2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义:选修4-5 第02节 不等式证明 .doc
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1、第二节第二节 不等式证明不等式证明 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T2310 分 利用均值不等式证明不等式逻辑推理 2017浙江卷T2215 分证明以数列为载体的不等式问题逻辑推理 2016全国卷T2410 分 绝对值不等式的解法与绝对值不 等式的证明 数学运算 逻辑推理 不等式 证明 2015全国卷T2410 分 不等式证明和充要条件的判断逻辑推理 命题分析 从近几年高考命题来看,作为新课程选考的重要内容,不等式证明严格按 考试说明要求命题,试题难度不超过中等,以解答题形式出现,着重考查 比较法、综合法,证明不等式,以及放缩法的应用. 1平均值不等式 (1)定理 1:对任意_实
2、数 a,b_,有 a2b2_2ab(此式当且仅当_ab_时取 “”号) (2)定理 2:对任意两个_正数_a,b,有_(此式当且仅当_ab_时取 ab 2ab “”号)又可叙述为:两个正数的算术平均值_不小于_它们的几何平均值 (3)定理 3:对任意三个_正数_a,b,c,有 a3b3c33abc(此式当且仅当 _abc_时取“”号) (4)定理 4:对任意三个_正数_a, b,c,有_(此式当且仅当 abc 3 3 abc _abc_时取“”号) 又可叙述为:三个正数的算术平均值_不小于_它们的几何平均值 (5)一般地,对 n 个正数 a1,a2,an(n2),有_(此 a1a2an n n
3、 a1a2an 式当且仅当_a1a2an_时取“”号)又可叙述为:n 个正数的算术平均值_不 小于_它们的几何平均值 2比较法 (1)比差法的依据是:ab0_ab_.步骤是:“作差_变形_判断差的符 号_” 变形是手段,变形的目的是判断差的符号 (2)比商法:若 B0,欲证_AB_,只需证 1 A B 3综合法与分析法 (1)综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列 的_推理、论证_而得出命题_成立_ (2)分析法:从_要证的结论_出发,逐步寻求使它成立的_充分条件_,直至所需条 件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要
4、证的命题成立 提醒: 比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:作差变形判断差的符 号下结论其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因 式的积或配成几个代数式平方和的形式,当差式是二次三项式时,有时也可用判别式来判 断差值的符号个别题目也可用柯西不等式来证明 1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”) (1)用反证法证明命题“a,b,c 全为 0”时假设为“a,b,c 全不为 0” ( ) (2)若实数 x、y 适合不等式 xy1,xy2,则 x0,y0.( ) 答案:(1) (2) 2设不等式|2x1|1 的解集为 M (1)求集合 M (2)若
5、a,bM,试比较 ab1 与 ab 的大小 解:(1)由|2x1|1 得12x11,解得 0x1 所以 Mx|0x1 (2)由(1)和 a,bM 可知 0a1,0b1, 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0 故 ab1ab 3已知 abc,且 abc0,求证:a b2ac3 证明:要证a,只需证 b2ac0, 只需证(ab)(ac)0 abc,ab0,ac0 (ab)(ac)0 显然成立, 故原不等式成立 比较法证明不等式 明技法 作商比较法证明不等式的一般步骤 作商:将不等式左右两边的式子进行作商; 变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩), 分母缩
6、(放),从而化简商式为容易和 1 比较大小的形式; 判断:判断商与 1 的大小关系,就是判断商大于 1 或小于 1 或等于 1; 结论 提能力 【典例】 求证:(1)当 xR 时,12x42x3x2; (2)当 a,b(0,)时,aabb(ab) a + b 2 证明:(1)方法一 (12x4)(2x3x2) 2x3(x1)(x1)(x1) (x1)(2x3x1) (x1)(2x32xx1) (x1)2x(x21)(x1) (x1)2(2x22x1) (x1)20, 2(x 1 2)2 1 2 所以 12x42x3x2 方法二 (12x4)(2x3x2) x42x3x2x42x21 (x1)2
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