2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义:第9章 第06节 抛物线及其性质 .doc
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1、第六节第六节 抛物线及其性质抛物线及其性质 考点高考试题考查内容核心素养 2016全国卷T55 分 抛物线与反比例函数结合 求函数解析式 数学运算 抛物线的方程 及几何性质2015全国卷T55 分 抛物线与椭圆结合求线段 长度 数学运算 2017全国卷 T2012 分 抛物线与直线的位置关系数学运算 2017全国卷T125 分 在抛物线中求点到直线距 离 数学运算 直线与抛物线 的位置关系 2016全国卷 T2012 分 以抛物线为载体证明直线 平行,求轨迹方程 逻辑推理 数学运算 命题分析 抛物线的定义、标准方程及其简单性质等基础知识常以选择题填空题形式 出现,直线与抛物线的位置关系多以解答
2、题形式考查. 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的_距离相等_的点的集合叫作抛物线, _这个定点 F_叫作抛物线的焦点,_这条定直线 l_叫作抛物线的准线 2抛物线的标准方程和几何性质 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 标准 方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点O(0,0) 对称轴y0 x0 焦点 F( p 2,0) F( p 2,0) F( 0,p 2) F( 0,p 2) 离心率e_1_ 准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 x0,yRx0,yRy0
3、,xRy0,xR 开口 方向 向_右_向左向_上_向下 焦半径(其中 P(x0,y0) |PF| x0 p 2 |PF| x0 p 2 |PF| y0 p 2 |PF| y0 p 2 提醒: 1辨明两个易误点 (1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动 点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线 (2)对于抛物线标准方程中参数 p,易忽视只有 p0 才能证明其几何意义是焦点 F 到准 线 l 的距离,否则无几何意义 2与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据) 设 A(x1,y1),B(x2,y2) (1)y1y2p2,x1x2 p2 4 (2)|AB|x1x2p(
4、 为 AB 的倾斜角) 2p sin2 (3)为定值 1 |AF| 1 |BF| 2 p (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. 1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( ) (2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3)若一抛物线过点 P(2,3),其标准方程可写为 y22px(p0)( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径, 那么抛
5、物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) 2(教材习题改编)抛物线 y x2的焦点坐标是( ) 1 4 A(0,1) B(0,1) C(1,0) D(1,0) 解析:选 A y x2化为标准方程 x24y,2p4,p2,对称轴 y 轴开口向下,焦 1 4 点坐标(0,1) 3(教材习题改编)若抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标 是( ) A B 17 16 15 16 C D0 7 8 解析:选 B M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离,又准线方程为 y,设 1 16 M(x,y),则 y1,y 1 16
6、 15 16 4(教材习题改编)抛物线 y22px(p0)上的点 m 到点 F(2,0)的距离比它到直线 x3 的距离小 1,则该抛物线的方程为_ 解析:把直线 x3 向右移一个单位,变为 x2,由题意动点 m 到点 F(2,0)的距 离等于到直线 x2 的距离,由抛物线定义知抛物线的方程为 y28x 答案:y28x 抛物线定义及应用 析考情 高考中对抛物线定义的考查有两个层次,一是当已知曲线是抛物线时,抛物线上的点 M 满足定义,它到准线的距离为 d,则|MF|d,有关距离、最值、弦长等是考查的重点; 二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义,从而得到动点的轨迹是抛物线 提能力 【典例 1
7、】 已知抛物线 C:y28x 的焦点为 F,准线为 l,P 是准线 l 上一点,Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点,若4,则|QF|( ) FP FQ A B 7 2 5 2 C3 D2 解析:选 C 因为4, FP FQ 所以|4|,所以 FP FQ |PQ| |PF| 3 4 如图,过 Q 作 QQl,垂足为 Q, 设 l 与 x 轴的交点为 A,则|AF|4, 所以 ,所以|QQ|3, |PQ| |PF| |QQ| |AF| 3 4 根据抛物线定义可知|QF|QQ|3 【典例 2】 已知 F 是抛物线 y2x 的焦点,A、B 是该抛物线上的两点, |AF|BF|3,则线段 AB 的中
8、点到 y 轴的距离为( ) A B1 3 4 C D 5 4 7 4 解析:选 C |AF|BF|xAxB 3, 1 2 xAxB 5 2 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 xAxB 2 5 4 悟技法 抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准 线距离的等价转化即“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线” (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x,y)到焦点 F 的距离|PF|x| 或|PF|y| p 2 p 2 刷好题 1设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,那么抛物线 C 的准线 与以 AB 为直径的圆的
9、位置关系为( ) A相离 B相切 C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心 解析:选 B 设圆心为 M,焦点为 F,过点 A,B,M 作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1,B1,M1, 则|MM1| (|AA1|BB1|) 1 2 由抛物线定义可知|BF|BB1|,|AF|AA1|, 所以|AB|BB1|AA1|,|MM1| |AB|, 1 2 即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径, 故以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 2已知直线 l1:4x3y60 和直线 l2:x1,则抛物线 y24x 上一动点 P 到直 线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( ) A B2 3 5 5 C D3 1
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