2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义:第9章 第9节 第03课时 圆锥曲线中的证明与探索性问题 .doc
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1、第三课时第三课时 圆锥曲线中的证明与探索性问题圆锥曲线中的证明与探索性问题 圆锥曲线中的证明问题 明技法 圆锥曲线中证明问题的类型及方法 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命 题,证明方法一般是采用直接法或反证法 提能力 【典例】 (2017全国卷)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:y21 上,过 M x2 2 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 NP 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x3 上,且1 OP PQ 证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F (1)解:设 P(x,y),M(
2、x0,y0), 则 N(x0,0),(xx0,y),(0,y0). NP NM 由 得 x0x,y0y NP 2 NM 2 2 因为 M(x0,y0)在 C 上,所以1 x2 2 y2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22 (2)证明:由题意知 F(1,0)设 Q(3,t),P(m,n),则 (3,t),(1m,n),33mtn, OQ PF OQ PF (m,n),(3m,tn) OP PQ 由1 得3mm2tnn21, OP PQ 又由(1)知 m2n22,故 33mtn0 所以0,即 OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线
3、l 过 C 的左焦点 F 刷好题 (2018临沂模拟)设椭圆 E 的方程为1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标 x2 a2 y2 b2 为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|2|MA|,直线 OM 的斜率为 5 10 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,b),N 为线段 AC 的中点,证明:MNAB (1)解:由题设条件知,点 M 的坐标为, ( 2 3a, 1 3b) 又 kOM,从而 5 10 b 2a 5 10 进而 ab,c2b,故 e 5a2b2 c a 2 5 5 (2)证明:由 N 是线段 AC 的中点
4、知,点 N 的坐标为,可得 ( 1 2a, 1 2b) NM ( 1 6a, 5 6b) 又(a,b),从而有 a2 b2 (5b2a2) AB AB NM 1 6 5 6 1 6 由(1)可知 a25b2,所以0,故 MNAB AB NM 圆锥曲线中的探索性问题 明技法 探索性问题的求解策略 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法” ,将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足 条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程 组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲 线或参数)不存在 (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常
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