2016年高考理科数学天津卷含答案.docx
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1、数学试卷 第 1 页(共 21 页) 数学试卷 第 2 页(共 21 页) 数学试卷 第 3 页(共 21 页)绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试用时 120 分钟.第卷 1 至 3 页,第卷 4 至 6 页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮
2、擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.参考公式:如果事件,互斥,那么AB()( )( )P ABP AP B如果事件,相互独立,那么AB()( ) ( )P ABP A P B棱柱的体积公式,其中表示棱柱的底面积, 表示棱柱的高VShSh棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面积, 表示棱锥的高1 3VShSh一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )1,2,3,4A |32,By yxxAAB A.1B.4C.1,3D.1,42.设变量 ,满足约束条件则目标函数的最小值为( )xy20, 2360, 3290,
3、xy xy xy 25zxyA.4B.6C.10D.173.在中,若,则( )ABC= 13AB=3BC=120CAC A.1B.2C.3D.44.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )SA.2B.4C.6D.85.设是首项为正数的等比数列,公比为,则“”是“对任意的正整数 , naq0q n”的( )2120nnaaA.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知双曲线,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线222 =1(0)4xybb的两条渐近线相交于,四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为ABCDABCD2b( )A.2
4、2443=1yxB.22344=1yxC.2244=1yxD.2224=11xy7.已知是边长为 1 的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并ABCDEABBCDE延长到点,使得,则的值为( )F2DEEFAF BC AA.5 8B.1 8C.1 4D.11 88.已知函数(,且)在上单调递减,且关于2(4,0,( )log (1)1,0),33axaxf xxxax0a 1a R的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是( )x|( )| 2f xxaA.20,3B.2 3,3 4 C.1 23,3 34 D.1 23,3 34 姓名_ 准考证号_-在-此-卷-上-答-题-无-效- -数
5、学试卷第 4 页(共 21 页)数学试卷第 5 页(共 21 页)数学试卷第 6 页(共 21 页)第卷注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分.二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.已知, 是虚数单位,若,则的值为 ., a bRi(1i)(1i)baa b10.的展开式中的系数为 (用数字作答).281()xx7x11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:),则该m 四棱锥的体积为 .3m12.如图,是圆的直径,弦与相交于点,则线段ABCDABE22BEAEBDED 的长为
6、 .CE13.已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足( )f xR(,0)a,则的取值范围是 .|1|(2)(2)affa14.设抛物线( 为参数,)的焦点为,准线为 .过抛物线上一点作22,2,xptypt t0p FlA的垂线,垂足为.设,与相交于点.若,且lB7,02Cp()AFBCE| 2|CFAF的面积为,则的值为 .ACE3 2p 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)已知函数.( )4tan sin()cos()323f xxxx()求的定义域与最小正周期;)(f x()讨论在区间上的
7、单调性.)(f x,4 4 16.(本小题满分 13 分) 某小组共 10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别 为 3,3,4,现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. ()设为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件发生的概率;AA ()设为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列和XX 数学期望.17.(本小题满分 13 分)如图,正方形中心为,四边形为矩形,平面平面,点ABCDOOBEFOBEF ABCD为的中点,.GAB2ABBE()求证:平面;EGADF()求二面角的正弦值.OEFC()设为
8、线段上的点,且,求直线和平面所成角的正弦HAF2 3AHHFBHCEF值.18.(本小题满分 13 分)已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的,是和的等 nadn*Nnbna1na比中项.()设,求证:数列是等差数列;22 1nnncbbn*N nc()设,求证:.1ad 2 211nk nk kTbn*N2 111 2nkkTd19.(本小题满分 14 分)设椭圆的的右焦点为,右顶点为.已知,2221(3)3xyaaFA113 |e OFOAFA其中为原点, 为椭圆的离心率.Oe()求椭圆的方程;()设过点的直线 与椭圆交于点(不在 轴上),垂直于 的直线与 交于AlBBxll点,与
9、轴交于点,若,且,求直线 的斜率的取值范MyHBFHFMOAMAOl围.20.(本小题满分 14 分) 设函数,其中.3( )(1)f xxaxbxR, a bR()求的单调区间;( )f x()若存在极值点,且,其中,求证:;( )f x0x10()()f xf x10xx1023xx()设,函数,求证:在区间上的最大值不小于.0a ( ) |( )|g xf x( )g x0,21 4数学试卷 第 7 页(共 21 页) 数学试卷 第 8 页(共 21 页) 数学试卷 第 9 页(共 21 页)2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学答案解析 第卷一、选择题1.【答案】
10、D【解析】把分别代入得:,即,x1,2,3,4y3x2y1,4,7,10B1,4,7,10,故选 DA1,2,3,4AB1,4【提示】把中元素代入中计算求出的值,确定出,找出与的交集即Ay3x2yBAB可【考点】集合思想;定义法;集合2.【答案】B【解析】做出不等式组表示的可行域,如下图中三角形的区域,做出直xy20 2x3y60 3x2y90 线,图中的虚线,平移直线,可得经过点时,取得最小值0l :2x5y00l(3,0)z2x5y6,故选 B【提示】做出不等式组表示的平面区域,做出直线,平移直线,0l :2x5y00l可得经过点时,取得最小值 6(3,0)z2x5y【考点】简单线性规划3
11、.【答案】A【解析】在中,若,ABCAB13BC3C120,222ABBCAC2AC BCcosCA得:,解得或(舍去) ,故选 A2139AC3ACAC1AC4 【提示】直接利用余弦定理求解即可【考点】余弦定理的应用4.【答案】B【解析】第一次判断后:不满足条件,;第二次判断不满足S248n2i4条件;n3第三次判断满足条件:,此时计算,第四次判断不满足条S6S862n3n3件,第五次判断不满足条件,第六次判断满足条件,故输出S6S4n4n3,故选 BS4【提示】根据程序进行顺次模拟计算即可【考点】程序框图5.【答案】C【解析】是首项为正数的等比数列,公比为,若“”是“对任意的正整数,na
12、qq0n”不一定成立,例如:当首项为 2,时,各项为2n 12naa01q2 2,此时,;11 21 42( 1)10 1110244 而“对任意的正整数,”,前提是“”,则“”是“对任意的正整数,n2n 12naa0q0q0n”2n 12naa0的必要而不充分条件,故选 C【提示】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可【考点】必要条件,充分条件,充要条件6.【答案】D【解析】以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为,双曲线两22xy4条渐近线方程为,设,则四边形的面积为,byx2 bA x,x2ABCD2b,将代入,可得,双2x bx2bAx1 bA 1,222xy42b1442b
13、12曲线的方程为,故选 D22xy1412【提示】以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为,双曲线的22xy4两条渐近线方为,利用四边形的面积为,求出的坐标,代入圆的方程,即可得出byx2 ABCD2bA结论【考点】双曲线的简单性质7.【答案】B【解析】由、分别是边、的中点,DDEABBCDE2EFAF BC(ADDF) (ACAB) AA,221313311ABDE(ACAB)ABAC(ACAB)ACAB ACAB2224442 AAA,故选 B311111144228AAA【提示】运用向量的加法运算和中点的向量表示,结合向量的数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,计算即可得
14、到所求值【考点】平面向量数量积的运算8.【答案】C【解析】在递减,则,函数在 R 上单调递减,aylog (x1)10,)0a1f(x)数学试卷第 10 页(共 21 页)数学试卷第 11 页(共 21 页)数学试卷第 12 页(共 21 页)则;解得,;2 a34a02 0a10(4a3) 03alog (01)1 A13a34由图像可知,在上,有且仅有一个解,故在上,0,)f(x)2x(,0)同样有且仅有一个解,当即时,联立,f(x)2x3a22a32x(4a3)3a2x则,解得或 1(舍去) ,当时,由图像可知,2(4a2)4(3a2)0 3a413a2符合条件,综上:的取值范围为,故选
15、 Ca1 23,3 34 【提示】利用函数是减函数,根据对数的图像和性质判断出的大致范围,再根据a为减函数,得到不等式组,利用函数的图像,方程的解的个数,推出的范f(x)a围【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断 第卷二、填空题9.【答案】2【解析】,解得:,(1i)(1bi)1b(1b)ia a,bR1ba 1b0 a2b1 a2b【提示】根据复数相等的充要条件,构造关于,的方程,解得,的值,进而可得abab答案【考点】复数代数形式的乘除运算10.【答案】56【解析】,令,解得r r28 rrr16 3r r 1881TC (x )( 1) C xx 163r7r3的展开式中的系数
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