的混合运算化简求值 分析:先算乘法,再合并同类项,最后代入求出即可解答:解:(m+n)2(2m+n) (2mn)+3m(mn)=m2+2mn+n24m2+n2+3m23mn=mn+2n2,当 m= ,n=2 时,原式= (2)+2(2)2=9点评:本题考查了整式的混合运算和求值的应用,主要考查学生的计算和化简能力,题 目比较典型,难度适中21 (8 分)为了建设“魅力校园”,某学校准备推广由学生自行设计的礼仪校服学生会设 计了如图 1 的调查问卷,在全校学生中进行了一次调查,统计
17、整理相关数据并绘制了如下 两幅不完整的统计图(图 2,图 3) 请根据图中信息,解答下列问(1)计算扇形统计图 3 中 m= 70 ; (2)该校有 1960 名学生支持选项 A,补全条形统计图 2;10(3)若要从该校某班支持选项 A 的 50 名学生中随机选择一名同学试穿礼仪校服,则该班 支持选项 A 的小美同学被选中的概率是多少?考点:条形统计图;扇形统计图;概率公式 分析:(1)用单位“1”减 B,C,D 的百分比就是 A 的百分比求解, (2)用支持 B 的学生数除以它对应的百分比就是全校学生数,用全校学生数乘支持 A 的 学生百分比就是支持 A 的学生人数,再利用这个数据补全条形统
18、计图 (3)利用概率的公式求解解答:解:(1)扇形统计图 3 中 11%4%25%=m%,解得 m=70,故答案为:70 (2)该校支持选项 A 的学生数为:70025%70%=1960,如图,故答案为:1960(3)该班支持选项 A 的小美同学被选中的概率是:点评:本题主要考查了条形统计图和扇形统计图及概率,解题的关键是能把条形和扇形 统计图的数据相结合求解22 (8 分)如图,ABC 中,BC=2,C=2A=45,在 AC 边上取一点 O,以点 O 为圆心, OA 为半径的圆与 AC 边相交于点 D,O 经过点 B (1)求证:BC 是O 的切线; (2)求 CD 的长考点:切线的判定 专
19、题:证明题 分析:(1)连接 OB,由 OA=OB 得A=OBA,根据三角形外角性质可得 BOC=2A,由于C=2A=45,所以BOC=45,于是得到OBC=90,则可根据切线的 判定定理得到 BC 是O 的切线;11(2)由C=BOC=45,可判断OBC 为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得OB=BC=2,OC=BC=2,所以 CD=OCOD=22解答:(1)证明:连接 OB,如图, OA=OB, A=OBA, BOC=A+OBA=2A, 而C=2A=45, BOC=45, OBC=90, OBBC, BC 是O 的切线; (2)解:C=BOC=45, OBC 为等腰直角三角形, O
20、B=BC=2,OC=BC=2,CD=OCOD=22点评:本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线也考查了等腰直角三角形的判定与性质23 (9 分)电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式,网购已悄然进入千家万 户章女士在某网店花 220 元买了 1 只茶壶和 10 只茶杯,已知茶壶的单价比茶杯的单价的 4 倍还多 10 元 (1)求茶壶和茶杯的单价分别是多少元? (2)中秋将至,该网店决定推出优惠酬宾活动:买一只茶壶送一只茶杯,茶杯单价打八 折请你计算此时买 1 只茶壶和 10 只茶杯共需多少元?考点:二元一次方程组的应用 分析:(1)设茶壶和茶杯的单价分别
21、为 x 元,y 元,根据买了 1 只茶壶和 10 只茶杯共 花 220 元,茶壶的单价比茶杯的单价的 4 倍还多 10 元,列方程组求解; (2)根据茶杯打八折,求出买 1 只茶壶和 10 只茶杯共需的钱数 解答:解:(1)设茶壶和茶杯的单价分别为 x 元,y 元,由题意得:,解得:,答:茶壶和茶杯的单价分别为 70 元,15 元;12(2)共需钱数为:70+0.8159=178(元) 答:买 1 只茶壶和 10 只茶杯共需 178 元 点评:本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数, 找出合适的等量关系,列方程组求解24 (9 分)如图,在ABCD 中,M,N 分
22、别是 AD,BC 的中点,BMC=90,连接 AN,DN,AN 与 BM 交于点 O (1)求证:ABMCDN; (2)点 P 在直线 BM 上,若 BM=3,CM=4,求PND 的周长的最小值考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;轴对称-最短路线问题 分析:(1)利用平行四边形的性质首先得出 AB=CD,AM=CN,进而得出ABM CDN; (2)首先得出平行四边形 ABNM 为菱形,进而得出当点 P 位于点 M 时,NP+DP 取到最 小值为 AD,利用勾股定理求出即可 解答:(1)证明:在ABCD 中,M,N 分别是 AD,BC 的中点, AB=CD, 在ABM 和CDN 中,
23、ABMCDN(SAS) ;(2)解:在ABCD 中,M,N 分别是 AD,BC 的中点, AMBN,AM=NB, 四边形 ABNM 为平行四边形; 在 RtBCM 中,N 为 BC 中点, MN=BN, 平行四边形 ABNM 为菱形 BM 垂直平分 AN, 点 N 关于 BM 的对称点为点 A 当点 P 位于点 M 时,NP+DP 取到最小值为 AD 在 RtBCM 中,BM=3,CN=4, 由勾股定理得 BC=AD=5, 又由(1)知,BM=DN=3, PND 的周长的最小值:5+3=8 点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的性质,得出当 点 P 位于点 M 时,N
24、P+DP 取到最小值为 AD 是解题关键1325 (10 分)设 xi(i=1,2,3,n)为任意代数式,我们规定: y=maxx1,x2,x3,xn表示 x1,x2,xn中的最大值,如 y=max1,2=2 (1)求 y=maxx,3; (2)借助函数图象,解决以下问题:解不等式 maxx+1, 2若函数 y=max|x1|, x+a,x24x+3的最小值为 1,求实数 a 的值考点:二次函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质 专题:新定义 分析:(1)根据规定,分 x3 和 x3 两种情况求解;(2)画出函数 y=x+1 和 y= 的图象得到交点坐标为(1,2) ,然后根据规定写出不
25、等式的解集即可;画出函数 y=|x1|,y=x24x+3 的图象,可知最小值为 y= x+a 与抛物线的交点,令 y=1根据抛物线解析式求出 x 的值,再代入直线解析式求出 a 的值即可解答:解:(1)y=;(2)由图可知,两函数图象交点为(1,2) ,不等式 maxx+1, 2 的解集为 x0;由图可知,最小值为 y= x+a 与抛物线 y=x24x+3 的交点,14x24x+3=1,解得 x1=2,x2=2+(舍去) , (2)+a=1,解得 a=点评:本题考查了二次函数的性质,一次函数的性质,反比例函数的性质,以及作函数图象,读懂题目信息,理解 y=maxx1,x2,x3,xn的意义是解
26、题的关键26 (10 分)如图,顶点为 A(1,4)的抛物线与 y 轴交于点 B(0,2) ,与 x 轴交于 C,D 两点,抛物线上一动点 P 沿抛物线从点 C 向点 A 运动,点 P 关于抛物线对称轴的对 称点为点 Q,分别过点 P,Q 向 x 轴作垂线,垂足分别为点 M,N抛物线对称轴与 x 轴 相交于点 E (1)求此抛物线的解析式; (2)是否存在点 P,使得ACE 与PMQ 相似?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由考点:二次函数综合题分析:(1)设此抛物线的解析式为:y=a(xh)2+k,由已知条件可知,h 和 k 的值,再把 B 的坐标代入求出 a 的值即可;(2
27、)假设存在点 P,使得ACE 与PMQ 相似,不妨设点 P(1t,42t2) ,由抛物线的对称性可求出点 Q 的坐标为(1+t,42t2) ,再分两种情况ACEPMQ 或ACEQMP 讨论求出符合题意的 t 值即可解答:解:(1)设此抛物线的解析式为:y=a(xh)2+k,顶点为 A(1,4)15此抛物线的解析式为:y=a(x1)2+4,将点 B(0,2)代入可求得:a=2,此抛物线的解析式为:y=2(x1)2+4=2x2+4x+2(2)假设存在点 P,使得ACE 与PMQ 相似,不妨设点 P(1t,42t2) ,根据对称性可得,点 Q 的坐标为(1+t,42t2) ,令 y=42(x1)2=0,解得到:x=1,从而有:C(1) ,D(1+,0)所以:0t, 由于ACE 与PMQ 相似,则必有:或,当得到,解得 t=2或2(舍去)从而得到点 P(1,88) 当得到,解得 t=或(舍去) ,从而得到点 P(,) ,故存在这样的点 P,坐标为(1,88)或(,) 点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、相似三 角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题在求有关动点问题时要注意分析题意分情 况讨论结果
限制150内