西班牙数学奥林匹克决赛试题.docx
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2022年第58届西班牙数学奥林匹克决赛1、 如下图所示的六芒星中,每一个小三角形的内角都相等,将图中的13点任意染为绿色或红色,证明总有颜色相同的三个点构成一个等边三角形。2、 正实数a,b,c,d满足:。证明:a,b,s,d中至少有两个数相等,3、在ABC中,ABAC,它的外接圆为w,AABC的内切圆分别切三边BC,CA,AB于D,E,F。R在EF上,且DREF。点S是BAC的外角平分线与圆w的交点,证明:AR和SD的交点在圆w上。4、设P为平面上一点,证明:存在过P的三条射线,使得对于所有过点P且半径为r的圆,若P1,P2,P3是三条射线与圆周的交点,则:。5、 在一个由2022个学生组成的小组里有些人互相是朋友,这里朋友关系是相互的。已知这些学生的任何子集都具有以下性质:子集中总有一个学生,与子集中最多100个学生是朋友。求满足以下性质的最小正整数X:可以将学生分成N个组(不一定大小相同)。使得任意两个同一小组中的学生,都不是朋友我们将学生编号为1到2022。记ci是学生i的朋友数量求:c1+c2+cn能取到的最大值。6、求所有三元正整数组(x,y,z),其同时满足以下条件:x|y+1,y|z-1,z|x2+1。学科网(北京)股份有限公司
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