(全国Ⅱ卷)2016-2019年高考理科数学全国卷2试卷试题真题含答案.pdf
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1、数学试卷第 1页(共 74页)数学试卷第 2页(共 74页) 绝密启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷 2) 理科数学 使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共 24 题,共 150 分,共 6 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区
2、域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在 草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 () A.( 3,1)B.( 1,3) C.(1,)D.(, 3) - 2.已知集合1,2,3A ,则 |(1)(2)0,BxxxxZ,则AB () A.1B.1,2 C.0,1,2,3D. 1,0,
3、1,2,3 3.已知向量 a(1,)m,b(3, 2)=,且(a+b)b,则m () A.8B.6 C.6D.8 4.圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1,则a () A. 4 3 B. 3 4 C.3D.2 5.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 () A.24B.18C.12D.9 6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 () A.20B.24C.28D.32 姓名_准考证号_ -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 3页(
4、共 74页)数学试卷第 4页(共 74页) 7.若将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度,则平移后图象的对称轴为 () A.() 26 k xkZ B.() 26 k xkZ C.() 212 k xkZ D.() 212 k xkZ 8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序 框图,若输入的2x ,2n ,依次输入的a为 2,2,5,则输出的s () A.7B.12C.17D.34 9.若 3 cos() 45 ,则sin2 () A. 7 25 B. 1 5 C. 1 5 D. 7 25 10.从区间 0,1随机抽取2n个数 1 x, 2
5、x, n x, 1 y, 2 y, n y,构成n个数对 11 (,)xy, 22 (,)xy,(,) nn xy,其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个,则用随机 模拟的方法得到的圆周率的近似值为 () A. 4n m B. 2n m C. 4m n D. 2m n 11.已知 1 F, 2 F是双曲线E: 22 22 1 xy ab 的左、右焦点,点M在E上, 1 MF与x轴垂 直, 21 1 sin 3 MF F,则E的离心率为 () A.2 B. 3 2 C.3D.2 12.已知函数( )()f xxR满足()2( )fxf x,若函数 1x y x 与( )yf x图象的交 点为
6、1122 (,),(,),(,), mm xyxyxy则 1 () m ii i xy () A.0B.mC.2mD.4m 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 2224 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 4 cos 5 A, 5 cos 13 C ,1a,则 b . 14.,是两个平面,mn是两条直线,有下列四个命题: 如果mn,m,n那么; 如果m,n,那么mn; 如果,m,那么m; 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中
7、正确的命题有(填写所有正确命题的编号). 15.有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3,甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了 乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡 片上的数字是. 16.若直线ykxb是曲线ln2yx的切线,也是曲线ln(1)yx的切线,则 b . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) n S为等差数列 n a 的前n项和,且 1=1 a, 7 28S .记 = lg nn ba ,其中 x
8、表示不超过 x的最大整数,如 0.9 =0 lg99 =1, . ()求 1 b, 11 b, 101 b; 数学试卷第 5页(共 74页)数学试卷第 6页(共 74页) ()求数列 n b 的前 1 000 项和. 18.(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本 年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数01234 5 保险0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数01234 5 保险0.300.150.200.200.100.05 ()求一续保人本年
9、度的保费高于基本保费的概率; () 若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; ()求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,菱形ABCD的对角线AC与BC交于点O,5AB,6AC,点E,F分别 在AD,CD上, 5 4 AECF,EF交BD于点H将DEF沿EF折到 D EF的位置, 10OD . ()证明:DH平面ABCD; ()求二面角BD AC的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆E: 22 1 3 xy t 的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为(0)k k 的直线 交E于A,M两点,点N在E上,MAN
10、A. ()当4t,| |AMAN时,求AMN的面积; ()当2|=|AMAN时,求k的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) ()讨论函数 2 ( ) 2 x x f x x e的单调性,并证明当0 x 时,(2)20 x xex; ()证明:当0,1)a时,函数 2 =(0)( ) x eaxa g xx x 有最小值.设( )g x的最小值 为( )h a,求函数( )h a的值域. 请考生在第 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且
11、DEDG,过D点作DFCE,垂足为F. ()证明:B,C,G,F四点共圆; ()若1AB,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积. 23.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为 22 (6)25xy. ()以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; ()直线l的参数方程是 cos sin , , xt yt (t为参数),l与C交于A,B两 点,|10AB,求l的斜率. 数学试卷第 7页(共 74页)数学试卷第 8页(共 74页) 24.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 11 ( ) 22 f x
12、xx ,M为不等式( )2f x 的解集. ()求M; ()证明:当, a bM时,| |1|abab. 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (全国新课标卷 2) 理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】A 【解析】z (m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限, 可得m30,m10 , 解得3m1 【提示】利用复数对应点所在象限,列出不等式组求解即可 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 2.【答案】C 【解析】集合A 1,2,3 ,Bx (x1)(x2)0, xZ,0 1,AB0,1,2,3 【提示】先求出集合A,B,由此利用并集的定义能求出AB的值 【考点】并集及其运
13、算 3.【答案】D 【 解 析 】向 量a(4,m) ,b(3, 2) ,ab(4,m2) , 又(ab)b , 122(m2)0 ,解得m8 【提示】求出向量a b 的坐标,根据向量垂直的充要条件,构造关于m的方程,解得 答案 【考点】平面向量的基本定理及其意义 4.【答案】A 【解析】圆 22 xy2x8y130的圆心坐标为(1,4),故圆心到直线ax y10 的 距离 2 a41 d1 a1 ,解得 4 a 3 【提示】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案 【考点】圆的一般方程,点到直线的距离公式 5.【答案】B 【解析】从E到F,每条东西向的街道被分成 2 段,每条南北向的街道
14、被分成 2 段,从 数学试卷第 9页(共 74页)数学试卷第 10页(共 74页) E到F最短的走法,无论怎样走,一定包括 4 段,其中 2 段方向相同,另 2 段方向 相同,每种最短走法,即是从 4 段中选出 2 段走东向的,选出 2 段走北向的,故共 有 22 42 C C6种走法,同理从F到G,最短的走法,有 12 32 C C3种走法,小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为6318种走法 【提示】从E到F最短的走法,无论怎样走,一定包括 4 段,其中 2 段方向相同,另 2 段方向相同,每种最短走法,即是从 4 段中选出 2 段走东向的,选出 2 段走北向的, 由组合数可得最短的走法
15、,同理从F到G,最短的走法,有 1 3 C3种走法,利用乘 法原理可得结论 【考点】排列、组合的实际应用,分步乘法计数原理 6.【答案】C 【解析】由三视图知,空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是 4,圆锥的高是2 3,在轴截面中圆锥的母线长是 1244 ,圆锥的侧面积 是248,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是 4,圆柱的高是 4,圆柱表 现出来的表面积是 2 222420 空间组合体的表面积是28 【提示】空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是 4,圆锥的高 是2 3,在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的,写出表面积,下面是一个 圆柱,圆柱的底面直
16、径是 4,圆柱的高是 4,做出圆柱的表面积,注意不包括重合 的平面 【考点】由三视图求面积、体积 7.【答案】B 【 解 析 】 将 函 数y 2sin2x 的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 长 度 , 得 到 y2sin2 x2sin 2x 126 ,由 2 xk +(kZ) 122 得: k x(kZ) 26 ,即平移后的图象的对称轴方程为 k x(kZ) 26 【提示】 利用函数y Asin( x)(A0,0) 的图象的变换及正弦函数的对称性可得 答案 【考点】正弦函数的对称性,函数y Asin( x) 的图象变换 8.【答案】C 【解析】输入的x2,n2,当输入的为 2 时
17、,s2,k1,不满足退出循环的 条件; 当再次输入的a为 2 时,s6,k2,不满足退出循环的条件; 当输入的a为 5 时,s17,k3,满足退出循环的条件; 故输出的s值为 17 【提示】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的 值,模拟程序的运行过程,可得答案 【考点】程序框图 9.【答案】D 【解析】方法 1: 3 cos 45 , 2 7 sin2cos22cos1 2425 ; 方法2: 2 cos(sincos ) 42 , 19 (1 sin2 ) 225 , 97 sin221 2525 【提示】 方法 1: 利用诱导公式化 sin2cos2 2 ,
18、 再利用二倍角的余弦可得答案; 方法 2:利用余弦二倍角公式将左边展开,可以得sincos 的值,再平方,即得 sin2的值 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 10.【答案】C 【解析】由题意,两数的平方和小于 1,对应的区域的面积为 2 1 1 4 ,从区间0,1随机 抽取2n个数 1 x, 2 x, , n x, 1 y, 2 y, , n y构成n个数对 11 (x ,y ), 22 (x ,y ), , nn (x ,y ),对应的区域的面积为 2 1, 2 2 1 1 m 4 n1 , 4m n 数学试卷第 11页(共 74页)数学试卷第 12页(共 74页) 【提示】以面积为测
19、度,建立方程,即可求出圆周率的近似值 【考点】几何概型 11.【答案】A 【解析】由题意,M为双曲线左支上的点,则 2 1| b |MF a , 2 2 2 2 b |MF4c a | , 2 1 1 sinMF F 3 , 2 4 2 2 b 1 a 3 b 4c a , 可得: 422 2ba c, 即 2 2bac , 又 222 cab, 可得 2 2ee20 ,e1,解得e 2 【提示】由条件 12 MFMF, 2 1 1 sinMF F 3 ,列出关系式,从而可求离心率 【考点】双曲线的简单性质 12.【答案】B 【解析】函数f(x)(x R) 满足f( x) 2f(x) ,即为f
20、(x) f( x)2 ,可得f(x)关于 点(0,1)对称,函数 x1 y x ,即 1 y1 x 的图象关于点(0,1)对称,即有 11 (x ,y )为 交点,即有 11 ( x ,2y )也为交点, 22 (x ,y )为交点,即有 22 ( x ,2y )也为交点, 则有 m ii1122mm i 1 (xy )(xy )(xy )(xy ) 11112222mmmm 1(x y )( x2y )(xy )( x2y )(xy )( x2y ) 2 m 【提示】由条件可得f( x) 2f(x) ,即有f(x)关于点(0,1)对称,又函数 x1 y x , 即 1 y1 x 的图象关于点
21、(0,1)对称,即有 11 (x ,y )为交点,即有 11 ( x ,2y )也为交 点,计算即可得到所求和 【考点】抽象函数及其应用 第卷 二、填空题 13.【答案】 21 13 【 解 析 】 由 4 cosA 5 , 5 cosC 13 , 可 得 3 sinA 5 , 12 sinC 13 , sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC 63 65 ,由正弦定理可得 asinB b sinA ,解得 21 b 13 【提示】运用同角的平方关系可得sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公式, 可得sinB,运用正弦定理可得 asinB b sinA ,代入计算即可得
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