2019年高考理科数学北京卷含答案.docx
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1、数学试卷 第 1 页(共 22 页) 数学试卷 第 2 页(共 22 页) 绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 数学(理)本试卷满分 150 分,考试时长 120 分钟.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.已知复数,则( )2ziz zA.B.C.3 D.5352.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )sA.1B.2C.3 D.43.已知直线 的参数方程为( 为参数) ,则点到直线 的距离是( )l13 , 24xt yt t1,0lA.B.C.D.1 52 54 56
2、 54.已知椭圆()( )22221xy ab0abA.B.C.D.222ab2234ab2ab34ab5.若,满足,且,则的最大值为( )xy| |1xy1y3xyA.B.1C.5D.776.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是1 21 25lg2EmmEkm1,2kEk (),天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为下列说法中,正确26.71.45的是( )A.B.10.1C.D.10.110lg10.110.1107.设点,,不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的ABCAB AC|ABACBC ( )A.充分
3、而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线:就是其中之一C221 |xyx y (如图).给出下列三个结论:曲线恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点) ;C毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页(共 22 页) 数学试卷 第 4 页(共 22 页)曲线上任意一点到原点的距离都不超过;C2曲线所围成的“心形”区域的面积小于 3.C其中,所有正确结论的序号是( )A.B.C.D.第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共
4、 30 分。9.函数的最小正周期是 . 2sin 2f xx10.设等差数列的前项和为,若,则 ,的 nannS23a 510S 5a nS最小值为 .11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示如果网格纸上 小正方形的边长为 1,那么该几何体的体积为 .12.已知 ,是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;.lmml以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .13.设函数(为常数).若为奇函数,则 ;若 xxf xeaea f x=a是 R 上的增函数,则的取值范围是 . f xa14.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中
5、有草莓、京白梨、西瓜、桃, 价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量,李明对这四种水 果进行促销:一次购买水果的总价达到 120 元,顾客就少付元每笔订单顾客网x上支付成功后,李明会得到支付款的 80%.当时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,需要支付 元;10x 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 的最大值为 .x三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(本小题 13 分)在中,.ABC3a 2bc1cos2B ()求,的值;bc()求的值.sin BC16.(本小题 14
6、分)如图,在四棱锥中,平面,PABCDPAABCDADCDADBC,.为的中点,点在上,且.2PAADCD3BC EPDFPC1 3PF PC()求证:平面;CDPAD数学试卷 第 5 页(共 22 页) 数学试卷 第 6 页(共 22 页) (元)()求二面角的余弦值;FAEP()设点在上,且.判断直线是否在平面内,说明理由.GPB2 3PG PBAGAEF17.(本小题 13 分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支 付方式之一.为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学 生中随机抽取了 100 人,发现样本中 A,B 两种支付方
7、式都不使用的有 5 人,样本 中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下:支付金额支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于 2 000仅使用 A18 人9 人3 人仅使用 B10 人14 人1 人()从全校学生中随机抽取 1 人,估计该学生上个月 A,B 两种支付方式都使用的 概率;()从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人,以表示这 2 人中上X 个月支付金额大于 1 000 元的人数,求的分布列和数学期望;X()已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中,随机抽查 3 人,发现他们本月的支付金额都大于 2 000 元
8、根据抽查结果, 能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化? 说明理由.18.(本小题 14 分)已知抛物线:经过点C22xpy 2, 1()求抛物线的方程及其准线方程;C()设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为 0 的直线 交抛物线于两点,OClCM ,直线分别交直线,于点和点求证:以为直径的N1y OMONABAB圆经过轴上的两个定点.y-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页(共 22 页) 数学试卷 第 8 页(共 22 页)19.(本小题 13 分)已知函数.321( )4f xxxx()求曲线的斜
9、率为 1 的切线方程;( )yf x()当时,求证:; 2,4x 6( )xf xx()设,记在区间上的最大值( ) |( )()|()F xf xxaaR( )F x 2,4为当最小时,求的值. M a M aa20.(本小题 13 分)已知数列,从中选取第项、第项、第项() ,若 na1i2imi12miii,则称新数列为的长度为的递增子列规 12miiiaaa 12miiiaaa, nam定:数列的任意一项都是的长度为 1 的递增子列. na na()写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4 的递增子列;()已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为,长度为的递增 nap
10、0maq子列的末项的最小值为.若,求证:; 0napq 00mnaa()设无穷数列的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若的长度为 na na的递增子列末项的最小值为,且长度为末项为的递增子列恰s21s s21s 有个() ,求数列的通项公式.12s1,2,s na2019 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学(理)答案解析第一部分一、选择题1 【答案】D【解析】,故选 D2zi2,225zi z zii【考点】共轭复数,复数的运算2 【答案】B【解析】执行程序框图,;2 11,23 12ks 242,2322ks,跳出循环,输出的故选 B243,2322ks2s 数学试卷 第 9 页(共
11、 22 页) 数学试卷 第 10 页(共 22 页) 【考点】程序框图3 【答案】D【解析】由题意得,直线 的普通方程为,则点到直线的l4320xy 1,04320xy距离故选 D 22|4 1302|6=543d 【考点】直线的参数方程和普通方程的互化、点到直线的距离公式4 【答案】B【解析】由题意得,又,1 2c a221 4c a222abc2221 4ab a223 4b a故选 B2243ba【考点】椭圆的方程与几何性质5 【答案】C【解析】令,画出约束条件即或表示的平面3zxy| |1, 1,xy y 1, 0,xy x y -11, 0, 1xy x y 区域,如图中阴影部分所示
12、,作出直线,并平移,数形结合可知,当平移后直3yx 线过点时,取得最大值,故选 C2, 1C3zxymax3215z 【考点】线性规划问题6 【答案】A【解析】由题意可设太阳的星等为,太阳的亮度为,天狼星的星等为,天狼星的2m2E1m亮度为,则由,得,1E1 21 25lg2EmmE12526.7+1.45lg2EE125lg=25.252E E,故选 A12lg10.1E E 10.12110E E【考点】对数的运算7 【答案】C【解析】若,则,点|ABACBC 22|ABACBC 222+2|ABACAB ACBC ,不共线,线段,构成一个三角形,设内角,ABCABBCACABCA,对应的
13、边分别为 , , ,则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知,BCabc,即,222+2|ABACAB ACBC 22222cos2coscbbcAcbbcA,又,三点不共线,故与的夹角为锐角反之,易得当cos0AABCAB AC 与的夹角为锐角时,“与的夹角为锐角”是“AB AC |ABACBC AB AC 数学试卷 第 11 页(共 22 页) 数学试卷 第 12 页(共 22 页)”的充分必要条件,故选 C|ABACBC 【考点】平面向量的相关知识,余弦定理的应用8 【答案】C【解析】曲线的方程可看成关于 的一元二次方程,221 |xyx y y22|10yx yx 由题图可知该方程必有两
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