2020年高考数学《平面向量的线性表示》专项训练及答案解析.doc
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1、平面向量的线性表示一、基础检测1、(2019无锡期末)在四边形 ABCD 中,已知 a2b,4ab,5a3b,其中,a,b是不共线的向量,则四边形 ABCD 的形状是_【答案】. 梯形【解析】、因为(a2b)4ab(5a3b)8a2b所以,2,即ADBC,且|AD|BC|,所以,四边形ABCD是梯形2、(2017年苏州期末)设与是两个不共线向量,若A,B,D三点共线,则 【答案】.:【解析】、,设则且,解得3、(2017徐州期末)在中,若点,依次是边上的四等分点,设,用,表示,则 【答案】.【解析】、 在中,所以4、(2016年南通一模)如图,在中,分别为边,的中点. 为边上的点,且,若,则的
2、值为 .【答案】: 【解析】、:因为为的中点,所以,故,。5(2017泰州期中)如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则_,_ 【答案】,【解析】、设与,同方向的单位向量分别为,依题意有,又,则,所以,6、(2016年苏北四市联考)如图,一直线与平行四边形的两边分别 交于两点,且交其对角线于,其中,则的值为 ABCDEFK【答案】【解析】、 因为点F,K,E共线,故可设又,所以,解得二、拓展延伸题型一 向量的共线定理与平面向量的线性运算知识点拨:注意平行四边形法则和三角形法则的灵活运用。例1、(2018南京学情调研)设向量a(1,4),b(1,x),ca3b.若ac,则实
3、数x的值是_【答案】 4【解析】、因为a(1,4),b(1,x),ca3b(2,43x)又ac,所以43x80,解得x4.【变式1】、(2017南京学情调研)已知向量a(1,2),b(m,4),且a(2ab),则实数m的值为_【答案】 2解法1 由题意得a(1,2),2ab(2m,8),因为a(2ab),所以18(2m)20,故m2.解法2 因为a(2ab),所以存在实数,使得a2ab,即(2)ab,所以(2,24)(m,4),所以2m且244,得4,m2.解法3 因为a(2ab),所以ab,所以42m,即m2.【变式2】、(2017苏州暑假测试)设x,yR,向量a(x,1),b(2,y),且
4、a2b(5,3),则xy_.【答案】 1【解析】、由题意得a2b(x4,12y)(5,3),所以解得所以xy1.【变式3】、已知点C,D,E是线段的四等分点,为直线外的任意一点,若,则实数 的值为 【答案】:【解析】、 因为,所以【关联1】、(2016南京、盐城、徐州二模)已知为的外心,若,则= 【答案】【解析】、:由已知等式得,平方得,故,得,若为锐角,则与反向,与条件矛盾,故为钝角,从而.误点警示:若为锐角,则与分别是同弧所对的圆心角与圆周角,此时=2;若为钝角,由与的关系是,因此,必须对进行分类讨论.本题从条件判断知,必为钝角.【关联2】、在ABC中,C45,O是ABC的外心,若mn(m
5、,nR),则mn的取值范围是_【答案】 ,1)思路分析 本题中三点在圆O上是一个关键条件,可以建立坐标系求出m,n的关系式,再利用三角换元求解,也可以对向量等式两边平方后得到m,n的关系式,再利用线性规划求解因为C,O是ABC外心,所以AOB90,mn,所以C在优弧上建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设半径为1,则A(0,1),B(1,0)设C(cos,sin),代入mn,可得ncos,msin,即mncossinsin.又,所以mn,1)解后反思 本题易错在没有注意点C在优弧上,错误的认为点C在整个圆上本题是典型的二元函数的值域问题,解题方法比较多,可以用基本不等式、线性规划、三角换元,但由
6、于点C在圆弧上,最好的方法建立坐标系,利用三角函数求解,定义域的寻找也较为简单题型二 平面向量的基本定理的应用知识点拨:运用平面向量基本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法和减法数乘。要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质,如平行和相似。例2、(2019苏北四市、苏中三市三调)如图,正六边形中,若(),则的值为 【答案】【解析】、:建系(坐标法)如图设六边形边长为2,,,,由得:, 故.ABCDEF(第1题)ABC623.5(第2题)E【变式1】、(2019泰州期末)已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点,且满足20,0,则_【答案】 由于题中出现了四个
7、向量,因此可以考虑消去或,再根据平面向量基本定理,即可求得和的值解法1(转化法) 如图,因为20,所以2()0,即2()0,即2()0,所以,320,即0,所以,.解法2(基底法) 因为0,0,两式相减得0,所以1,1,.解法3(几何法) 取AB中点E,则22,所以,即P为DE中点,延长CP交BA延长线于点F,易知:A,E为BF的三等分点,且P为CF中点由,得0,所以. 本题考查了平面向量基本定理,也就是平面向量分解的唯一性定理,解法1,把用其他三个向量来表示,根据平面向量的基本定理得到和的值;解法2,两式相减,同时消去了,转化为以,为基向量的方程;解法3,通过构造三角形,根据向量的线性运算,
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